Формула Фауляберса - Faulhabers formula

В математика, Формула Фаульхабера, названный в честь Иоганн Фаульхабер, выражает сумму п-я степени первого п положительные целые числа

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$

как (п + 1) я степень многочлен функцияп, коэффициенты, включающие Числа Бернулли B_j, в форме, представленной Джейкоб Бернулли и опубликовано в 1713 г .:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\frac {B_{k}}{k!}}p^{\underline {k-1}}n^{p-k+1},}$

куда ${\displaystyle p^{\underline {k-1}}=(p)_{k-1}={\dfrac {p!}{(p-k+1)!}}}$ это падающий факториал.

История

Формулу Фаульхабера также называют Формула Бернулли. Фаульхабер не знал свойств коэффициентов, открытых Бернулли. Напротив, он знал по крайней мере первые 17 случаев, а также о существовании полиномов Фаульхабера для нечетных степеней, описанных ниже.^[1]

Строгое доказательство этих формул и его утверждения, что такие формулы будут существовать для всех нечетных степеней, потребовалось до тех пор, пока Карл Якоби  (1834 ).

Полиномы Фаульхабера

Период, термин Полиномы Фаульхабера используется некоторыми авторами для обозначения чего-то, кроме полиномиальной последовательности, указанной выше. Фаульхабер заметил, что если п странно, тогда

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$

является полиномиальной функцией от

${\displaystyle a=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Особенно:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=a^{2};}$ OEIS: A000537

${\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4a^{3}-a^{2} \over 3};}$ OEIS: A000539

${\displaystyle 1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={6a^{4}-4a^{3}+a^{2} \over 3};}$ OEIS: A000541

${\displaystyle 1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2} \over 5};}$ OEIS: A007487

${\displaystyle 1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={16a^{6}-32a^{5}+34a^{4}-20a^{3}+5a^{2} \over 3}.}$ OEIS: A123095

Первый из них идентичности (случай п = 3) известен как Теорема Никомаха.

В более общем смысле,^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{2m+1}+2^{2m+1}&+3^{2m+1}+\cdots +n^{2m+1}\\&={\frac {1}{2^{2m+2}(2m+2)}}\sum _{q=0}^{m}{\binom {2m+2}{2q}}(2-2^{2q})~B_{2q}~\left[(8a+1)^{m+1-q}-1\right].\end{aligned}}}$

Некоторые авторы называют многочлены от а в правых частях этих тождеств Полиномы Фаульхабера. Эти многочлены делятся на а² поскольку Число Бернулли B_j равно 0 для j > 1 странный.

Фаульхабер также знал, что если сумма для нечетной степени выражается

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m+1}=c_{1}a^{2}+c_{2}a^{3}+\cdots +c_{m}a^{m+1}}$

тогда сумма для четной степени чуть ниже дается выражением

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2m}={\frac {n+1/2}{2m+1}}(2c_{1}a+3c_{2}a^{2}+\cdots +(m+1)c_{m}a^{m}).}$

Обратите внимание, что многочлен в скобках - это производная от указанного выше многочлена по а.

С а = п(п + 1) / 2 эти формулы показывают, что для нечетной степени (больше 1) сумма является полиномом от п имея факторы п² и (п + 1)², а для четной степени многочлен имеет множители п, п + ½ и п + 1.

Summae Potestatum

Якоба Бернулли Summae Potestatum, Ars Conjectandi, 1713

В 1713 г. Джейкоб Бернулли опубликовано под названием Summae Potestatum выражение суммы п полномочия п первые целые числа как (п + 1) й степени полиномиальная функция изп, с коэффициентами, включающими числа B_j, теперь называется Числа Бернулли:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+{1 \over p+1}\sum _{j=2}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}.}$

Вводя также первые два числа Бернулли (чего не делал Бернулли), предыдущая формула принимает вид

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},}$

используя число Бернулли второго рода, для которого ${\displaystyle B_{1}={\frac {1}{2}}}$, или же

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},}$

используя число Бернулли первого рода, для которого ${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}$

