Распределение Пуассона - Poisson distribution

Распределение Пуассона

Вероятностная функция масс По горизонтальной оси отложен индекс k, количество вхождений. λ - ожидаемая частота появления. По вертикальной оси отложена вероятность k данные случаи λ. Функция определяется только при целочисленных значениях k; соединительные линии служат лишь ориентирами для глаз.
Кумулятивная функция распределения По горизонтальной оси отложен индекс k, количество вхождений. CDF разрывна при целых числах k и плоская везде, потому что переменная с распределением Пуассона принимает только целые значения.
Обозначение	${displaystyle operatorname {Pois} (lambda )}$
Параметры	${displaystyle lambda in (0,infty )}$ (ставка)
Поддерживать	${displaystyle kin mathbb {N} _{0}}$ (Натуральные числа начиная с 0)
PMF	${displaystyle {frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}}}$
CDF	${displaystyle {frac {Gamma (lfloor k+1floor ,lambda )}{lfloor kfloor !}}}$, или же ${displaystyle e^{-lambda }sum _{i=0}^{lfloor kfloor }{frac {lambda ^{i}}{i!}} }$, или же ${displaystyle Q(lfloor k+1floor ,lambda )}$ (за ${displaystyle kgeq 0}$, куда ${displaystyle Gamma (x,y)}$ это верхняя неполная гамма-функция, ${displaystyle lfloor kfloor }$ это функция пола, а Q - регуляризованная гамма-функция )
Иметь в виду	${displaystyle lambda }$
Медиана	${displaystyle approx lfloor lambda +1/3-0.02/lambda floor }$
Режим	${displaystyle lceil lambda ceil -1,lfloor lambda floor }$
Дисперсия	${displaystyle lambda }$
Асимметрия	${displaystyle lambda ^{-1/2}}$
Бывший. эксцесс	${displaystyle lambda ^{-1}}$
Энтропия	${displaystyle lambda [1-log(lambda )]+e^{-lambda }sum _{k=0}^{infty }{frac {lambda ^{k}log(k!)}{k!}}}$(для больших ${displaystyle lambda }$) ${displaystyle {frac {1}{2}}log(2pi elambda )-{frac {1}{12lambda }}-{frac {1}{24lambda ^{2}}}-{}}$ ${displaystyle qquad {frac {19}{360lambda ^{3}}}+Oleft({frac {1}{lambda ^{4}}}ight)}$
MGF	${displaystyle exp[lambda (e^{t}-1)]}$
CF	${displaystyle exp[lambda (e^{it}-1)]}$
PGF	${displaystyle exp[lambda (z-1)]}$
Информация Fisher	${displaystyle {frac {1}{lambda }}}$

В теория вероятности и статистика, то распределение Пуассона (/ˈпшɑːsɒп/; Французское произношение:[pwasɔ̃]), названный в честь Французский математик Симеон Дени Пуассон, это дискретное распределение вероятностей который выражает вероятность данного количества событий, происходящих в фиксированном интервале времени или пространства, если эти события происходят с известной постоянной средней скоростью и независимо времени с последнего события.^[1] Распределение Пуассона также можно использовать для количества событий в других заданных интервалах, таких как расстояние, площадь или объем.

Например, человек, отслеживающий количество писем, которые они получают каждый день, может заметить, что в среднем они получают 4 письма в день. Если получение какого-либо конкретного почтового отправления не влияет на время прибытия будущих почтовых отправлений, т. Е. Если почтовые отправления из широкого диапазона источников прибывают независимо друг от друга, то разумным предположением является то, что количество полученных почтовых отправлений в день подчиняется распределению Пуассона.^[2] Другие примеры, которые могут следовать распределению Пуассона, включают количество телефонных звонков, полученных центром обработки вызовов в час, и количество событий распада в секунду от радиоактивного источника.

Определения

Вероятностная функция масс

Распределение Пуассона популярно для моделирования количество раз, когда событие происходит в интервале времени или пространства.

Дискретный случайная переменная Икс называется распределением Пуассона с параметром λ > 0, если для k = 0, 1, 2, ..., функция массы вероятности из Икс дан кем-то:^[3]:60

${displaystyle !f(k;lambda )=Pr(X=k)={frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}},}$

куда

• е является Число Эйлера (е = 2.71828...)
• k - количество вхождений
• k! это факториал из k.

Положительный настоящий номер λ равно ожидаемое значение из Икс а также его отклонение^[4]

${displaystyle lambda =operatorname {E} (X)=operatorname {Var} (X).}$

Распределение Пуассона применимо к системам с большое количество возможных событий, каждое из которых встречается редко. Количество таких событий, которые происходят в течение фиксированного промежутка времени, при определенных обстоятельствах является случайным числом с распределением Пуассона.

Уравнение можно адаптировать, если вместо среднего количества событий ${displaystyle lambda }$, нам дана временная ставка на количество событий ${displaystyle r}$ произойдет. потом ${displaystyle lambda =rt}$ (показывая ${displaystyle r}$ количество событий в единицу времени), и

${displaystyle P(k{ ext{ events in interval }}t)={frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}}$

Пример

Распределение Пуассона может быть полезно для моделирования таких событий, как

• Количество метеоритов диаметром более 1 метра, падающих на Землю за год.
• Количество пациентов, поступивших в отделение неотложной помощи с 22 до 23 часов.
• Количество лазерных фотонов, попавших в детектор за определенный промежуток времени.

Предположения и обоснованность

Распределение Пуассона является подходящей моделью, если верны следующие предположения:^[5]

• k - количество раз, когда событие происходит в интервале, и k может принимать значения 0, 1, 2, ....
• Возникновение одного события не влияет на вероятность того, что произойдет второе событие. То есть события происходят независимо.
• Средняя скорость, с которой происходят события, не зависит от каких-либо событий. Для простоты это обычно считается постоянным, но на практике может меняться со временем.
• Два события не могут происходить в один и тот же момент; вместо этого на каждом очень маленьком подынтервале ровно одно событие либо происходит, либо не происходит.

Если эти условия верны, то k - случайная величина Пуассона, а распределение k является распределением Пуассона.

Распределение Пуассона также является предел из биномиальное распределение, для которого вероятность успеха каждого испытания равна λ делится на количество испытаний, так как количество испытаний приближается к бесконечности (см. Связанные дистрибутивы ).

Примеры вероятностей для распределений Пуассона

На конкретной реке паводки происходят в среднем раз в 100 лет. Рассчитайте вероятность k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 паводков за 100-летний интервал при условии, что модель Пуассона подходит. Поскольку средняя частота событий составляет одно наводнение за 100 лет, λ = 1 ${displaystyle P(k{ ext{ overflow floods in 100 years}})={frac {lambda ^{k}e^{-lambda }}{k!}}={frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}}$ ${displaystyle P(k=0{ ext{ overflow floods in 100 years}})={frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={frac {e^{-1}}{1}}approx 0.368}$ ${displaystyle P(k=1{ ext{ overflow flood in 100 years}})={frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={frac {e^{-1}}{1}}approx 0.368}$ ${displaystyle P(k=2{ ext{ overflow floods in 100 years}})={frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={frac {e^{-1}}{2}}approx 0.184}$

В таблице ниже представлена ​​вероятность от 0 до 6 паводков за 100-летний период. k п(k наводнение через 100 лет) 0 0.368 1 0.368 2 0.184 3 0.061 4 0.015 5 0.003 6 0.0005

Угарте и его коллеги сообщают, что среднее количество голов в футбольном матче чемпионата мира составляет примерно 2,5, и модель Пуассона подходит.[6]Поскольку средний показатель забитых мячей составляет 2,5 гола за матч, λ = 2.5. ${displaystyle P(k{ ext{ goals in a match}})={frac {2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}}}$ ${displaystyle P(k=0{ ext{ goals in a match}})={frac {2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}}={frac {e^{-2.5}}{1}}approx 0.082}$ ${displaystyle P(k=1{ ext{ goal in a match}})={frac {2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}}={frac {2.5e^{-2.5}}{1}}approx 0.205}$ ${displaystyle P(k=2{ ext{ goals in a match}})={frac {2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}}={frac {6.25e^{-2.5}}{2}}approx 0.257}$

В таблице ниже представлена ​​вероятность забить от 0 до 7 голов в матче. k п(k голы в матче чемпионата мира по футболу) 0 0.082 1 0.205 2 0.257 3 0.213 4 0.133 5 0.067 6 0.028 7 0.010

Один раз в интервале событий: особый случай λ = 1 и k = 0

Предположим, что по оценкам астрономов, большие метеориты (выше определенного размера) падают на Землю в среднем один раз в 100 лет (λ = 1 событие за 100 лет), и что количество попаданий метеоритов следует распределению Пуассона. Какова вероятность k = 0 попаданий метеоритов в ближайшие 100 лет?

