Поххаммер контур - Pochhammer contour

Контур Поххаммера наматывается по часовой стрелке вокруг одной точки, затем по часовой стрелке вокруг другой точки, затем против часовой стрелки вокруг первой точки, затем против часовой стрелки вокруг второй. Точное положение, кривизна и т. Д. В этом случае не важны; последовательность намоток вокруг двух особых точек равна.

В математике Поххаммер контур, представлен Камилла Джордан (1887 ) ^[1] и Лео Почхаммер (1890 ), является контуром в комплексная плоскость с удаленными двумя точками, используется для контурная интеграция. Если А и B - это петли вокруг двух точек, начинающиеся с некоторой фиксированной точки п, то контур Поххаммера - это коммутатор ABA⁻¹B⁻¹, где верхний индекс −1 обозначает путь в противоположном направлении. С двумя точками, взятыми как 0 и 1, фиксированная базовая точка п находясь на реальной оси между ними, примером является путь, который начинается в п, охватывает точку 1 против часовой стрелки и возвращается в п, затем обводит 0 против часовой стрелки и возвращается к п, после этого обведите 1, а затем 0 по часовой стрелке, прежде чем вернуться к п. Класс контура актуален. коммутатор когда это рассматривается в фундаментальная группа с базовой точкой п дополнения в комплексной плоскости (или Сфера Римана ) двух петлевых точек. Когда дело доходит до получения контурных интегралов, перемещение базовой точки из п к другому выбору Q не влияет на результат, так как будет сокращение интегралов от п к Q и назад.

Гомологичен нулю, но не гомотопен нулю

В плоскости с двойным проколом эта кривая гомологична нулю, но не гомотопный до нуля. Его номер намотки относительно любой точки равно 0, несмотря на то, что в плоскости с двойным проколом ее нельзя сжать до одной точки.

Цикл Поххаммера гомологичен нулю: это граница зеленой зоны минус граница красной.

Приложения

В бета-функция дан кем-то Эйлера интеграл

{ displaystyle displaystyle mathrm {B} ( alpha, beta) = int _ {0} ^ {1} t ^ { alpha -1} (1-t) ^ { beta -1} , dt}

при условии, что настоящие части α и β положительны, которые можно преобразовать в интеграл по контуру Похгаммера C в качестве

{ Displaystyle Displaystyle (1-е ^ {2 пи я альфа}) (1-е ^ {2 пи я бета}) mathrm {B} ( альфа, бета) = int _ { C} t ^ { alpha -1} (1-t) ^ { beta -1} , dt.}

Контурный интеграл сходится при всех значениях α и β и так дает аналитическое продолжение бета-функции. Аналогичный метод можно применить к интегралу Эйлера для гипергеометрическая функция дать его аналитическое продолжение.

Головоломка

Популярная головоломка спрашивает, как можно повесить картину на стену, намотав веревку на два гвоздя таким образом, чтобы при удалении одного из гвоздей картина упала. Контур Поххаммера - один из ответов. Картинку можно прикрепить в любой точке кривой.

Борромео ссылка

Ссылка Борромео.

Кривая Поххаммера вместе с двумя удобно расположенными дополнительными простыми замкнутыми кривыми составляет Борромео ссылка, т.е. три кривые связаны, но если какая-либо из трех перестает существовать, то две другие не связаны.

Примечания

^ Иордания (1887), стр. 243–244.