Двенадцатая проблема Гильберта - Hilberts twelfth problem

Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel’schen Gleichungen mit Quadratwurzeln rationaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpieft werdenen dérden.

Кронекер в письме Дедекинду в 1880 году воспроизведено в томе V его собрания сочинений, стр. 455

Jugendtraum Кронекера или же Двенадцатая проблема Гильбертаиз 23 математических Проблемы Гильберта, является продолжением Теорема Кронекера – Вебера. на абелевы расширения из рациональное число, на любую базу числовое поле. То есть запрашивает аналоги корни единства, как комплексные числа, которые являются частными значениями экспоненциальная функция; требование состоит в том, чтобы такие числа генерировали целое семейство дополнительных числовых полей, которые являются аналогами циклотомические поля и их подполя.

Классическая теория комплексное умножение, теперь известный как Kronecker Jugendtraum, делает это для любого мнимое квадратичное поле, используя модульные функции и эллиптические функции выбран с особым решетка периодов относящиеся к рассматриваемой области. Горо Шимура расширил это до Поля CM. Общее дело все еще открыто по состоянию на 2014 год.^{[Обновить]}. Леопольд Кронекер описал сложную проблему умножения как его Liebster Jugendtraum или «самая заветная мечта его юности».

Описание проблемы

Основная проблема алгебраическая теория чисел заключается в описании поля алгебраических чисел. Работа Галуа пояснили, что расширения полей контролируются определенными группы, то Группы Галуа. Самая простая ситуация, которая уже находится на границе того, что хорошо понимается, - это когда рассматриваемая группа абелевский. Все квадратичные расширения, полученные присоединением корней квадратичного многочлена, абелевы, и их изучение было начато Гаусс. Другой тип абелевого расширения поля Q из рациональное число дается путем присоединения пкорни единства, в результате чего циклотомические поля. Уже Гаусс показал, что на самом деле каждый квадратичное поле содержится в более крупном круговом поле. В Теорема Кронекера – Вебера. показывает, что любое конечное абелево расширение Q содержится в круговом поле. Вопрос Кронекера (и Гильберта) касается ситуации более общего поля алгебраических чисел. K: какие алгебраические числа необходимы для построения всех абелевых расширений K? Полный ответ на этот вопрос был полностью выработан только тогда, когда K является мнимое квадратичное поле или его обобщение, CM-поле.

Первоначальная формулировка Гильберта его 12-й проблемы вводит в заблуждение: он, кажется, подразумевает, что абелевы расширения мнимых квадратичных полей порождаются специальными значениями эллиптических модулярных функций, что неверно. (Трудно сказать точно, что говорил Гильберт, одна проблема заключалась в том, что он, возможно, использовал термин «эллиптическая функция» для обозначения как эллиптической функции, так и эллиптической модулярной функции j.) Во-первых, также необходимо использовать корни из единицы, хотя Гильберт мог неявно подразумевать их включение. Более серьезно, в то время как значения эллиптических модульных функций порождают Поле классов Гильберта, для более общих абелевых расширений также необходимо использовать значения эллиптических функций. Например, абелево расширение ${\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$ не порождается сингулярными модулями и корнями из единицы.

Один особенно привлекательный способ сформулировать теорему Кронекера – Вебера - сказать, что максимальное абелево расширение Q можно получить, добавив специальные значения exp (2πя/п) из экспоненциальная функция. Точно так же теория комплексное умножение показывает, что максимальное абелево расширение Q(τ), где τ - мнимая квадратичная иррациональность, может быть получена путем присоединения специальных значений ℘ (τ,z) и j(τ) из модульные функции j и эллиптические функции ℘, и корни из единицы, где τ находится в мнимом квадратичном поле и z представляет собой точку кручения на соответствующей эллиптической кривой. Одна из интерпретаций двенадцатой проблемы Гильберта требует предоставить подходящий аналог экспоненциальных, эллиптических или модульных функций, особые значения которых порождают максимальное абелево расширение K^ab общего числового поля K. В таком виде он остается нерешенным. Описание поля K^ab был получен в теория поля классов, разработан Гильберта сам, Эмиль Артин, и др. в первой половине ХХ века.^{[примечание 1]} Однако строительство K^ab в теории поля классов включает в себя сначала построение больших неабелевых расширений с использованием Теория Куммера, а затем сокращение до абелевых расширений, поэтому на самом деле не решает проблему Гильберта, которая требует более прямого построения абелевых расширений.

Современное развитие

События, произошедшие с 1960 года, безусловно, внесли свой вклад. До этого Гекке  (1912 ) в своей диссертации использовал Модульные формы Гильберта изучать абелевы расширения действительные квадратичные поля. Комплексное умножение абелевых многообразий была область, открытая работой Шимура и Танияма. Это приводит к абелевым расширениям CM-поля в целом. Вопрос о том, какие расширения можно найти, - это вопрос Модули Тейт таких сортов, как Представления Галуа. Поскольку это наиболее доступный случай l-адические когомологии, эти представления были глубоко изучены.

Роберт Лэнглендс в 1973 г. утверждал, что современная версия Jugendtraum должен иметь дело с Дзета-функции Хассе – Вейля из Сорта Шимура. В то время как он предусматривал грандиозная программа это продвинет предмет намного дальше, более чем тридцать лет спустя остаются серьезные сомнения относительно его значения для вопроса, который задал Гильберт.

Отдельная разработка была Гипотеза Старка (Гарольд Старк ), который, напротив, имел прямое отношение к вопросу поиска интересных конкретных единиц в числовых полях. Это привело к значительному развитию гипотез L-функции, а также может давать конкретные численные результаты.

Примечания

1. Особенно, Тейджи Такаги доказал существование абсолютного абелевого расширения как известного Теорема существования Такаги.

Рекомендации

• Лэнглендс, Р. П. (1976). «Некоторые современные проблемы с происхождением в Jugendtraum». В Браудер, Феликс Э. (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта (PDF). Proc. Симпози. Чистая математика. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 401–418. ISBN  0-8218-1428-1. Zbl  0345.14006.
• Шаппахер, Норберт (1998). «К истории двенадцатой проблемы Гильберта: комедия ошибок». Материалы для истории математики XX века^е siècle (Ницца, 1996). Семин. Congr. 3. Париж: Société Mathématique de France. С. 243–273. ISBN  978-2-85629-065-1. МИСТЕР  1640262. Zbl  1044.01530.
• Vlǎduţ, С. Г. (1991). Jugendtraum Кронекера и модульные функции. Исследования в области развития современной математики. 2. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN  2-88124-754-7. Zbl  0731.11001.