${displaystyle P(k={ ext{0 meteorites hit in next 100 years}})={frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={frac {1}{e}}approx 0.37}$

При этих предположениях вероятность того, что в ближайшие 100 лет не упадет на Землю ни один крупный метеорит, составляет примерно 0,37. Оставшееся значение 1 - 0,37 = 0,63 - это вероятность попадания 1, 2, 3 или более крупных метеоритов в следующие 100 лет. В приведенном выше примере наводнение при переполнении происходило каждые 100 лет (λ = 1). По тем же расчетам вероятность отсутствия наводнений через 100 лет составляла примерно 0,37.

Как правило, если событие происходит в среднем один раз за интервал (λ = 1), а события подчиняются распределению Пуассона, то п(0 событий в следующем интервале) = 0,37. Кроме того, п(ровно одно событие в следующем интервале) = 0,37, как показано в таблице для наводнений переполнения.

Примеры, нарушающие предположения Пуассона

Количество студентов, прибывающих в Студенческий союз в минуту, скорее всего, не будет следовать распределению Пуассона, потому что скорость непостоянна (низкая скорость во время урока, высокая скорость между уроками), а приход отдельных студентов не является независимым (студенты, как правило, приходят группами).

Количество землетрясений магнитудой 5 в год в стране может не соответствовать распределению Пуассона, если одно сильное землетрясение увеличивает вероятность афтершоков аналогичной магнитуды.

Примеры, в которых гарантировано хотя бы одно событие, не распространяются; но может быть смоделирован с использованием Распределение Пуассона с нулевым усечением.

Распределения подсчетов, в которых количество интервалов с нулевыми событиями больше, чем предсказывается моделью Пуассона, можно смоделировать с использованием Модель без наддува.

Характеристики

Описательная статистика

• В ожидаемое значение и отклонение случайной величины с распределением по Пуассону равны λ.
• В коэффициент вариации является ${displaystyle extstyle lambda ^{-1/2}}$, в то время как индекс дисперсии равно 1.^[7]:163
• В среднее абсолютное отклонение о среднем^[7]:163

${displaystyle operatorname {E} [|X-lambda |]={frac {2lambda ^{lfloor lambda floor +1}e^{-lambda }}{lfloor lambda floor !}}.}$

• В Режим случайной величины с распределением по Пуассону с нецелым числом λ равно ${displaystyle scriptstyle lfloor lambda floor }$, которое является наибольшим целым числом, меньшим или равнымλ. Это также записывается как этаж (λ). Когда λ - положительное целое число, режимы λ и λ − 1.
• Все кумулянты распределения Пуассона равны математическому ожиданиюλ. В пth факторный момент распределения Пуассона есть λ^п.
• В ожидаемое значение из Пуассоновский процесс иногда разлагается на продукт интенсивность и контакт (или, в более общем смысле, выражается как интеграл «функции интенсивности» во времени или пространстве, иногда описываемый как «воздействие»).^[8]

Медиана

Границы медианы (${displaystyle u }$) распределения известны и являются острый:^[9]

${displaystyle lambda -ln 2leq u <lambda +{frac {1}{3}}.}$

Высшие моменты

• Выше моменты м_k распределения Пуассона относительно начала координат равны Полиномы Тушара в λ:

${displaystyle m_{k}=sum _{i=0}^{k}lambda ^{i}left{{egin{matrix}kiend{matrix}}ight},}$

где {фигурные скобки} обозначают Числа Стирлинга второго рода.^[10][1]:6 Коэффициенты многочленов имеют комбинаторный смысл. Фактически, когда ожидаемое значение распределения Пуассона равно 1, то Формула Добинского говорит, что п-й момент равен количеству перегородки набора размера п.

Для нецентрированных моментов определим ${displaystyle B=k/lambda }$, тогда^[11]

${displaystyle E[X^{k}]^{1/k}leq Ccdot {egin{cases}k/B&{ ext{if}}quad B<ek/log B&{ ext{if}}quad Bgeq eend{cases}}}$

куда ${displaystyle C}$ - некоторая абсолютная константа больше 0.

Суммы случайных величин, распределенных по Пуассону

Если ${displaystyle X_{i}sim operatorname {Pois} (lambda _{i})}$ за ${displaystyle i=1,dotsc ,n}$ находятся независимый, тогда ${displaystyle sum _{i=1}^{n}X_{i}sim operatorname {Pois} left(sum _{i=1}^{n}lambda _{i}ight)}$.^[12]:65 Обратное Теорема Райкова, в котором говорится, что если сумма двух независимых случайных величин распределена по Пуассону, то каждая из этих двух независимых случайных величин тоже.^[13][14]

Другие свойства

• Распределения Пуассона: бесконечно делимый распределения вероятностей.^{[15]:233[7]:164}
• Направленный Дивергенция Кульбака – Лейблера из ${displaystyle operatorname {Pois} (lambda _{0})}$ из ${displaystyle operatorname {Pois} (lambda )}$ дан кем-то

${displaystyle operatorname {D} _{ ext{KL}}(lambda mid lambda _{0})=lambda _{0}-lambda +lambda log {frac {lambda }{lambda _{0}}}.}$

• Границы вероятностей хвоста пуассоновской случайной величины ${displaystyle Xsim operatorname {Pois} (lambda )}$ можно получить, используя Граница Чернова аргумент.^[16]:97-98

${displaystyle P(Xgeq x)leq {frac {(elambda )^{x}e^{-lambda }}{x^{x}}},{ ext{ for }}x>lambda }$,

${displaystyle P(Xleq x)leq {frac {(elambda )^{x}e^{-lambda }}{x^{x}}},{ ext{ for }}x<lambda .}$

• Вероятность верхнего хвоста можно увеличить (как минимум в два раза) следующим образом:^[17]

${displaystyle P(Xgeq x)leq {frac {e^{-operatorname {D} _{ ext{KL}}(xmid lambda )}}{max {(2,{sqrt {4pi operatorname {D} _{ ext{KL}}(xmid lambda )}}})}},{ ext{ for }}x>lambda ,}$

куда ${displaystyle operatorname {D} _{ ext{KL}}(xmid lambda )}$ - направленное расхождение Кульбака – Лейблера, как описано выше.

• Неравенства, связывающие функцию распределения пуассоновской случайной величины ${displaystyle Xsim operatorname {Pois} (lambda )}$ к Стандартное нормальное распределение функция ${displaystyle Phi (x)}$ являются следующими:^[17]

${displaystyle Phi left(operatorname {sign} (k-lambda ){sqrt {2operatorname {D} _{ ext{KL}}(kmid lambda )}}ight)<P(Xleq k)<Phi left(operatorname {sign} (k-lambda +1){sqrt {2operatorname {D} _{ ext{KL}}(k+1mid lambda )}}ight),{ ext{ for }}k>0,}$

0,}

куда ${displaystyle operatorname {D} _{ ext{KL}}(kmid lambda )}$ снова является направленным расхождением Кульбака – Лейблера.

Гонки Пуассона

Позволять ${displaystyle Xsim operatorname {Pois} (lambda )}$ и ${displaystyle Ysim operatorname {Pois} (mu )}$ быть независимыми случайными величинами, с ${displaystyle lambda <mu }$, то имеем

${displaystyle {frac {e^{-({sqrt {mu }}-{sqrt {lambda }})^{2}}}{(lambda +mu )^{2}}}-{frac {e^{-(lambda +mu )}}{2{sqrt {lambda mu }}}}-{frac {e^{-(lambda +mu )}}{4lambda mu }}leq P(X-Ygeq 0)leq e^{-({sqrt {mu }}-{sqrt {lambda }})^{2}}}$

Верхняя оценка доказывается с помощью стандартной оценки Чернова.

