Теорема Штикельбергера - Stickelbergers theorem

В математика, Теорема Штикельбергера является результатом алгебраическая теория чисел, который дает некоторую информацию о Модуль Галуа структура группы классов из циклотомические поля. Частный случай был впервые доказан Эрнст Куммер (1847 ), а общий результат обусловлен Людвиг Штикельбергер (1890 ).[1]

Элемент Стикельбергера и идеал Стикельбергера

Позволять Kм обозначить мth круговое поле, т.е. расширение из рациональное число получено прилегающий то мth корни единства к (куда м ≥ 2 является целым числом). Это Расширение Галуа из с Группа Галуа граммм изоморфен мультипликативная группа целых чисел по модулю м (/м)×. В Стикельбергер элемент (уровня м или же из Kм) является элементом групповое кольцо [граммм] и Стикельбергер идеал (уровня м или же из Kм) - идеал в групповом кольце [граммм]. Они определяются следующим образом. Позволять ζм обозначить примитивный мй корень единства. Изоморфизм из (/м)× к граммм дается путем отправки а к σа определяется соотношением

.

Элемент уровня Стикельбергера м определяется как

Идеал уровня Стикельбергера м, обозначенный я(Kм), - множество целых кратных θ(Kм) которые имеют целые коэффициенты, т.е.

В более общем смысле, если F быть любым Абелево числовое поле чья группа Галуа обозначается граммF, то Стикельбергера элемент F и Стикельбергер идеал F можно определить. Посредством Теорема Кронекера – Вебера. есть целое число м такой, что F содержится в Kм. Исправьте наименьшее количество таких м (это (конечная часть) дирижер из F над ). Есть естественный групповой гомоморфизм грамммграммF задано ограничением, т.е. если σграммм, его изображение в граммF это его ограничение F обозначенный resмσ. Элемент Стикельбергера F тогда определяется как

Идеал Стикельбергера F, обозначенный я(F), определяется как в случае Kм, т.е.

В частном случае, когда F = Kм, идеал Стикельбергера я(Kм) генерируется (аσа)θ(Kм) в качестве а варьируется в зависимости от /м. Это не относится к общим F.[2]

Примеры

Если F это полностью реальное поле дирижера м, тогда[3]

куда φ это Функция Эйлера и [F : ] это степень из F над .

Формулировка теоремы

Теорема Штикельбергера[4]
Позволять F - абелево числовое поле. Тогда идеал Стикельбергера F уничтожает классная группа F.

Обратите внимание, что θ(F) сам по себе не обязательно должен быть аннигилятором, но любой кратный ему в [граммF] является.

В явном виде теорема утверждает, что если α ∈ [граммF] таково, что

и если J есть ли дробный идеал из F, тогда

это главный идеал.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Вашингтон 1997, Примечания к главе 6
  2. ^ Вашингтон 1997, Лемма 6.9 и следующие за ней комментарии
  3. ^ Вашингтон 1997, §6.2
  4. ^ Вашингтон 1997, Теорема 6.10

Рекомендации

  • Коэн, Анри (2007). Теория чисел - Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Тексты для выпускников по математике. 239. Springer-Verlag. С. 150–170. ISBN  978-0-387-49922-2. Zbl  1119.11001.
  • Боас Эрез, Darstellungen von Gruppen in der Algebraischen Zahlentheorie: eine Einführung
  • Фрёлих, А. (1977). «Штикельбергер без сумм Гаусса». В Фрёлих, А. (ред.). Поля алгебраических чисел, Тр. Symp. Лондонская математика. Soc., Univ. Дарем 1975. Академическая пресса. С. 589–607. ISBN  0-12-268960-7. Zbl  0376.12002.
  • Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел. Тексты для выпускников по математике. 84 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN  978-1-4419-3094-1. МИСТЕР  1070716.
  • Куммер, Эрнст (1847), "Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1847 (35): 327–367, Дои:10.1515 / crll.1847.35.327
  • Стикельбергер, Людвиг (1890), "Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung", Mathematische Annalen, 37 (3): 321–367, Дои:10.1007 / bf01721360, JFM  22.0100.01, МИСТЕР  1510649
  • Вашингтон, Лоуренс (1997), Введение в циклотомические поля, Тексты для выпускников по математике, 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94762-4, МИСТЕР  1421575

внешняя ссылка