Телескопическая серия - Telescoping series

В математика, а телескопическая серия это серии частичные суммы которых в конечном итоге имеют только конечное число членов после отмены.^[1][2] Техника отмены, при которой часть каждого термина отменяется частью следующего термина, известна как метод различий.

Например, сериал

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

(серия взаимные из пронические числа ) упрощается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

Похожая концепция, телескопический продукт,^[3][4][5] конечный продукт (или частичный продукт бесконечного продукта), который может быть сокращен метод частных быть в конечном итоге лишь конечным числом факторов.

Например, бесконечное произведение^[4]

${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

упрощается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{N}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{2}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{2N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

В целом

Телескопическая серия сил

Телескопирование суммы представляют собой конечные суммы, в которых пары последовательных членов уравновешивают друг друга, оставляя только начальный и последний члены.^[6]

Позволять ${\displaystyle a_{n}}$ быть последовательностью чисел. Потом,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}}$

Если ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}}$

Телескопирование товары являются конечными произведениями, в которых последовательные члены отменяют знаменатель с числителем, оставляя только начальные и конечные члены.

Позволять ${\displaystyle a_{n}}$ быть последовательностью чисел. Потом,

${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}}$

Если ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$

Еще примеры

• Много тригонометрические функции также допускают представление как разность, что позволяет телескопически отменять между последовательными терминами.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

• Некоторые суммы вида

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$

куда ж и грамм находятся полиномиальные функции чье частное может быть разбито на частичные фракции, не признаем суммирование этим методом. В частности, есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$

Проблема в том, что сроки не отменяют.

• Позволять k быть положительным целым числом. потом

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$

куда ЧАС_k это kth номер гармоники. Все термины после 1 / (k - 1) отменить.

Приложение в теории вероятностей

В теория вероятности, а Пуассоновский процесс представляет собой случайный процесс, в простейшем случае которого "возникают" в случайные моменты времени, а время ожидания до следующего события имеет без памяти экспоненциальное распределение, и количество «вхождений» в любой временной интервал, имеющий распределение Пуассона ожидаемое значение которого пропорционально длине временного интервала. Позволять Икс_т быть количеством "появлений" до времени т, и разреши Т_Икс время ожидания, пока Иксth "вхождение". Мы ищем функция плотности вероятности из случайная переменная Т_Икс. Мы используем функция массы вероятности для распределения Пуассона, которое говорит нам, что

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

где λ - среднее количество появлений в любом временном интервале длиной 1. Отметим, что событие {Икс_т ≥ x} совпадает с событием {Т_Икс ≤ т}, и, следовательно, они имеют одинаковую вероятность. Поэтому искомая функция плотности имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

Сумма телескопов, уходя

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Другие приложения

Для других приложений см .:

• Серия Гранди;
• Доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится, где в одном из доказательств используется телескопическая сумма;
• Статистика заказов, где телескопическая сумма возникает при выводе функции плотности вероятности;
• Теорема Лефшеца о неподвижной точке, где телескопическая сумма возникает в алгебраическая топология;
• Теория гомологии, опять же в алгебраической топологии;
• Мошенничество Эйленберга-Мазура, где возникает телескопическая сумма узлов;
• Алгоритм Фаддеева – Леверье;
• Основная теорема исчисления, непрерывный аналог телескопической серии.

Примечания и ссылки

1. Том М. Апостол, Исчисление, Том 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, страницы 422–3.
2. Брайан С. Томсон и Эндрю М. Брукнер, Элементарный действительный анализ, второе издание, CreateSpace, 2008, стр. 85
3. Чудесное решение ЖЕСТКОЙ тестовой задачи, получено 2020-02-09
4. "Серия телескопов - продукт | Блестящая вики по математике и науке". brilliant.org. Получено 2020-02-09.
5. «Телескопические суммы, серии и изделия». www.cut-the-knot.org. Получено 2020-02-09.
6. http://mathworld.wolfram.com/TelescopingSum.html "Телескопическая сумма" Wolfram Mathworld