Нижнюю оценку можно доказать, отметив, что ${displaystyle P(X-Ygeq 0mid X+Y=i)}$ вероятность того, что ${displaystyle Zgeq {frac {i}{2}}}$, куда ${displaystyle Zsim operatorname {Bin} left(i,{frac {lambda }{lambda +mu }}ight)}$, ограниченная снизу величиной ${displaystyle {frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{left(-iDleft(0.5|{frac {lambda }{lambda +mu }}ight)ight)}}$, куда ${displaystyle D}$ является относительная энтропия (См. Запись на оценки хвостов биномиальных распределений подробнее). Отмечая далее, что ${displaystyle X+Ysim operatorname {Pois} (lambda +mu )}$, и вычисление нижней границы безусловной вероятности дает результат. Более подробную информацию можно найти в приложении Камат. и другие..^[18]

Связанные дистрибутивы

Общий

• Если ${displaystyle X_{1}sim mathrm {Pois} (lambda _{1}),}$ и ${displaystyle X_{2}sim mathrm {Pois} (lambda _{2}),}$ независимы, то разница ${displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ следует за Распределение Скеллама.
• Если ${displaystyle X_{1}sim mathrm {Pois} (lambda _{1}),}$ и ${displaystyle X_{2}sim mathrm {Pois} (lambda _{2}),}$ независимы, то распределение ${displaystyle X_{1}}$ при условии ${displaystyle X_{1}+X_{2}}$ это биномиальное распределение.

В частности, если ${displaystyle X_{1}+X_{2}=k}$, тогда ${displaystyle !X_{1}sim mathrm {Binom} (k,lambda _{1}/(lambda _{1}+lambda _{2}))}$.

В более общем смысле, если Икс₁, Икс₂,..., Икс_п независимые пуассоновские случайные величины с параметрами λ₁, λ₂,..., λ_п тогда

данный ${displaystyle sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$ ${displaystyle X_{i}sim mathrm {Binom} left(k,{frac {lambda _{i}}{sum _{j=1}^{n}lambda _{j}}}ight)}$. Фактически, ${displaystyle {X_{i}}sim mathrm {Multinom} left(k,left{{frac {lambda _{i}}{sum _{j=1}^{n}lambda _{j}}}ight}ight)}$.

• Если ${displaystyle Xsim mathrm {Pois} (lambda ),}$ и распределение ${displaystyle Y}$, при условии Икс = k, это биномиальное распределение, ${displaystyle Ymid (X=k)sim mathrm {Binom} (k,p)}$, то распределение Y следует распределению Пуассона ${displaystyle Ysim mathrm {Pois} (lambda cdot p),}$. Фактически, если ${displaystyle {Y_{i}}}$, при условии X = k, подчиняется полиномиальному распределению, ${displaystyle {Y_{i}}mid (X=k)sim mathrm {Multinom} left(k,p_{i}ight)}$, то каждый ${displaystyle Y_{i}}$ следует независимому распределению Пуассона ${displaystyle Y_{i}sim mathrm {Pois} (lambda cdot p_{i}),ho (Y_{i},Y_{j})=0}$.
• Распределение Пуассона может быть получено как предельный случай биномиального распределения, поскольку число попыток стремится к бесконечности и ожидал количество успехов остается фиксированным - см. закон редких событий ниже. Следовательно, его можно использовать в качестве аппроксимации биномиального распределения, если п достаточно большой и п достаточно мала. Существует эмпирическое правило, согласно которому распределение Пуассона является хорошей аппроксимацией биномиального распределения, если n не менее 20 и п меньше или равно 0,05, и отличное приближение, если п ≥ 100 и нп ≤ 10.^[19]

${displaystyle F_{mathrm {Binomial} }(k;n,p)approx F_{mathrm {Poisson} }(k;lambda =np),}$

• Распределение Пуассона - это особый случай дискретного составного распределения Пуассона (или заикания распределения Пуассона) только с параметром.^[20][21] Дискретное составное распределение Пуассона можно вывести из предельного распределения одномерного полиномиального распределения. Это также особый случай из составное распределение Пуассона.
• Для достаточно больших значений λ (скажем, λ> 1000) нормальное распределение со средним λ и дисперсией λ (стандартное отклонение ${displaystyle {sqrt {lambda }}}$) является отличным приближением к распределению Пуассона. Если λ больше примерно 10, то нормальное распределение является хорошим приближением, если подходящее исправление непрерывности выполняется, т.е. если P (Икс ≤ Икс), куда Икс - целое неотрицательное число, заменяется на P (Икс ≤ Икс + 0.5).

${displaystyle F_{mathrm {Poisson} }(x;lambda )approx F_{mathrm {normal} }(x;mu =lambda ,sigma ^{2}=lambda ),}$

• Преобразование, стабилизирующее отклонение: Если ${displaystyle Xsim mathrm {Pois} (lambda ),}$, тогда

${displaystyle Y=2{sqrt {X}}approx {mathcal {N}}(2{sqrt {lambda }};1)}$,^[7]:168

и

${displaystyle Y={sqrt {X}}approx {mathcal {N}}({sqrt {lambda }};1/4)}$.^[22]:196

При этом преобразовании сходимость к нормальности (как ${displaystyle lambda }$ увеличивается) намного быстрее, чем непреобразованная переменная.^{[нужна цитата ]} Доступны другие, немного более сложные преобразования, стабилизирующие дисперсию,^[7]:168 один из которых Преобразование Анскомба.^[23] Видеть Преобразование данных (статистика) для более общего использования преобразований.

• Если для каждого т > 0 количество приходов во временном интервале [0,т] следует распределению Пуассона со средним λt, то последовательность времен между приходами независимы и одинаково распределены экспоненциальный случайные величины, имеющие среднее значение 1 /λ.^{[24]:317–319}
• В кумулятивные функции распределения Пуассона и распределения хи-квадрат связаны следующим образом:^[7]:167

${displaystyle F_{ ext{Poisson}}(k;lambda )=1-F_{chi ^{2}}(2lambda ;2(k+1))quad quad { ext{ integer }}k,}$

и^[7]:158

${displaystyle Pr(X=k)=F_{chi ^{2}}(2lambda ;2(k+1))-F_{chi ^{2}}(2lambda ;2k).}$

Приближение Пуассона

Предполагать ${displaystyle X_{1}sim operatorname {Pois} (lambda _{1}),X_{2}sim operatorname {Pois} (lambda _{2}),dots ,X_{n}sim operatorname {Pois} (lambda _{n})}$ куда ${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2}+dots +lambda _{n}=1}$, тогда^[25] ${displaystyle (X_{1},X_{2},dots ,X_{n})}$ является полиномиально распределенный${displaystyle (X_{1},X_{2},dots ,X_{n})sim operatorname {Mult} (N,lambda _{1},lambda _{2},dots ,lambda _{n})}$ при условии ${displaystyle N=X_{1}+X_{2}+dots X_{n}}$.

Это означает^[16]:101-102, среди прочего, что для любой неотрицательной функции ${displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})}$,если ${displaystyle (Y_{1},Y_{2},dots ,Y_{n})sim operatorname {Mult} (m,mathbf {p} )}$ полиномиально распределен, то

${displaystyle operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},dots ,Y_{n})]leq e{sqrt {m}}operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},dots ,X_{n})]}$

куда ${displaystyle (X_{1},X_{2},dots ,X_{n})sim operatorname {Pois} (mathbf {p} )}$.

Фактор ${displaystyle e{sqrt {m}}}$ можно удалить, если ${displaystyle f}$ далее предполагается, что она монотонно возрастает или убывает.

Двумерное распределение Пуассона

Это распространение было распространено на двумерный дело.^[26] В производящая функция для этого распределения

${displaystyle g(u,v)=exp[( heta _{1}- heta _{12})(u-1)+( heta _{2}- heta _{12})(v-1)+ heta _{12}(uv-1)]}$

с

${displaystyle heta _{1}, heta _{2}> heta _{12}>0,}$

Маргинальные распределения - это пуассоновские (θ₁) и Пуассона (θ₂), а коэффициент корреляции ограничен диапазоном

${displaystyle 0leq ho leq min left{{frac { heta _{1}}{ heta _{2}}},{frac { heta _{2}}{ heta _{1}}}ight}}$

Простой способ сгенерировать двумерное распределение Пуассона ${displaystyle X_{1},X_{2}}$ состоит в том, чтобы взять три независимых распределения Пуассона ${displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$ со средствами ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}}$ а затем установите ${displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}}$. Функция вероятности двумерного распределения Пуассона равна

${displaystyle {egin{aligned}&Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})={}&exp left(-lambda _{1}-lambda _{2}-lambda _{3}ight){frac {lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{frac {lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}sum _{k=0}^{min(k_{1},k_{2})}{inom {k_{1}}{k}}{inom {k_{2}}{k}}k!left({frac {lambda _{3}}{lambda _{1}lambda _{2}}}ight)^{k}end{aligned}}}$

Свободное распределение Пуассона

Свободное распределение Пуассона^[27] с размером прыжка ${displaystyle alpha }$ и оценить ${displaystyle lambda }$ возникает в свободная вероятность теория как предел повторения свободная свертка

${displaystyle left(left(1-{frac {lambda }{N}}ight)delta _{0}+{frac {lambda }{N}}delta _{alpha }ight)^{oxplus N}}$

в качестве N → ∞.