Например, как

${\displaystyle B_{0}=1,~B_{1}=1/2,~B_{2}=1/6,~B_{3}=0,~B_{4}=-1/30,}$

один имеет для п = 4,

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={1 \over 5}\sum _{j=0}^{4}{5 \choose j}B_{j}n^{5-j}\\&={1 \over 5}\left(B_{0}n^{5}+5B_{1}n^{4}+10B_{2}n^{3}+10B_{3}n^{2}+5B_{4}n\right)\\&={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n.\end{aligned}}}$

Сам Фаульхабер не знал формулы в этой форме, а только вычислил первые семнадцать многочленов; общая форма была установлена ​​с открытием Числа Бернулли (видеть Раздел истории ). Вывод формулы Фаульхабера доступен в Книга чисел к Джон Хортон Конвей и Ричард К. Гай.^[2]

Есть также похожее (но несколько более простое) выражение: используя идею телескопирование и биномиальная теорема, получается Паскаль личность:^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)^{k+1}-1&=\sum _{m=1}^{n}\left((m+1)^{k+1}-m^{k+1}\right)\\&=\sum _{p=0}^{k}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}}$

Это, в частности, дает следующие примеры - например, возьмите k = 1 чтобы получить первый пример. Аналогичным образом мы также находим

${\displaystyle {\begin{aligned}n^{k+1}=\sum _{m=1}^{n}\left(m^{k+1}-(m-1)^{k+1}\right)=\sum _{p=0}^{k}(-1)^{k+p}{\binom {k+1}{p}}(1^{p}+2^{p}+\dots +n^{p}).\end{aligned}}}$

Примеры

${\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}}$ (в треугольные числа )

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}}$ (в квадратные пирамидальные числа )

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}}$ (в треугольные числа в квадрате)

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\\&={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}&={\frac {[n(n+1)]^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}\\&={\frac {2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2}}{12}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}\\&={\frac {6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n}{42}}\end{aligned}}}$

От примеров к матричной теореме

Из предыдущих примеров получаем:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{0}=n}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{1}={1 \over 2}n+{1 \over 2}n^{2}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={1 \over 6}n+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 3}n^{3}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}={1 \over 4}n^{2}+{1 \over 2}n^{3}+{1 \over 4}n^{4}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}=-{1 \over 30}n+{1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{4}+{1 \over 5}n^{5}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{5}=-{1 \over 12}n^{2}+{5 \over 12}n^{4}+{1 \over 2}n^{5}+{1 \over 6}n^{6}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{6}={1 \over 42}n-{1 \over 6}n^{3}+{1 \over 2}n^{5}+{1 \over 2}n^{6}+{1 \over 7}n^{7}}$

Запись этих многочленов в виде произведения матриц дает

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}i^{0}\\\sum _{i=1}^{n}i^{1}\\\sum _{i=1}^{n}i^{2}\\\sum _{i=1}^{n}i^{3}\\\sum _{i=1}^{n}i^{4}\\\sum _{i=1}^{n}i^{5}\\\sum _{i=1}^{n}i^{6}\\\end{pmatrix}}=G_{7}\cdot {\begin{pmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\\n^{5}\\n^{6}\\n^{7}\\\end{pmatrix}}\qquad {\text{where}}\qquad G_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\-{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&-{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&-{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\\\end{pmatrix}}}$

Как ни странно, инвертирование матрицы полиномиальных коэффициентов дает нечто более знакомое:

${\displaystyle G_{7}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&0&0&0&0&0\\1&-3&3&0&0&0&0\\-1&4&-6&4&0&0&0\\1&-5&10&-10&5&0&0\\-1&6&-15&20&-15&6&0\\1&-7&21&-35&35&-21&7\\\end{pmatrix}}}$

В инвертированной матрице Треугольник Паскаля может быть распознан без последнего элемента каждой строки и с альтернативными знаками. Точнее, пусть ${\displaystyle A_{7}}$ быть нижним треугольником Матрица Паскаля:

${\displaystyle A_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0&0\\1&4&6&4&0&0&0\\1&5&10&10&5&0&0\\1&6&15&20&15&6&0\\1&7&21&35&35&21&7\\\end{pmatrix}}}$

