Теорема Штикельбергера - Stickelbergers theorem

В математика, Теорема Штикельбергера является результатом алгебраическая теория чисел, который дает некоторую информацию о Модуль Галуа структура группы классов из циклотомические поля. Частный случай был впервые доказан Эрнст Куммер (1847 ), а общий результат обусловлен Людвиг Штикельбергер (1890 ).^[1]

Элемент Стикельбергера и идеал Стикельбергера

Позволять $K м$ обозначить $м$ th круговое поле, т.е. расширение из рациональное число получено прилегающий то $м$ th корни единства к $ℚ$ (куда $м \geq 2$ является целым числом). Это Расширение Галуа из $ℚ$ с Группа Галуа $грамм м$ изоморфен мультипликативная группа целых чисел по модулю $м$ $(ℤ / м ℤ) \times$ . В Стикельбергер элемент (уровня $м$ или же из $K м$ ) является элементом групповое кольцо $ℚ [грамм м]$ и Стикельбергер идеал (уровня $м$ или же из $K м$ ) - идеал в групповом кольце $ℤ [грамм м]$ . Они определяются следующим образом. Позволять $ζ м$ обозначить примитивный $м$ й корень единства. Изоморфизм из $(ℤ / м ℤ) \times$ к $грамм м$ дается путем отправки $а$ к $σ а$ определяется соотношением

{ displaystyle sigma _ {a} ( zeta _ {m}) = zeta _ {m} ^ {a}}

.

Элемент уровня Стикельбергера $м$ определяется как

{ displaystyle theta (K_ {m}) = { frac {1} {m}} { underset {(a, m) = 1} { sum _ {a = 1} ^ {m}}} а cdot sigma _ {a} ^ {- 1} in mathbb {Q} [G_ {m}].}

Идеал уровня Стикельбергера $м$ , обозначенный $я (K м)$ , - множество целых кратных $θ (K м)$ которые имеют целые коэффициенты, т.е.

{ displaystyle I (K_ {m}) = theta (K_ {m}) mathbb {Z} [G_ {m}] cap mathbb {Z} [G_ {m}].}

В более общем смысле, если $F$ быть любым Абелево числовое поле чья группа Галуа $ℚ$ обозначается $грамм F$ , то Стикельбергера элемент $F$ и Стикельбергер идеал $F$ можно определить. Посредством Теорема Кронекера – Вебера. есть целое число $м$ такой, что $F$ содержится в $K м$ . Исправьте наименьшее количество таких $м$ (это (конечная часть) дирижер из $F$ над $ℚ$ ). Есть естественный групповой гомоморфизм $грамм м \to грамм F$ задано ограничением, т.е. если $σ \in грамм м$ , его изображение в $грамм F$ это его ограничение $F$ обозначенный $res м σ$ . Элемент Стикельбергера $F$ тогда определяется как

{ displaystyle theta (F) = { frac {1} {m}} { underset {(a, m) = 1} { sum _ {a = 1} ^ {m}}} a cdot mathrm {res} _ {m} sigma _ {a} ^ {- 1} in mathbb {Q} [G_ {F}].}

Идеал Стикельбергера $F$ , обозначенный $я (F)$ , определяется как в случае $K м$ , т.е.

{ Displaystyle I (F) = theta (F) mathbb {Z} [G_ {F}] cap mathbb {Z} [G_ {F}].}

В частном случае, когда $F = K м$ , идеал Стикельбергера $я (K м)$ генерируется $(а - σ а) θ (K м)$ в качестве $а$ варьируется в зависимости от $ℤ / м ℤ$ . Это не относится к общим F.^[2]

Примеры

Если $F$ это полностью реальное поле дирижера $м$ , тогда^[3]

{ displaystyle theta (F) = { frac { varphi (m)} {2 [F: mathbb {Q}]}} sum _ { sigma in G_ {F}} sigma,}

куда $φ$ это Функция Эйлера и $[F : ℚ]$ это степень из $F$ над ℚ.

Формулировка теоремы

Теорема Штикельбергера^[4]
Позволять $F$ - абелево числовое поле. Тогда идеал Стикельбергера $F$ уничтожает классная группа $F$ .

Обратите внимание, что $θ (F)$ сам по себе не обязательно должен быть аннигилятором, но любой кратный ему в $ℤ [грамм F]$ является.

В явном виде теорема утверждает, что если $α \in ℤ [грамм F]$ таково, что

{ displaystyle alpha theta (F) = sum _ { sigma in G_ {F}} a _ { sigma} sigma in mathbb {Z} [G_ {F}]}

и если $J$ есть ли дробный идеал из $F$ , тогда

{ displaystyle prod _ { sigma in G_ {F}} sigma left (J ^ {a _ { sigma}} right)}

это главный идеал.

Смотрите также

Примечания

^ Вашингтон 1997, Примечания к главе 6
^ Вашингтон 1997, Лемма 6.9 и следующие за ней комментарии
^ Вашингтон 1997, §6.2
^ Вашингтон 1997, Теорема 6.10

внешняя ссылка

Страница PlanetMath

[1] Вашингтон 1997, Примечания к главе 6

[2] Вашингтон 1997, Лемма 6.9 и следующие за ней комментарии

[3] Вашингтон 1997, §6.2

[4] Вашингтон 1997, Теорема 6.10

[1]

[2]

[3]

[4]