Другими словами, пусть ${displaystyle X_{N}}$ быть случайными величинами, так что ${displaystyle X_{N}}$ имеет ценность ${displaystyle alpha }$ с вероятностью ${displaystyle {frac {lambda }{N}}}$ и значение 0 с оставшейся вероятностью. Предположим также, что семья ${displaystyle X_{1},X_{2},ldots }$ находятся свободно независимый. Тогда предел при ${displaystyle N o infty }$ закона ${displaystyle X_{1}+cdots +X_{N}}$дается законом Свободного Пуассона с параметрами ${displaystyle lambda ,alpha }$.

Это определение аналогично одному из способов, которыми классическое распределение Пуассона получается из (классического) пуассоновского процесса.

Мера, связанная со свободным законом Пуассона, дается выражением^[28]

${displaystyle mu ={egin{cases}(1-lambda )delta _{0}+lambda u ,&{ ext{if }}0leq lambda leq 1u ,&{ ext{if }}lambda >1,end{cases}}}$

куда

${displaystyle u ={frac {1}{2pi alpha t}}{sqrt {4lambda alpha ^{2}-(t-alpha (1+lambda ))^{2}}},dt}$

и имеет поддержку ${displaystyle [alpha (1-{sqrt {lambda }})^{2},alpha (1+{sqrt {lambda }})^{2}]}$.

Этот закон также возникает в случайная матрица теория как Марченко – Пастур закон. Его бесплатные кумулянты равны ${displaystyle kappa _{n}=lambda alpha ^{n}}$.

Некоторые трансформации этого закона

Приведены значения некоторых важных преобразований свободного закона Пуассона; расчет можно найти, например, в в книге Лекции по комбинаторике свободной вероятности А. Ника и Р. Спайчер^[29]

В R-преобразование свободного закона Пуассона определяется выражением

${displaystyle R(z)={frac {lambda alpha }{1-alpha z}}.}$

В Преобразование Коши (что является отрицательным Преобразование Стилтьеса ) дан кем-то

${displaystyle G(z)={frac {z+alpha -lambda alpha -{sqrt {(z-alpha (1+lambda ))^{2}-4lambda alpha ^{2}}}}{2alpha z}}}$

В S-преобразование дан кем-то

${displaystyle S(z)={frac {1}{z+lambda }}}$

в случае, если ${displaystyle alpha =1}$.

Статистические выводы

Смотрите также: Регрессия Пуассона

Оценка параметров

Учитывая образец п измеренные значения ${displaystyle k_{i}in {0,1,...}}$, за я = 1, ..., п, мы хотим оценить значение параметра λ популяции Пуассона, из которой была взята выборка. В максимальная вероятность оценка ^[30]

${displaystyle {widehat {lambda }}_{mathrm {MLE} }={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}k_{i}.!}$

Поскольку каждое наблюдение имеет математическое ожидание λ, то же самое означает выборочное среднее. Следовательно, оценка максимального правдоподобия - это объективный оценщик из λ. Это также эффективная оценка, поскольку ее дисперсия достигает Нижняя граница Крамера – Рао (CRLB).^{[нужна цитата ]} Следовательно, это несмещенный с минимальной дисперсией. Также можно доказать, что сумма (и, следовательно, выборочное среднее значение, поскольку оно является взаимно однозначной функцией от суммы) является полной и достаточной статистикой для λ.

Чтобы доказать достаточность, мы можем использовать теорема факторизации. Рассмотрим разделение функции масс вероятности совместного распределения Пуассона для выборки на две части: одна, которая зависит исключительно от выборки. ${displaystyle mathbf {x} }$ (называется ${displaystyle h(mathbf {x} )}$) и зависящую от параметра ${displaystyle lambda }$ и образец ${displaystyle mathbf {x} }$ только через функцию ${displaystyle T(mathbf {x} )}$. потом ${displaystyle T(mathbf {x} )}$ является достаточной статистикой для ${displaystyle lambda }$.

${displaystyle P(mathbf {x} )=prod _{i=1}^{n}{frac {lambda ^{x_{i}}e^{-lambda }}{x_{i}!}}={frac {1}{prod _{i=1}^{n}x_{i}!}} imes lambda ^{sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-nlambda }}$

Первый срок, ${displaystyle h(mathbf {x} )}$, зависит только от ${displaystyle mathbf {x} }$. Второй срок, ${displaystyle g(T(mathbf {x} )|lambda )}$, зависит от образца только через ${displaystyle T(mathbf {x} )=sum _{i=1}^{n}x_{i}}$. Таким образом, ${displaystyle T(mathbf {x} )}$ достаточно.

Чтобы найти параметр λ, который максимизирует функцию вероятности для пуассоновской популяции, мы можем использовать логарифм функции правдоподобия:

${displaystyle {egin{aligned}ell (lambda )&=ln prod _{i=1}^{n}f(k_{i}mid lambda )&=sum _{i=1}^{n}ln !left({frac {e^{-lambda }lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}ight)&=-nlambda +left(sum _{i=1}^{n}k_{i}ight)ln(lambda )-sum _{i=1}^{n}ln(k_{i}!).end{aligned}}}$

Возьмем производную от ${displaystyle ell }$ относительно λ и сравните с нулем:

${displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} lambda }}ell (lambda )=0iff -n+left(sum _{i=1}^{n}k_{i}ight){frac {1}{lambda }}=0.!}$

Решение для λ дает стационарную точку.

${displaystyle lambda ={frac {sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$

Так λ это среднее значение k_я значения. Получение знака второй производной от L в стационарной точке определит, какое экстремальное значение λ является.

${displaystyle {frac {partial ^{2}ell }{partial lambda ^{2}}}=-lambda ^{-2}sum _{i=1}^{n}k_{i}}$

Оценка второй производной в стационарной точке дает:

${displaystyle {frac {partial ^{2}ell }{partial lambda ^{2}}}=-{frac {n^{2}}{sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$

что является негативом п умноженное на обратную величину среднего k_я. Это выражение отрицательно, когда среднее положительное. Если это выполнено, то стационарная точка максимизирует функцию вероятности.

За полнота, семейство распределений называется полным тогда и только тогда, когда ${displaystyle E(g(T))=0}$ подразумевает, что ${displaystyle P_{lambda }(g(T)=0)=1}$ для всех ${displaystyle lambda }$. Если человек ${displaystyle X_{i}}$ iid ${displaystyle mathrm {Po} (lambda )}$, тогда ${displaystyle T(mathbf {x} )=sum _{i=1}^{n}X_{i}sim mathrm {Po} (nlambda )}$. Зная распределение, которое мы хотим исследовать, легко увидеть, что статистика завершена.

${displaystyle E(g(T))=sum _{t=0}^{infty }g(t){frac {(nlambda )^{t}e^{-nlambda }}{t!}}=0}$

Для выполнения этого равенства ${displaystyle g(t)}$ должно быть 0. Это следует из того факта, что ни один из других членов не будет равен 0 для всех ${displaystyle t}$ в сумме и для всех возможных значений ${displaystyle lambda }$. Следовательно, ${displaystyle E(g(T))=0}$ для всех ${displaystyle lambda }$ подразумевает, что ${displaystyle P_{lambda }(g(T)=0)=1}$, и статистика оказалась полной.