Позволять ${\displaystyle {\overline {A}}_{7}}$ - матрица, полученная из ${\displaystyle A_{7}}$ изменяя знаки у записей по нечетным диагоналям, то есть заменяя ${\displaystyle a_{i,j}}$ к ${\displaystyle (-1)^{i+j}a_{i,j}}$. потом

${\displaystyle G_{7}^{-1}={\overline {A}}_{7}.}$

Это верно для каждого заказа,^[4] то есть для каждого положительного целого числа м, надо ${\displaystyle G_{m}^{-1}={\overline {A}}_{m}.}$Таким образом, можно получить коэффициенты многочленов от сумм степеней последовательных целых чисел, не прибегая к числам Бернулли, а путем обращения матрицы, легко получаемой из треугольника Паскаля.

Один также^[5]

${\displaystyle A_{7}^{-1}={\overline {G}}_{7}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0\\{1 \over 6}&{1 \over 2}&{1 \over 3}&0&0&0&0\\0&{1 \over 4}&{1 \over 2}&{1 \over 4}&0&0&0\\{1 \over 30}&0&{1 \over 3}&{1 \over 2}&{1 \over 5}&0&0\\0&{1 \over 12}&0&{5 \over 12}&{1 \over 2}&{1 \over 6}&0\\{1 \over 42}&0&{1 \over 6}&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&{1 \over 7}\end{pmatrix}},}$

куда ${\displaystyle {\overline {G}}_{7}}$ получается из ${\displaystyle G_{7}}$ убрав знаки минус.

Доказательство с экспоненциальной производящей функцией

Позволять

${\displaystyle S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{p},}$

обозначим рассматриваемую сумму для целого числа ${\displaystyle p\geq 0.}$

Определите следующую экспоненту производящая функция с (изначально) неопределенным ${\displaystyle z}$

${\displaystyle G(z,n)=\sum _{p=0}^{\infty }S_{p}(n){\frac {1}{p!}}z^{p}.}$

Мы нашли

${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)=&\sum _{p=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p!}}(kz)^{p}=\sum _{k=1}^{n}e^{kz}=e^{z}.{\frac {1-e^{nz}}{1-e^{z}}},\\=&{\frac {1-e^{nz}}{e^{-z}-1}}.\end{aligned}}}$

Это целая функция в ${\displaystyle z}$ так что ${\displaystyle z}$ можно принять как любое комплексное число.

Напомним теперь экспоненциальную производящую функцию для Полиномы Бернулли ${\displaystyle B_{j}(x)}$

${\displaystyle {\frac {ze^{zx}}{e^{z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}(x){\frac {z^{j}}{j!}},}$

куда ${\displaystyle B_{j}=B_{j}(0)}$ обозначает число Бернулли (с условием ${\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}$Формулу Фаульхабера мы получаем, разлагая производящую функцию следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)=&\sum _{j=0}^{\infty }B_{j}{\frac {(-z)^{j-1}}{j!}}\left(-\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {(nz)^{l}}{l!}}\right)\\=&\sum _{p=0}^{\infty }z^{p}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{\frac {1}{j!(p+1-j)!}}B_{j}n^{p+1-j}\\=&\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {z^{p}}{p!}}{1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j},\\{\mbox{i.e.}}\quad \sum _{k=1}^{n}k^{p}=&{1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}(-1)^{j}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle B_{j}=0}$ для всех странных ${\displaystyle j>1}$. Поэтому некоторые авторы определяют ${\displaystyle B_{1}={\frac {1}{2}}}$ так что переменный фактор ${\displaystyle (-1)^{j}}$ отсутствует.

Альтернативные выражения

Путем перемаркировки находим альтернативное выражение

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=\sum _{k=0}^{p}{(-1)^{p-k} \over k+1}{p \choose k}B_{p-k}n^{k+1}.}$

Мы также можем расширить ${\displaystyle G(z,n)}$ в терминах полиномов Бернулли, чтобы найти

${\displaystyle {\begin{aligned}G(z,n)=&{\frac {e^{(n+1)z}}{e^{z}-1}}-{\frac {e^{z}}{e^{z}-1}}\\=&\sum _{j=0}^{\infty }\left(B_{j}(n+1)-(-1)^{j}B_{j}\right){\frac {z^{j-1}}{j!}},\end{aligned}}}$

что подразумевает

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-(-1)^{p+1}B_{p+1}\right)={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1)\right).}$

С ${\displaystyle B_{n}=0}$ в любое время ${\displaystyle n>1}$ нечетно, множитель ${\displaystyle (-1)^{p+1}}$ может быть удален, когда ${\displaystyle p>0}$.

