Теорема Кронекера – Вебера. - Kronecker–Weber theorem

В алгебраическая теория чисел, можно показать, что каждый круговое поле является абелево расширение из поле рациональных чисел Q, имеющую группу Галуа вида ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$. В Теорема Кронекера – Вебера. дает частичное обратное: каждое конечное абелево расширение из Q содержится в некотором круговом поле. Другими словами, каждый алгебраическое целое число чей Группа Галуа является абелевский можно выразить как сумму корни единства с рациональными коэффициентами. Например,

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},}$ ${\displaystyle {\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},}$ и ${\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{2\pi i/12}-e^{10\pi i/12}.}$

Теорема названа в честь Леопольд Кронекер и Генрих Мартин Вебер.

Теоретико-полевая формулировка

Теорема Кронекера – Вебера может быть сформулирована в терминах поля и расширения полей.Точно, теорема Кронекера – Вебера утверждает: каждое конечное абелево расширение рациональных чисел Q является подполем кругового поля. поле алгебраических чисел имеет группу Галуа над Q это абелева группа, поле является подполем поля, полученного присоединением корень единства к рациональным числам.

Для данного абелевого расширения K из Q Существует минимальный круговое поле, которое его содержит. Теорема позволяет определить дирижер из K как наименьшее целое число п такой, что K лежит внутри поля, порожденного пкорни единства. Например, квадратичные поля иметь в качестве дирижера абсолютная величина от их дискриминант, факт, обобщенный в теория поля классов.

История

Теорема была впервые сформулирована Кронекер  (1853 ), хотя его аргумент не был полным для расширения степени степень двойки. Вебер  (1886 ) опубликовал доказательство, но в нем были некоторые пробелы и ошибки, которые были отмечены и исправлены Нойман (1981). Первое полное доказательство было дано Гильберта  (1896 ).

Обобщения

Любин и Тейт (1965, 1966 ) доказал локальную теорему Кронекера – Вебера, согласно которой любое абелево расширение местное поле могут быть построены с использованием циклотомических расширений и Расширения Любина – Тейта. Хазевинкель (1975 ), Розен (1981 ) и Любин (1981 ) дал другие доказательства.

Двенадцатая проблема Гильберта запрашивает обобщения теоремы Кронекера – Вебера на базовые поля, отличные от рациональных чисел, и запрашивает аналоги корней из единицы для этих полей.

Рекомендации

• Гейт, Экнат (2000), «Теорема Кронекера-Вебера» (PDF), в Adhikari, S.D .; Katre, S.A .; Такур, Динеш (ред.), Циклотомические поля и связанные темы (Пуна, 1999), Бхаскарачарья Пратиштхана, Пуна, стр. 135–146, МИСТЕР  1802379
• Гринберг, М. Дж. (1974). «Элементарное доказательство теоремы Кронекера-Вебера». Американский математический ежемесячный журнал. 81 (6): 601–607. Дои:10.2307/2319208. JSTOR  2319208.
• Хазевинкель, Михиэль (1975), «Теория поля локальных классов - это просто» (PDF), Успехи в математике, 18 (2): 148–181, Дои:10.1016/0001-8708(75)90156-5, ISSN  0001-8708, МИСТЕР  0389858
• Гильберт, Дэвид (1896), "Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper"., Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке): 29–39
• Кронекер, Леопольд (1853), "Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen", Берлин К. Акад. Wiss. (на немецком языке): 365–374, ISBN  9780821849828, Собрание сочинений том 4
• Кронекер, Леопольд (1877), "Über Abelsche Gleichungen", Берлин К. Акад. Wiss. (на немецком языке): 845–851, ISBN  9780821849828, Собрание сочинений том 4
• Леммермейер, Франц (2005), "Кронекер-Вебер через Стикельбергера", Журнал Теории Номеров Бордо, 17 (2): 555–558, arXiv:1108.5671, Дои:10.5802 / jtnb.507, ISSN  1246-7405, МИСТЕР  2211307
• Любин, Джонатан (1981), "Локальная теорема Кронекера-Вебера", Труды Американского математического общества, 267 (1): 133–138, Дои:10.2307/1998574, ISSN  0002-9947, JSTOR  1998574, МИСТЕР  0621978
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1965), "Формальное комплексное умножение в локальных полях", Анналы математики, Вторая серия, 81 (2): 380–387, Дои:10.2307/1970622, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970622, МИСТЕР  0172878
• Любин, Джонатан; Тейт, Джон (1966), «Формальные модули для однопараметрических формальных групп Ли», Bulletin de la Société Mathématique de France, 94: 49–59, Дои:10.24033 / bsmf.1633, ISSN  0037-9484, МИСТЕР  0238854
• Нойман, Олаф (1981), «Два доказательства теоремы Кронекера-Вебера» по Кронекеру и Веберу"", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 323 (323): 105–126, Дои:10.1515 / crll.1981.323.105, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  0611446
• Розен, Майкл (1981), "Элементарное доказательство локальной теоремы Кронекера-Вебера", Труды Американского математического общества, 265 (2): 599–605, Дои:10.2307/1999753, ISSN  0002-9947, JSTOR  1999753, МИСТЕР  0610968
• Шафаревич, И. Р. (1951), Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера, Труды Матем. Inst. Стеклова. (по-русски), 38, Москва: Издат. Акад. АН СССР. С. 382–387. МИСТЕР  0049233
• Шаппахер, Норберт (1998), «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок», Материалы для истории математики XX века^е siècle (Ницца, 1996), Семин. Congr., 3, Париж: Société Mathématique de France, стр. 243–273, ISBN  978-2-85629-065-1, МИСТЕР  1640262
• Вебер, Х. (1886), "Теория Абельшен Захлкёрпер", Acta Mathematica (на немецком), 8: 193–263, Дои:10.1007 / BF02417089, ISSN  0001-5962

внешняя ссылка