F-распределение - F-distribution

Эта статья о центральном F-распределении. Для обобщенного распределения см. нецентральное F-распределение.

Не путать с F-статистика как используется в популяционная генетика.

Фишер – Снедекор

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	d1, d2 > 0 град. свободы
Поддерживать	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ если ${\displaystyle d_{1}=1}$, иначе ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
CDF	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ за d2 > 2
Режим	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ за d1 > 2
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ за d2 > 4
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ за d2 > 6
Бывший. эксцесс	см текст
Энтропия	${\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}$[1]
MGF	не существует, сырые моменты определены в тексте и в [2][3]
CF	см текст

В теория вероятности и статистика, то F-распределение, также известный как Снедекора F распределение или Распределение Фишера – Снедекора (после Рональд Фишер и Джордж В. Снедекор ) это непрерывное распределение вероятностей что часто возникает как нулевое распределение из статистика теста, особенно в дисперсионный анализ (ANOVA), например, F-тест.^{[требуется разъяснение ][2][3][4][5]}

Определение

Если случайная переменная Икс имеет F-распределение с параметрами d₁ и d₂, мы пишем Икс ~ F (d₁, d₂). Тогда функция плотности вероятности (pdf) для Икс дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

за настоящий Икс > 0. Здесь ${\displaystyle \mathrm {B} }$ это бета-функция. Во многих приложениях параметры d₁ и d₂ находятся положительные целые числа, но распределение хорошо определено для положительных реальных значений этих параметров.

В кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

куда я это регуляризованная неполная бета-функция.

Ожидание, дисперсия и другие подробности о F (d₁, d₂) приведены в боковой панели; за d₂ > 8, избыточный эксцесс является

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

В k-й момент F (d₁, d₂) распределение существует и конечно только тогда, когда 2k < d₂ и он равен ^[6]

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}}$

В F-распределение - это особая параметризация бета-простое распределение, которое еще называют бета-распределением второго рода.

В характеристическая функция неправильно указан во многих стандартных ссылках (например,^[3]). Правильное выражение ^[7] является

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

куда U(а, б, z) это конфлюэнтная гипергеометрическая функция второго рода.

Характеристика

А случайное изменение из F-распределение с параметрами ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ возникает как отношение двух соответственно масштабированных хи-квадрат варьируется:^[8]

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

куда

• ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$ имеют распределения хи-квадрат с ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ степени свободы соответственно, и
• ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$ находятся независимый.

В тех случаях, когда F-распространение используется, например, в дисперсионный анализ, независимость ${\displaystyle U_{1}}$ и ${\displaystyle U_{2}}$ может быть продемонстрировано путем применения Теорема Кохрана.

Эквивалентно случайная величина F-дистрибутив также может быть написан

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$

куда ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ и ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$, ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ это сумма квадратов ${\displaystyle d_{1}}$ случайные величины из нормального распределения ${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$ и ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ это сумма квадратов ${\displaystyle d_{2}}$ случайные величины из нормального распределения ${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$. ^{[обсуждать][нужна цитата ]}

В частотник контекст, масштабированный F-распределение дает вероятность ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$, с F-распределение, без масштабирования, применение где ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ принимается равным ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$. Это контекст, в котором F-распределение чаще всего появляется в F-тесты: где нулевая гипотеза состоит в том, что две независимые нормальные дисперсии равны, а затем исследуются наблюдаемые суммы некоторых правильно выбранных квадратов, чтобы увидеть, является ли их соотношение значительно несовместимым с этой нулевой гипотезой.

Количество ${\displaystyle X}$ имеет такое же распределение в байесовской статистике, если неинформативный инвариант масштабирования Джеффрис приор берется за априорные вероятности из ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$.^[9] В этом контексте масштабный F-распределение, таким образом, дает апостериорную вероятность ${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$, где наблюдаемые суммы ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ и ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ теперь считаются известными.

Свойства и связанные распределения

• Если ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ и ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ находятся независимый, тогда ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Если ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ независимы, то ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Если ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ (Бета-распределение ) тогда ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Эквивалентно, если ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, тогда ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$.
• Если ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, тогда ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ имеет бета-простое распределение: ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} ({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}})}$.
• Если ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ тогда ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ имеет распределение хи-квадрат ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ эквивалентно масштабированному Распределение Т-квадрата Хотеллинга ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$.
• Если ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ тогда ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$.
• Если ${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$ — Распределение Стьюдента - тогда:

${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,n)}$

${\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F} (n,1)}$

• F-распределение - частный случай типа 6 Распределение Пирсона
• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ независимы, с ${\displaystyle X,Y\sim }$ Лаплас (μ, б) тогда

${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$

• Если ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$ тогда ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ (Z-распределение Фишера )
• В нецентральный F-распределение упрощается до F-распределение, если ${\displaystyle \lambda =0}$.
• Вдвойне нецентральный F-распределение упрощается до F-распределение, если ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Если ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ квантиль п за ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ и ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ квантиль ${\displaystyle 1-p}$ за ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$, тогда

${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$

• F-дистрибутив является экземпляром соотношения распределения

Смотрите также

• Бета-простое распределение
• Распределение хи-квадрат
• Чау-тест
• Гамма-распределение
• Распределение Т-квадрата Хотеллинга
• Лямбда-распределение Уилкса
• Распределение Уишарта

Рекомендации

1. Lazo, A.V .; Рати, П. (1978). «Об энтропии непрерывных распределений вероятностей». IEEE Transactions по теории информации. IEEE. 24 (1): 120–122. Дои:10.1109 / tit.1978.1055832.
2. Джонсон, Норман Ллойд; Самуэль Коц; Н. Балакришнан (1995). Непрерывные одномерные распределения, том 2 (второе издание, раздел 27). Вайли. ISBN  0-471-58494-0.
3. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 26". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 946. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
4. NIST (2006). Справочник по инженерной статистике - F Distribution
5. Настроение, Александр; Франклин А. Грейбилл; Дуэйн К. Боес (1974). Введение в теорию статистики (Третье изд.). Макгроу-Хилл. С. 246–249. ISBN  0-07-042864-6.
6. Табога, Марко. «F-распределение».
7. Филлипс, П. С. Б. (1982) "Истинная характеристическая функция распределения F", Биометрика, 69: 261–264 JSTOR  2335882
8. M.H. ДеГрут (1986), вероятность и статистика (2-е изд.), Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-11366-X, п. 500
9. Г. Э. П. Бокс и Г. К. Тяо (1973), Байесовский вывод в статистическом анализе, Эддисон-Уэсли. п. 110

внешняя ссылка

• Таблица критических значений F-распределение
• Первые употребления некоторых слов математики: запись на F-дистрибутив содержит краткую историю
• Бесплатный калькулятор для F-тестирование