Сумма Якоби - Jacobi sum

В математика, а Сумма Якоби это тип сумма символов сформированный с Персонажи Дирихле. Простыми примерами могут быть суммы Якоби J(χ, ψ) для персонажей Дирихле χ, ψ по модулю простого числа п, определяется

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum \chi (a)\psi (1-a)\,,}$

где суммирование ведется по всем остатки а = 2, 3, ..., п - 1 мод п (для которого ни а ни 1 − а равно 0). Суммы Якоби являются аналогами конечные поля из бета-функция. Такие суммы были введены К. Г. Дж. Якоби в начале девятнадцатого века в связи с теорией циклотомия. Суммы Якоби J можно разложить на множители в произведения степеней Суммы Гаусса грамм. Например, когда персонаж χψ нетривиально,

${\displaystyle J(\chi ,\psi )={\frac {g(\chi )g(\psi )}{g(\chi \psi )}}\,,}$

аналогично формуле для бета-функции через гамма-функции. Поскольку нетривиальные суммы Гаусса грамм иметь абсолютную ценность п^​1⁄₂, следует, что J(χ, ψ) также имеет абсолютное значение п^​1⁄₂ когда персонажи χψ, χ, ψ нетривиальны. Суммы Якоби J лежать в меньшем циклотомические поля чем нетривиальные суммы Гаусса грамм. Слагаемые J(χ, ψ) например не включать пth корень единства, а скорее включают только значения, которые лежат в круговом поле (п − 1)корни единства. Как и суммы Гаусса, суммы Якоби знали главный идеал факторизации в их круговых полях; видеть Теорема Штикельбергера.

Когда χ это Символ Лежандра,

${\displaystyle J(\chi ,\chi )=-\chi (-1)=(-1)^{\frac {p+1}{2}}\,.}$

В общем, значения сумм Якоби связаны с локальные дзета-функции из диагональные формы. Результат на символе Лежандра составляет формулу п + 1 по количеству точек на коническая секция это проективная линия над полем п элементы. Бумага Андре Вайль с 1949 года очень сильно оживила тему. Действительно, через Соотношение Хассе-Давенпорта в конце 20-го века формальные свойства степеней сумм Гаусса снова стали актуальными.

Помимо указания на возможность записи локальных дзета-функций для диагональных гиперповерхностей с помощью общих сумм Якоби, Вейль (1952) продемонстрировал свойства сумм Якоби как Гекке персонажи. Это должно было стать важным, когда комплексное умножение абелевых многообразий установился. Рассматриваемые персонажи Гекке были именно такими, как нужно, чтобы выразить Хассе-Вайль L-функции из Кривые Ферма, Например. Точные дирижеры этих персонажей - вопрос, который Вейль оставил открытым, - были определены в более поздних работах.

Рекомендации

• Berndt, B.C .; Evans, R.J .; Уильямс, К. С. (1998). Суммы Гаусса и Якоби. Вайли.^{[ISBN отсутствует ]}
• Ланг, С. (1978). Циклотомические поля. Тексты для выпускников по математике. 59. Springer Verlag. гл. 1. ISBN  0-387-90307-0.
• Вайль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях». Бык. Амер. Математика. Soc. 55 (5): 497–508. Дои:10.1090 / s0002-9904-1949-09219-4.
• Вайль, Андре (1952). "Суммы Якоби как Grössencharaktere". Пер. Амер. Математика. Soc. 73 (3): 487–495. Дои:10.1090 / s0002-9947-1952-0051263-0.