Бета-функция - Beta function

Эта статья о бета-функции Эйлера. Для использования в других целях см. Бета-функция (значения).

Контурный сюжет бета-функции

В математика, то бета-функция, также называемый Интеграл Эйлера первого рода, это специальная функция это тесно связано с гамма-функция и чтобы биномиальные коэффициенты. Он определяется интеграл

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}$

за комплексное число входы Икс, у такой, что Re Икс > 0, Re у > 0.

Бета-функция была изучена Эйлер и Legendre и получил свое название от Жак Бине; его символ Β это Греческий капитал бета.

Характеристики

Бета-функция симметричный, означающий, что

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}$

для всех входов Икс и у.^[1]

Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функция: у одного есть это^[1]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

(Доказательство приводится ниже в § Связь с гамма-функцией.)

Бета-функция также тесно связана с биномиальные коэффициенты. Когда Икс и у - целые положительные числа, это следует из определения гамма-функция Γ который^[2]

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}={\frac {x+y}{xy}}\cdot {\frac {1}{\binom {x+y}{x}}}.}$

Связь с гамма-функцией

Простой вывод соотношения ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ можно найти в книге Эмиля Артина Гамма-функция, стр. 18–19.^[3]Чтобы вывести это соотношение, запишите произведение двух факториалов как

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$

Изменение переменных ты = zt и v = z(1 − т) производит

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

Разделив обе стороны на ${\displaystyle \Gamma (x+y)}$ дает желаемый результат.

Заявленная личность может рассматриваться как частный случай идентичности для интеграл свертки. Принимая

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$

надо:

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y).}$

Производные

У нас есть

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}$

куда ${\displaystyle \psi (x)}$ это функция дигаммы.

Приближение

Приближение Стирлинга дает асимптотическую формулу

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

для больших Икс и большой у. Если с другой стороны Икс большой и у фиксировано, то

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Другие идентичности и формулы

Интеграл, определяющий бета-функцию, может быть переписан различными способами, включая следующие:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}\,dt,\end{aligned}}}$$

где в последней личности п - любое положительное действительное число. (От первого интеграла можно перейти ко второму, подставив ${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$.)

Бета-функцию можно записать в виде бесконечной суммы

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}}}$^{[сомнительный ]}

и как бесконечный продукт

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$

Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию Личность Паскаля

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)}$$

и простое повторение по одной координате:

$${\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}$$

За ${\displaystyle x,y\geq 1}$, бета-функция может быть записана в виде свертка с участием усеченная степенная функция т ↦ т^Икс
₊:

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}$$

Оценка в определенных точках может значительно упроститься; Например,

$${\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}$$

и

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }$$

^[4]

Принимая ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ в этой последней формуле можно, в частности, заключить, что Γ (1/2) = √πМожно также обобщить последнюю формулу в двумерное тождество для произведения бета-функций:

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}$$

Интеграл Эйлера для бета-функции может быть преобразован в интеграл по Поххаммер контур C в качестве

${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и так дает аналитическое продолжение бета-функции.

Так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы, бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Более того, для целых п, Β могут быть разложены на множители, чтобы получить функцию интерполяции замкнутой формы для непрерывных значений k:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

Бета-функция была первой известной амплитуда рассеяния в теория струн, впервые предположил Габриэле Венециано. Это также встречается в теории преференциальная привязанность процесс, разновидность стохастического урна процесс.

Взаимная бета-функция

В обратная бета-функция это функция о форме

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$

Интересно, что их интегральные представления тесно связаны как определенный интеграл из тригонометрические функции с продуктом его силы и многоугольный:^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}$

Неполная бета-функция

В неполная бета-функция, обобщение бета-функции, определяется как

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$

За Икс = 1, неполная бета-функция совпадает с полной бета-функцией. Отношения между двумя функциями аналогичны отношениям между гамма-функцией и ее обобщением. неполная гамма-функция.

В регуляризованная неполная бета-функция (или же регуляризованная бета-функция для краткости) определяется в терминах неполной бета-функции и полной бета-функции:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$

Регуляризованная неполная бета-функция - это кумулятивная функция распределения из бета-распространение, и относится к кумулятивная функция распределения ${\displaystyle F(k;\,n,p)}$ из случайная переменная Икс после биномиальное распределение с вероятностью единовременного успеха п и количество испытаний Бернулли п:

${\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}$

Характеристики

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}$

Многомерная бета-функция

Бета-функцию можно расширить до функции с более чем двумя аргументами:

${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$

Эта многомерная бета-функция используется в определении Распределение Дирихле. Его отношение к бета-функции аналогично соотношению между полиномиальные коэффициенты и биномиальные коэффициенты.

Программная реализация

Даже если они недоступны напрямую, полные и неполные значения бета-функции могут быть рассчитаны с помощью функций, обычно включенных в электронная таблица или же системы компьютерной алгебры. В Excel, например, полное бета-значение можно рассчитать из GammaLn функция:

Значение = Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (a + b))

Неполное бета-значение можно рассчитать как:

Значение = BetaDist (x, a, b) * Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (a + b)).

Эти результаты следуют из свойств вышеперечисленное.

По аналогии, бетаин (неполная бета-функция) в MATLAB и GNU Octave, пбета (вероятность бета-распределения) в р, или же special.betainc в Python SciPy пакет вычислить регуляризованная неполная бета-функция - что, по сути, является кумулятивным бета-распределением - и поэтому, чтобы получить фактическую неполную бета-функцию, нужно умножить результат бетаин по результату, возвращаемому соответствующим бета функция. В Mathematica, Бета [x, a, b] и BetaRegularized [x, a, b] дайте ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$ и ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$, соответственно.

Смотрите также

• Бета-распространение и Бета-простое распределение, два распределения вероятностей, связанных с бета-функцией
• Сумма Якоби, аналог бета-функции над конечными полями.
• Интеграл Норлунда – Райса
• Распределение Юла – Саймона

Рекомендации

1. Дэвис (1972) 6.2.2 стр.258
2. Дэвис (1972) 6.2.1 стр.258
3. Артин, Эмиль. Гамма-функция (PDF). С. 18–19. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-11-12. Получено 2016-11-11.
4. "Формула отражения Эйлера - ProofWiki". proofwiki.org. Получено 2020-09-02.
5. Пэрис, Р. Б. (2010), «Бета-функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248

• Аски, Р.А.; Рой, Р. (2010), «Бета-функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Зелен, М .; Северо, Н. К. (1972), "26. Вероятностные функции", в Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications, стр.925–995, ISBN  978-0-486-61272-0
• Дэвис, Филип Дж. (1972), «6. Гамма-функция и родственные функции», в Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-61272-0
• Пэрис, Р. Б. (2010), «Неполные бета-функции», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Press, W. H .; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8

внешняя ссылка

• «Бета-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Оценка бета-функции с использованием преобразования Лапласа в PlanetMath.
• Произвольно точные значения можно получить из:
  • Сайт функций Wolfram: Оценить бета-версию регулярного неполного бета-тестирования
  • danielsoper.com: Калькулятор неполной бета-функции, Калькулятор регулярной неполной бета-функции