Распределение арксинусов - Arcsine distribution

Арксинус

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	никто
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,1]}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Медиана	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Режим	${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$
Асимметрия	${\displaystyle 0}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$
Энтропия	${\displaystyle \ln {\tfrac {\pi }{4}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
CF	${\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\ }$

В теория вероятности, то распределение арксинусов это распределение вероятностей чей кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$

для 0 ≤Икс ≤ 1, и чья функция плотности вероятности является

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

на (0, 1). Стандартное распределение арксинусов является частным случаем бета-распространение с α = β = 1/2. То есть, если ${\displaystyle X}$ стандартное распределение арксинусов, то ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$. В более широком смысле, распределение арксинусов является частным случаем Распределение Пирсона типа I.

Появляется распределение арксинуса

• в Закон Леви Арксинус;
• в Закон арксинуса Эрдеша;
• как Джеффрис приор для вероятности успеха Бернулли суд.

Обобщение

Арксинус - ограниченная поддержка

Параметры	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [a,b]}$
PDF	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$
CDF	${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Медиана	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Режим	${\displaystyle x\in {a,b}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}$
Асимметрия	${\displaystyle 0}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}$

Произвольная ограниченная поддержка

Распространение может быть расширено за счет любой ограниченной поддержки от а ≤ Икс ≤ б простым преобразованием

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

за а ≤ Икс ≤ б, и чья функция плотности вероятности является

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

на (а, б).

Фактор формы

Обобщенное стандартное распределение арксинуса на отрезке (0,1) с функцией плотности вероятности

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

также частный случай бета-распространение с параметрами ${\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}$.

Обратите внимание, что когда ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ общее распределение арксинусов сводится к стандартному распределению, указанному выше.

Характеристики

• Распределение арксинуса замкнуто при трансляции и масштабировании положительным фактором
  • Если ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}$
• Квадрат арксинусного распределения по (-1, 1) имеет арксинусное распределение по (0, 1)
  • Если ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}$

Характеристическая функция

Характеристическая функция распределения арксинуса есть конфлюэнтная гипергеометрическая функция и дан как ${\displaystyle {}_{1}F_{1}({\tfrac {1}{2}};1;i\,t)\ }$.

Связанные дистрибутивы

• Если U и V равны i.i.d униформа (−π, π) случайных величин, то ${\displaystyle \sin(U)}$, ${\displaystyle \sin(2U)}$, ${\displaystyle -\cos(2U)}$, ${\displaystyle \sin(U+V)}$ и ${\displaystyle \sin(U-V)}$ у всех есть ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}$ распределение.
• Если ${\displaystyle X}$ - обобщенное распределение арксинуса с параметром формы ${\displaystyle \alpha }$ на конечном интервале [a, b], то ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }$

Смотрите также

• Арксинус

Рекомендации

• Рогозин, Б.А. (2001) [1994], «Распределение арксинусов», Энциклопедия математики, EMS Press