Доверительный интервал

В доверительный интервал для среднего значения распределения Пуассона можно выразить с помощью соотношения между кумулятивными функциями распределения Пуассона и распределения хи-квадрат. Само распределение хи-квадрат тесно связано с гамма-распределение, и это приводит к альтернативному выражению. Учитывая наблюдение k из распределения Пуассона со средним μ, доверительный интервал для μ с уровнем уверенности 1 - α является

${displaystyle { frac {1}{2}}chi ^{2}(alpha /2;2k)leq mu leq { frac {1}{2}}chi ^{2}(1-alpha /2;2k+2),}$

или эквивалентно,

${displaystyle F^{-1}(alpha /2;k,1)leq mu leq F^{-1}(1-alpha /2;k+1,1),}$

куда ${displaystyle chi ^{2}(p;n)}$ это квантильная функция (соответствует нижней части хвоста п) распределения хи-квадрат с п степени свободы и ${displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$ квантильная функция гамма-распределение с параметром формы n и параметром масштаба 1.^{[7]:176-178[31]} Этот интервал равен 'точный 'в том смысле, что его вероятность покрытия никогда не меньше номинала 1 - α.

Когда квантили гамма-распределения недоступны, было предложено точное приближение к этому точному интервалу (на основе Преобразование Вильсона – Хильферти ):^[32]

${displaystyle kleft(1-{frac {1}{9k}}-{frac {z_{alpha /2}}{3{sqrt {k}}}}ight)^{3}leq mu leq (k+1)left(1-{frac {1}{9(k+1)}}+{frac {z_{alpha /2}}{3{sqrt {k+1}}}}ight)^{3},}$

куда ${displaystyle z_{alpha /2}}$ обозначает стандартное нормальное отклонение с верхней хвостовой частью α / 2.

Для применения этих формул в том же контексте, что и выше (приведен образец п измеренные значения k_я каждый взят из распределения Пуассона со средним λ) можно было бы положить

${displaystyle k=sum _{i=1}^{n}k_{i},!}$

рассчитать интервал для μ = nλ, а затем получить интервал для λ.

Байесовский вывод

В Байесовский вывод, то сопряженный предшествующий для параметра скорости λ распределения Пуассона является гамма-распределение.^[33] Позволять

${displaystyle lambda sim mathrm {Gamma} (alpha ,eta )!}$

обозначим, что λ распределяется по гамме плотность грамм параметризованный в терминах параметр формы α и обратное масштабный параметр β:

${displaystyle g(lambda mid alpha ,eta )={frac {eta ^{alpha }}{Gamma (alpha )}};lambda ^{alpha -1};e^{-eta ,lambda }qquad { ext{ for }}lambda >0,!.}$

Затем, учитывая тот же образец п измеренные значения k_я как прежде, а приора Гамма (α, β) апостериорное распределение равно

${displaystyle lambda sim mathrm {Gamma} left(alpha +sum _{i=1}^{n}k_{i},eta +night).!}$

Апостериорное среднее E [λ] приближается к оценке максимального правдоподобия ${displaystyle {widehat {lambda }}_{mathrm {MLE} }}$ в пределе как ${displaystyle alpha o 0, eta o 0}$, что непосредственно следует из общего выражения среднего значения гамма-распределение.

В апостериорное прогнозирующее распределение для одного дополнительного наблюдения отрицательное биномиальное распределение,^[34]:53 иногда его называют гамма-распределением Пуассона.

Одновременная оценка нескольких средних Пуассона

Предполагать ${displaystyle X_{1},X_{2},dots ,X_{p}}$ представляет собой набор независимых случайных величин из набора ${displaystyle p}$ Распределения Пуассона, каждое с параметром ${displaystyle lambda _{i}}$, ${displaystyle i=1,dots ,p}$, и мы хотели бы оценить эти параметры. Затем Клевенсон и Зидек показывают, что при нормированных квадратах потерь ошибок ${displaystyle L(lambda ,{hat {lambda }})=sum _{i=1}^{p}lambda _{i}^{-1}({hat {lambda }}_{i}-lambda _{i})^{2}}$, когда ${displaystyle p>1}$, то аналогично Пример Штейна для нормальных средних, оценка MLE ${displaystyle {hat {lambda }}_{i}=X_{i}}$ является недопустимый. ^[35]

В этом случае семья минимаксные оценки дается для любого ${displaystyle 0<cleq 2(p-1)}$ и ${displaystyle bgeq (p-2+p^{-1})}$ в качестве^[36]

${displaystyle {hat {lambda }}_{i}=left(1-{frac {c}{b+sum _{i=1}^{p}X_{i}}}ight)X_{i},qquad i=1,dots ,p.}$

Возникновение и приложения

Приложения распределения Пуассона можно найти во многих областях, включая:^[37]

• Телекоммуникации Пример: поступающие в систему телефонные звонки.
• Астрономия Пример: фотоны прибывают в телескоп.
• Химия пример: молярно-массовое распределение из живая полимеризация.^[38]
• Биология пример: количество мутаций в цепи ДНК на единицу длины.
• Управление пример: клиенты приходят к стойке или колл-центру.
• Финансы и страхование пример: количество убытков или претензий, возникших за определенный период времени.
• Сейсмология землетрясений Пример: асимптотическая пуассоновская модель сейсмического риска для сильных землетрясений.^[39]
• Радиоактивность Пример: количество распадов радиоактивного образца за заданный интервал времени.
• Оптика Пример: количество фотонов, испускаемых за один лазерный импульс. Это серьезная уязвимость для большинства Квантовое распределение ключей протоколы, известные как разделение числа фотонов (PNS).

Распределение Пуассона возникает в связи с пуассоновскими процессами. Он применяется к различным явлениям с дискретными свойствами (то есть к тем, которые могут происходить 0, 1, 2, 3, ... раз в течение данного периода времени или в данной области) всякий раз, когда вероятность возникновения явления постоянна в время или Космос. Примеры событий, которые можно смоделировать как распределение Пуассона, включают:

• Количество солдат, погибших от ударов лошадей каждый год в каждом корпусе в Прусский кавалерия. Этот пример был использован в книге Ладислав Борткевич (1868–1931).^[40]:23-25
• Количество дрожжевых клеток, используемых при пивоварении Guinness пиво. Этот пример использовался Уильям Сили Госсет (1876–1937).^[41][42]
• Количество телефонных звонков, поступивших в колл-центр в течение минуты. Этот пример описал А.К. Erlang (1878–1929).^[43]
• Интернет-трафик.
• Количество голов в видах спорта с участием двух соревнующихся команд.^[44]
• Количество смертей в год в данной возрастной группе.
• Количество скачков цены акции за данный промежуток времени.
• При предположении однородность, количество раз веб сервер доступ за минуту.
• Количество мутации на данном отрезке ДНК после определенного количества радиации.
• Доля клетки который будет заражен при заданном множественность заражения.
• Количество бактерий в определенном количестве жидкости.^[45]
• Прибытие из фотоны на схеме пикселя при заданном освещении и в течение заданного периода времени.
• Нацеливание на Летающие бомбы Фау-1 на Лондоне во время Второй мировой войны, исследованный Р. Д. Кларком в 1946 году.^[46]

Галлахер показал в 1976 году, что количество простые числа в короткие промежутки времени подчиняются распределению Пуассона^[47] представил определенную версию недоказанного гипотеза Харди-Литтлвуда о простых r-наборах^[48] правда.

Закон редких событий

Основная статья: Предельная теорема Пуассона

Сравнение распределения Пуассона (черные линии) и биномиальное распределение с п = 10 (красные кружки), п = 20 (синие кружки), п = 1000 (зеленые кружки). Все распределения имеют среднее значение 5. На горизонтальной оси показано количество событий.k. В качестве п становится больше, распределение Пуассона становится все более лучшим приближением для биномиального распределения с тем же средним значением.