Связь с дзета-функцией Римана

С помощью ${\displaystyle B_{k}=-k\zeta (1-k)}$, можно написать

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}-\sum \limits _{j=0}^{p-1}{p \choose j}\zeta (-j)n^{p-j}.}$

Если рассматривать производящую функцию ${\displaystyle G(z,n)}$ в большом ${\displaystyle n}$ предел для ${\displaystyle \Re (z)<0}$, то находим

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }G(z,n)={\frac {1}{e^{-z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j-1}B_{j}{\frac {z^{j-1}}{j!}}}$

Эвристически это предполагает, что

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{p}={\frac {(-1)^{p}B_{p+1}}{p+1}}.}$

Этот результат согласуется со значением Дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ для отрицательных целых чисел ${\displaystyle s=-p<0}$ о надлежащем аналитическом продолжении ${\displaystyle \zeta (s)}$.

Темная форма

В классическом темный камень формально относиться к индексам j в последовательности B_j как если бы они были экспонентами, так что в этом случае мы можем применить биномиальная теорема и скажи

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B^{j}n^{p+1-j}}$

${\displaystyle ={(B+n)^{p+1}-B^{p+1} \over p+1}.}$

в современное умственное исчисление, считается линейный функционал Т на векторное пространство многочленов от переменной б данный

${\displaystyle T(b^{j})=B_{j}.\,}$

Тогда можно сказать

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}}$

${\displaystyle ={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).}$

Примечания

1. Дональд Э. Кнут (1993). «Иоганн Фаульхабер и суммы полномочий». Математика вычислений. 61 (203): 277–294. arXiv:math.CA/9207222. Дои:10.2307/2152953. JSTOR  2152953. В документе arxiv.org есть опечатка в формуле суммы 11-ти степеней, которая была исправлена ​​в печатной версии. Правильная версия.
2. Джон Х. Конвей, Ричард Гай (1996). Книга чисел. Springer. п.107. ISBN  0-387-97993-X.
3. Кирен Макмиллан, Джонатан Сондоу (2011). «Доказательства степенной суммы и биномиальных конгруэнций коэффициентов через тождество Паскаля». Американский математический ежемесячный журнал. 118 (6): 549–551. arXiv:1011.0076. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.06.549.
4. Пьетрокола, Джорджио (2017), О многочленах для вычисления сумм степеней последовательных целых чисел и чисел Бернулли, полученных из треугольника Паскаля (PDF).
5. Дерби, Найджел (2015), «Поиск сумм сил», Математический вестник, 99 (546): 416–421, Дои:10.1017 / mag.2015.77.

внешняя ссылка

• Якоби, Карл (1834). «De usu legalimo formula summatoriae Maclaurinianae». Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 12. С. 263–72.
• Вайсштейн, Эрик В. «Формула Фаульхабера». MathWorld.
• Иоганн Фаульхабер (1631 г.). Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters продолжение унд профи Werden. Очень редкая книга, но Кнут поместил ее фотокопию в Стэнфордскую библиотеку, позвоните по номеру QA154.8 F3 1631a f MATH. (онлайн-копия в Google Книги )
• Бирдон, А. Ф. (1996). «Суммы степеней целых чисел» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 103 (3): 201–213. Дои:10.1080/00029890.1996.12004725. Получено 2011-10-23. (Победитель Премия Лестера Р. Форда )
• Шумахер, Рафаэль (2016). «Расширенная версия формулы Фаульхабера» (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 19.

• Ороси, Грег (2018). «Простой вывод формулы Фаульхабера» (PDF). Электронные заметки по прикладной математике. 18. С. 124–126.