Частота события связана с вероятностью того, что событие произойдет в некотором небольшом подынтервале (времени, пространства или иного). В случае распределения Пуассона предполагается, что существует достаточно малый подинтервал, для которого вероятность того, что событие произойдет дважды, «пренебрежимо мала». С этим предположением можно вывести распределение Пуассона из биномиального, учитывая только информацию об ожидаемом количестве общих событий во всем интервале. Пусть это общее количество будет ${displaystyle lambda }$. Разделите весь интервал на ${displaystyle n}$ подынтервалы ${displaystyle I_{1},dots ,I_{n}}$ равного размера, так что ${displaystyle n}$ > ${displaystyle lambda }$ (поскольку нас интересуют только очень маленькие части интервала, это предположение имеет смысл). Это означает, что ожидаемое количество событий в интервале ${displaystyle I_{i}}$ для каждого ${displaystyle i}$ равно ${displaystyle lambda /n}$. Теперь предположим, что наступление события на всем интервале можно рассматривать как Бернулли суд, где ${displaystyle i^{th}}$ испытание соответствует проверке того, происходит ли событие на подынтервале ${displaystyle I_{i}}$ с вероятностью ${displaystyle lambda /n}$. Ожидаемое количество общих событий в ${displaystyle n}$ такие испытания были бы ${displaystyle lambda }$, ожидаемое количество общих событий во всем интервале. Следовательно, для каждого подразделения интервала мы аппроксимировали возникновение события как процесс Бернулли, имеющий вид ${displaystyle { extrm {B}}(n,lambda /n)}$. Как мы уже отмечали ранее, мы хотим рассматривать только очень маленькие подынтервалы. Поэтому мы берем предел как ${displaystyle n}$ стремится к бесконечности. В этом случае биномиальное распределение сходится к так называемому распределению Пуассона. Предельная теорема Пуассона.

В некоторых из приведенных выше примеров - таких как количество мутаций в данной последовательности ДНК - подсчитываемые события на самом деле являются результатами дискретных испытаний и более точно моделируются с использованием биномиальное распределение, то есть

${displaystyle Xsim { extrm {B}}(n,p).,}$

В таких случаях п очень большой и п очень мало (и поэтому ожидание нп имеет промежуточную величину). Тогда это распределение можно аппроксимировать менее громоздким распределением Пуассона^{[нужна цитата ]}

${displaystyle Xsim { extrm {Pois}}(np).,}$

Это приближение иногда называют закон редких событий,^[49]:5поскольку каждый из п индивидуальный События Бернулли встречается редко. Название может вводить в заблуждение, поскольку общее количество успешных событий в процессе Пуассона не обязательно должно быть редким, если параметр нп не маленький. Например, количество телефонных звонков на загруженный коммутатор за один час соответствует распределению Пуассона, при этом события кажутся оператору частыми, но они редки с точки зрения среднего члена населения, который вряд ли совершит звонок на тот коммутатор в тот час.

Слово закон иногда используется как синоним распределение вероятностей, и сближение в праве средства конвергенция в распределении. Соответственно, распределение Пуассона иногда называют «законом малых чисел», потому что это распределение вероятностей количества появлений события, которое случается редко, но имеет очень много возможностей. Закон малых чисел это книга Ладислава Борткевича о распределении Пуассона, опубликованная в 1898 году.^[40][50]

Точечный процесс Пуассона

Основная статья: Точечный процесс Пуассона

Распределение Пуассона возникает как количество точек Точечный процесс Пуассона расположен в некоторой конечной области. В частности, если D некоторое пространство региона, например евклидово пространство р^d, для которого |D|, площадь, объем или, в более общем смысле, мера Лебега области конечна, и если N(D) обозначает количество точек в D, тогда

${displaystyle P(N(D)=k)={frac {(lambda |D|)^{k}e^{-lambda |D|}}{k!}}.}$

Пуассоновская регрессия и отрицательная биномиальная регрессия

Регрессия Пуассона и отрицательная биномиальная регрессия полезны для анализа, где зависимая (ответная) переменная - это количество (0, 1, 2, ...) числа событий или вхождений в интервале.

Другие приложения в науке

В пуассоновском процессе количество наблюдаемых явлений колеблется около своего среднего значения. λ с стандартное отклонение ${displaystyle sigma _{k}={sqrt {lambda }}}$. Эти колебания обозначены как Пуассоновский шум или (особенно в электронике) как дробовой шум.

Корреляция среднего и стандартного отклонения при подсчете независимых дискретных событий полезна с научной точки зрения. Наблюдая за тем, как колебания изменяются со средним сигналом, можно оценить вклад одного события, даже если этот вклад слишком мал для непосредственного обнаружения. Например, заряд е на электрон можно оценить, сопоставив величину электрический ток с этими дробовой шум. Если N электроны проходят точку за заданное время т в среднем иметь в виду Текущий является ${displaystyle I=eN/t}$; поскольку текущие колебания должны быть порядка ${displaystyle sigma _{I}=e{sqrt {N}}/t}$ (т. е. стандартное отклонение Пуассоновский процесс ), заряд ${displaystyle e}$ можно оценить из соотношения ${displaystyle tsigma _{I}^{2}/I}$.^{[нужна цитата ]}

Обычным примером является зернистость, которая появляется при увеличении фотографий; зернистость обусловлена ​​пуассоновскими колебаниями числа уменьшенных серебро зерна, а не отдельные зерна. К коррелирующий зернистость со степенью увеличения, можно оценить вклад отдельного зерна (которое в противном случае слишком мало, чтобы его можно было увидеть без посторонней помощи).^{[нужна цитата ]} Было разработано множество других молекулярных приложений пуассоновского шума, например, для оценки числовой плотности рецептор молекулы в клеточная мембрана.

${displaystyle Pr(N_{t}=k)=f(k;lambda t)={frac {(lambda t)^{k}e^{-lambda t}}{k!}}.}$

В Причинный набор В теории дискретные элементы пространства-времени подчиняются распределению Пуассона в объеме.

Вычислительные методы

Распределение Пуассона ставит перед выделенными программными библиотеками две разные задачи: Оценка распространение ${displaystyle P(k;lambda )}$, и рисование случайных чисел согласно этому распределению.

Оценка распределения Пуассона

Вычисление ${displaystyle P(k;lambda )}$ для данного ${displaystyle k}$ и ${displaystyle lambda }$ это тривиальная задача, которую можно решить, используя стандартное определение ${displaystyle P(k;lambda )}$ в терминах экспоненциальной, степенной и факториальной функций. Однако обычное определение распределения Пуассона содержит два члена, которые могут легко переполниться на компьютерах: λ^k и k!. Доля λ^k к k! может также привести к очень большой ошибке округления по сравнению с е^−λ, и, следовательно, дают ошибочный результат. Поэтому для численной устойчивости функция массы вероятности Пуассона должна быть оценена как

${displaystyle !f(k;lambda )=exp left[kln lambda -lambda -ln Gamma (k+1)ight],}$

что математически эквивалентно, но численно стабильно. Натуральный логарифм от Гамма-функция можно получить с помощью lgamma функция в C стандартная библиотека (версия C99) или р, то гаммалн функционировать в MATLAB или же SciPy, или log_gamma функционировать в Фортран 2008 г. и позже.

Некоторые вычислительные языки предоставляют встроенные функции для оценки распределения Пуассона, а именно:

• р: функция dpois (x, лямбда);
• Excel: функция ПУАССОН (x; среднее; кумулятивное), с флагом для указания кумулятивного распределения;
• Mathematica: одномерное распределение Пуассона как Распределение Пуассона[${displaystyle lambda }$],^[51] двумерное распределение Пуассона как Многомерное распределение Пуассона [${displaystyle heta _{12}}$,{ ${displaystyle heta _{1}- heta _{12}}$, ${displaystyle heta _{2}- heta _{12}}$}],.^[52]

Случайный выбор из распределения Пуассона

Менее тривиальная задача - извлечь случайные целые числа из распределения Пуассона с заданными ${displaystyle lambda }$.

Решения предоставляются:

• р: функция rpois (n, лямбда);
• Научная библиотека GNU (GSL): функция gsl_ran_poisson

Генерация случайных величин с распределением по Пуассону

Простой алгоритм генерации случайных чисел с распределением Пуассона (выборка псевдослучайных чисел ) был предоставлен Knuth:^[53]:137-138

алгоритм случайное число Пуассона (Кнут):    в этом:        Позволять L ← е−λ, k ← 0 и p ← 1. делать: k ← k + 1. Сгенерировать равномерное случайное число u в [0,1] и позволять p ← p × u. пока p> L. возвращаться к - 1.

Сложность линейна по возвращаемому значению k, что в среднем равно λ. Есть много других алгоритмов для улучшения этого. Некоторые из них приведены в Ahrens & Dieter, см. § Рекомендации ниже.

Для больших значений λ значение L = е^−λ может быть настолько маленьким, что его трудно представить. Это можно решить, изменив алгоритм, который использует дополнительный параметр STEP, так что е^-ШАГ не переполняется:^{[нужна цитата ]}

алгоритм случайное число Пуассона (Цзюньхао, на основе Кнута):    в этом:        Позволять λLeft ← λ, k ← 0 и p ← 1. делать: k ← k + 1. Сгенерировать равномерное случайное число u в (0,1) и позволять p ← p × u. пока p <1 и λLeft> 0: если λВлево> ШАГ: p ← p × еШАГ                λLeft ← λLeft - ШАГ еще: p ← p × еλ влево                λвлево ← 0 пока р> 1. возвращаться к - 1.

Выбор ШАГА зависит от порога переполнения. Для формата с плавающей запятой двойной точности порог близок к е⁷⁰⁰, поэтому 500 будет безопасным ШАГ.

Другие решения для больших значений λ включают отбраковка и используя приближение Гаусса.

Выборка с обратным преобразованием прост и эффективен для малых значений λ и требует только одного однородного случайного числа ты за образец. Кумулятивные вероятности исследуются по очереди, пока одна из них не превысит ты.

алгоритм Генератор Пуассона на основе обращения путем последовательного поиска:[54]:505    в этом:        Позволять x ← 0, p ← е−λ, s ← стр. Сгенерируйте равномерное случайное число u в [0,1]. пока u> s делать: x ← x + 1. p ← p × λ / x. s ← s + p. возвращаться Икс.

История

Распределение было впервые представлено Симеон Дени Пуассон (1781–1840) и опубликовал вместе со своей теорией вероятностей в своей работе Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile(1837).^[55]:205-207 Работа теоретизировала о количестве неправомерных приговоров в данной стране, сосредотачиваясь на определенных случайные переменные N которые подсчитывают, среди прочего, количество дискретных событий (иногда называемых «событиями» или «прибытием»), которые происходят во время время -интервал заданной длины. Результат был дан уже в 1711 г. Авраам де Муавр в De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum в Ludis a Casu Fortuito Pendentibus .^{[56]:219[57]:14-15[58]:193[7]:157} Это делает его примером Закон Стиглера и это побудило некоторых авторов утверждать, что распределение Пуассона должно носить имя де Муавра.^[59][60]

В 1860 г. Саймон Ньюкомб приспособил распределение Пуассона к количеству звезд в единице пространства.^[61]Дальнейшее практическое применение этого распределения было сделано Ладислав Борткевич в 1898 г., когда ему было поручено исследовать количество солдат в прусской армии, случайно убитых ногами лошадей;^[40]:23-25 этот эксперимент ввел распределение Пуассона в поле инженерия надежности.

Смотрите также

• Составное распределение Пуассона
• Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона.
• Распределение Erlang
• Распределение Эрмита
• Индекс рассеивания
• Отрицательное биномиальное распределение
• Комкование Пуассона
• Точечный процесс Пуассона
• Регрессия Пуассона
• Пуассоновская выборка
• Вейвлет Пуассона
• Теория массового обслуживания
• Теория обновления
• Лемма Роббинса
• Распределение Скеллама
• Распределение твиди
• Модель без наддува
• Распределение Пуассона с нулевым усечением

Рекомендации

Цитаты

1. Хейт, Фрэнк А. (1967), Справочник по распределению Пуассона, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-33932-8
2. Брукс, Э. Брюс (24 августа 2007 г.), Статистика | Распределение Пуассона, Проект Воюющих Государств, Umass.edu, получено 2014-04-18
3. Йейтс, Рой Д .; Гудман, Дэвид Дж. (2014), Вероятностные и случайные процессы: удобное введение для инженеров-электриков и компьютерных инженеров (2-е изд.), Хобокен, США: Wiley, ISBN  978-0-471-45259-1
4. Для доказательства см .:Proof wiki: ожидание и Proof wiki: дисперсия
5. Кёрсен, Уильям (2019-01-20), Распределение Пуассона и объяснение процесса Пуассона, На пути к науке о данных, получено 2019-09-19
6. Угарте, Мария Долорес; Милитино, Ана Ф .; Арнхольт, Алан Т. (2016), Вероятность и статистика с R (Второе издание), Бока-Ратон, Флорида, США: CRC Press, ISBN  978-1-4665-0439-4
7. Джонсон, Норман Л .; Кемп, Эдриен В .; Коц, Сэмюэл (2005), «Распределение Пуассона», Одномерные дискретные распределения (3-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, Inc., стр. 156–207, Дои:10.1002/0471715816, ISBN  978-0-471-27246-5
8. Хельске, Йоуни (2017). "KFAS: Экспоненциальные модели пространства состояний семейства в R". arXiv:1612.01907 [stat.CO ].
9. Чой, Квок П. (1994), "О медианах гамма-распределений и уравнении Рамануджана", Труды Американского математического общества, 121 (1): 245–251, Дои:10.2307/2160389, JSTOR  2160389
10. Риордан, Джон (1937), "Соотношения повторяемости моментов для биномиальных, пуассоновских и гипергеометрических частотных распределений" (PDF), Анналы математической статистики, 8 (2): 103–111, Дои:10.1214 / aoms / 1177732430, JSTOR  2957598
11. Джагадисан, Мина (2017). «Простой анализ разреженных, согласованных по знакам JL». arXiv:1708.02966 [cs.DS ].
12. Леманн, Эрих Лео (1986), Проверка статистических гипотез (второе изд.), Нью-Йорк, Нью-Джерси, США: Springer Verlag, ISBN  978-0-387-94919-2
13. Райков, Дмитрий (1937), "О разложении законов Пуассона", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS, 14: 9–11
14. фон Мизес, Ричард (1964), Математическая теория вероятностей и статистики, Нью-Йорк, Нью-Джерси, США: Academic Press, Дои:10.1016 / C2013-0-12460-9, ISBN  978-1-4832-3213-3
15. Лаха, Радха Г .; Рохатги, Виджай К. (1979), Теория вероятности, Нью-Йорк, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-03262-5
16. Митценмахер, Майкл; Упфаль, Эли (2005), Вероятность и вычисления: рандомизированные алгоритмы и вероятностный анализ, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83540-4
17. Шорт, Майкл (2013), "Улучшенные неравенства для пуассоновского и биномиального распределения и квантильные функции верхнего хвоста", Вероятность и статистика ISRN, 2013: 412958, Дои:10.1155/2013/412958
18. Каматх, Говинда М .; Чашоглу, Эрен; Це, Дэвид (2015), «Оптимальная сборка гаплотипа на основе высокопроизводительных чтений пар пары», Международный симпозиум IEEE по теории информации (ISIT), 2015 г., 14–19 июня, Гонконг, Китай, стр. 914–918, arXiv:1502.01975, Дои:10.1109 / ISIT.2015.7282588, S2CID  128634
19. Принс, Джек (2012), «6.3.3.1. Графики контроля подсчета», Электронный справочник статистических методов, NIST / SEMATECH, получено 2019-09-20
20. Чжан, Хуйминь; Лю, Юньсяо; Ли, Бо (2014), «Заметки о дискретной составной модели Пуассона с приложениями к теории риска», Страхование: математика и экономика, 59: 325–336, Дои:10.1016 / j.insmatheco.2014.09.012
21. Чжан, Хуйминь; Ли, Бо (2016), "Характеристики дискретных составных распределений Пуассона", Коммуникации в статистике - теория и методы, 45 (22): 6789–6802, Дои:10.1080/03610926.2014.901375, S2CID  125475756
22. Маккаллах, Питер; Нелдер, Джон (1989), Обобщенные линейные модели, Монографии по статистике и прикладной теории вероятностей, 37, Лондон, Великобритания: Чепмен и Холл, ISBN  978-0-412-31760-6
23. Анскомб, Фрэнсис Дж. (1948), «Преобразование пуассоновских, биномиальных и отрицательных биномиальных данных», Биометрика, 35 (3–4): 246–254, Дои:10.1093 / biomet / 35.3-4.246, JSTOR  2332343
24. Росс, Шелдон М. (2010), Введение в вероятностные модели (десятое изд.), Бостон, Массачусетс, США: Academic Press, ISBN  978-0-12-375686-2
25. «1.7.7 - Связь между многочленом и пуассоном | STAT 504».
26. Лукас, Сотириос; Кемп, К. Дэвид (1986), "Индекс дисперсии теста для двумерного распределения Пуассона", Биометрия, 42 (4): 941–948, Дои:10.2307/2530708, JSTOR  2530708
27. Свободные случайные переменные Д. Войкулеску, К. Дайкема, А. Ника, Серия монографий CRM, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1992
28. Джеймс А. Минго, Роланд Спайчер: свободные вероятности и случайные матрицы. Монографии Института Филдса, Vol. 35, Спрингер, Нью-Йорк, 2017.
29. Лекции А. Ники и Р. Спайхера по комбинаторике свободной вероятности, стр. 203–204, Cambridge Univ. Пресса 2006
30. Пашек, Ева. «Оценка максимального правдоподобия - примеры».
31. Гарвуд, Франк (1936), "Фидуциарные пределы для распределения Пуассона", Биометрика, 28 (3/4): 437–442, Дои:10.1093 / biomet / 28.3-4.437, JSTOR  2333958
32. Бреслоу, Норман Э.; День, Ник Э. (1987), Статистические методы исследования рака: том 2 - Дизайн и анализ когортных исследований, Лион, Франция: Международное агентство по изучению рака, ISBN  978-92-832-0182-3, заархивировано из оригинал на 2018-08-08, получено 2012-03-11
33. Финк, Дэниел (1997), Сборник сопряженных приоров
34. Гельман; Карлин, Джон Б.; Стерн, Хэл С .; Рубин, Дональд Б. (2003), Байесовский анализ данных (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида, США: Chapman & Hall / CRC, ISBN  1-58488-388-X
35. Клевенсон, М. Лоуренс; Зидек, Джеймс В. (1975), "Одновременная оценка средств независимых законов Пуассона", Журнал Американской статистической ассоциации, 70 (351): 698–705, Дои:10.1080/01621459.1975.10482497, JSTOR  2285958
36. Бергер, Джеймс О. (1985), Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ, Springer Series in Statistics (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Джерси, США: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-4286-2, ISBN  978-0-387-96098-2
37. Раш, Георг (1963), «Пуассоновский процесс как модель разнообразия поведенческих явлений» (PDF), 17-й Международный психологический конгресс, 2, Вашингтон, округ Колумбия, США, 20–26 августа 1963 г .: Американская психологическая ассоциация, Дои:10.1037 / e685262012-108
38. Флори, Пол Дж. (1940), "Распределение размеров молекул в полимерах оксида этилена", Журнал Американского химического общества, 62 (6): 1561–1565, Дои:10.1021 / ja01863a066
39. Ломниц, Цинна (1994), Основы прогнозирования землетрясений, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN  0-471-57419-8, OCLC  647404423
40. фон Борткевич, Ладислав (1898), Das Gesetz der kleinen Zahlen [Закон малых чисел] (на немецком языке), Лейпциг, Германия: B. G. Teubner, p. На Страница 1, Борткевич представляет распределение Пуассона. На страницы 23–25 Борткевич представляет свой анализ «4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preußischen Heere Getöteten». (4. Пример: погибшие в прусской армии от удара лошади.)
41. Студент (1907), «Об ошибке счета гемацитометром», Биометрика, 5 (3): 351–360, Дои:10.2307/2331633, JSTOR  2331633
42. Боланд, Филип Дж. (1984), «Биографический взгляд на Уильяма Сили Госсета», Американский статистик, 38 (3): 179–183, Дои:10.1080/00031305.1984.10483195, JSTOR  2683648
43. Эрланг, Агнер К. (1909), "Sandsynlighedsregning og Telefonsamtaler" [Расчет вероятности и телефонные разговоры], Nyt Tidsskrift для Matematik (на датском), 20 (B): 33–39, JSTOR  24528622
44. Хорнби, Дэйв (2014), Модель прогнозирования футбола: распределение Пуассона, Ставки на спорт онлайн, получено 2014-09-19
45. Кояма, Кенто; Хокунан, Хидеказу; Хасэгава, Маюми; Кавамура, Сусо; Косеки, Сигенобу (2016), «Соответствуют ли числа бактериальных клеток теоретическому распределению Пуассона? Сравнение экспериментально полученных чисел отдельных клеток с генерацией случайных чисел с помощью компьютерного моделирования», Пищевая микробиология, 60: 49–53, Дои:10.1016 / j.fm.2016.05.019, PMID  27554145
46. Кларк, Р. Д. (1946), «Приложение распределения Пуассона» (PDF), Журнал института актуариев, 72 (3): 481, Дои:10.1017 / S0020268100035435
47. Галлахер, Патрик X. (1976), "О распределении простых чисел на коротких интервалах", Математика, 23 (1): 4–9, Дои:10.1112 / с0025579300016442
48. Харди, Годфри Х.; Литтлвуд, Джон Э. (1923), «О некоторых проблемах« partitio numerorum »III: О выражении числа как суммы простых чисел», Acta Mathematica, 44: 1–70, Дои:10.1007 / BF02403921
49. Кэмерон, А. Колин; Триведи, Правин К. (1998), Регрессионный анализ данных подсчета, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-63567-7
50. Эджворт, Фрэнсис Ю. (1913), «Об использовании теории вероятностей в статистике, относящейся к обществу», Журнал Королевского статистического общества, 76 (2): 165–193, Дои:10.2307/2340091, JSTOR  2340091
51. "Язык Wolfram Language: справочная страница PoissonDistribution". wolfram.com. Получено 2016-04-08.
52. "Язык Wolfram Language: справочная страница MultivariatePoissonDistribution". wolfram.com. Получено 2016-04-08.
53. Кнут, Дональд Эрвин (1997), Получисловые алгоритмы, Искусство программирования, 2 (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-201-89684-8
54. Деврой, Люк (1986), «Дискретные одномерные распределения» (PDF), Генерация неоднородной случайной величины, Нью-Йорк, штат Нью-Джерси, США: Springer-Verlag, стр. 485–553, Дои:10.1007/978-1-4613-8643-8_10, ISBN  978-1-4613-8645-2
55. Пуассон, Симеон Д. (1837), Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calc des probabilitiés [Исследование вероятности судебных решений по уголовным и гражданским делам] (на французском языке), Париж, Франция: Башелье
56. де Муавр, Авраам (1711 г.), «De mensura sortis, seu, de probabilitate eventuum in ludis a casu fortuito pendentibus» [Об измерении вероятности или о вероятности событий в играх, зависящих от случайности], Философские труды Королевского общества (на латыни), 27 (329): 213–264, Дои:10.1098 / рстл.1710.0018
57. де Муавр, Авраам (1718 г.), Доктрина шансов: или метод расчета вероятности событий в игре, Лондон, Великобритания: У. Пирсон
58. де Муавр, Авраам (1721 г.), «О законах случайности», у Мотта, Бенджамина (изд.), Философские транзакции от MDCC года (где заканчивается мистер Лоуторп) до года MDCCXX. Abridg'd и Dispos'd Under General Heads (на латыни), Vol. I, Лондон, Великобритания: Р. Уилкин, Р. Робинсон, С. Баллард, В. и Дж. Иннис, и Дж. Осборн, стр. 190–219.
59. Стиглер, Стивен М. (1982), «Пуассон о распределении Пуассона», Письма о статистике и вероятности, 1 (1): 33–35, Дои:10.1016/0167-7152(82)90010-4
60. Халд, Андерс; де Муавр, Авраам; Макклинток, Брюс (1984), "А. де Муавр:" De Mensura Sortis "или" Об измерении вероятности "'", Международный статистический обзор / Revue Internationale de Statistique, 52 (3): 229–262, Дои:10.2307/1403045, JSTOR  1403045
61. Ньюкомб, Саймон (1860), «Заметки по теории вероятностей», Математический ежемесячник, 2 (4): 134–140

Источники

• Аренс, Иоахим Х .; Дитер, Ульрих (1974), "Компьютерные методы выборки из гамма-, бета-, пуассоновских и биномиальных распределений", Вычисление, 12 (3): 223–246, Дои:10.1007 / BF02293108, S2CID  37484126
• Аренс, Иоахим Х .; Дитер, Ульрих (1982), «Компьютерная генерация отклонений Пуассона», Транзакции ACM на математическом ПО, 8 (2): 163–179, Дои:10.1145/355993.355997, S2CID  12410131
• Эванс, Рональд Дж .; Boersma, J .; Blachman, N.M .; Ягерс, А. А. (1988), "Энтропия распределения Пуассона: проблема 87-6", SIAM Обзор, 30 (2): 314–317, Дои:10.1137/1030059