Теорема существования Такаги - Takagi existence theorem

В теория поля классов, то Теорема существования Такаги утверждает, что для любого числового поля K существует взаимно однозначное соответствие, изменяющее включение между конечными абелевы расширения из K (в фиксированной алгебраическое замыкание из K) и группы обобщенных идеальных классов определяется через модуль из K.

Это называется теорема существования поскольку основная задача доказательства - показать существование достаточного количества абелевых расширений K.

Формулировка

Здесь модуль (или делитель луча) является формальным конечным произведением оценки (также называемый простые числа или же места) из K с положительными целыми показателями. Архимедовы оценки, которые могут появиться в модуле, включают только те, завершения которых являются действительными числами (а не комплексными числами); они могут быть идентифицированы с заказами на K и происходят только с показателем один.

Модуль м является произведением неархимедовой (конечной) части м_ж и архимедова (бесконечная) часть м_∞. Неархимедова часть м_ж является ненулевым идеалом в кольцо целых чисел О_K из K и архимедова часть м_∞ это просто набор реальных вложений K. Связанный с таким модулем м две группы фракционные идеалы. Более крупный, я_м, - группа всех дробных идеалов, взаимно простых с м (что означает, что эти дробные идеалы не содержат никаких первичных идеалов, появляющихся в м_ж). Меньший, п_м, - группа главных дробных идеалов (ты/v) куда ты и v ненулевые элементы О_K которые первичны м_ж, ты ≡ v мод м_ж, и ты/v > 0 в каждом из порядков м_∞. (Здесь важно, что в п_м, все, что нам нужно, - это чтобы некий образующий идеала имел указанный вид. Если один сделает, другие - нет. Например, взяв K как рациональные числа идеал (3) лежит в п₄ поскольку (3) = (−3) и −3 удовлетворяет необходимым условиям. Но (3) нет в п_4∞ поскольку здесь требуется, чтобы положительный генератор идеала - 1 mod 4, что не так.) Для любой группы ЧАС лежащий между я_м и п_м, частное я_м/ЧАС называется обобщенная группа идеальных классов.

Именно эти группы классов обобщенных идеалов соответствуют абелевым расширениям K по теореме существования, и на самом деле являются группами Галуа этих расширений. Конечность групп обобщенных классов идеалов доказывается аналогично тому, как доказывается обычное группа идеального класса конечно, задолго до того, как мы узнаем, что это группы Галуа конечных абелевых расширений числового поля.

Четкое соответствие

Строго говоря, соответствие между конечными абелевыми расширениями K и группы обобщенных идеальных классов не совсем взаимно однозначны. Обобщенные группы классов идеалов, определенные относительно разных модулей, могут привести к одному и тому же абелеву расширению K, и это априори закреплено в несколько сложном отношении эквивалентности на обобщенных группах классов идеалов.

Конкретно для абелевых расширений L рациональных чисел, это соответствует тому факту, что абелево расширение рациональных чисел, лежащих в одном круговом поле, также лежит в бесконечно многих других круговых полях, и для каждого такого кругового надполя по теории Галуа получается подгруппа группы Галуа, соответствующая то же поле L.

в идеальная формулировка теории поля классов, получается точное взаимно однозначное соответствие между абелевыми расширениями и соответствующими группами Ideles, где эквивалентные группы обобщенных классов идеалов на теоретическом языке идеалов соответствуют одной и той же группе идеелей.

Ранее работа

Частный случай теоремы существования - это когда м = 1 и ЧАС = п₁. В этом случае группа классов обобщенных идеалов является группа идеального класса из K, а теорема существования утверждает, что существует единственная абелево расширение L/K с Группа Галуа изоморфна группе классов идеалов K такой, что L является неразветвленный во всех местах K. Это расширение называется Поле классов Гильберта. Это было предположено Дэвид Гильберт существовать, и существование в этом частном случае было доказано Фуртвенглер в 1907 году, до общей теоремы существования Такаги.

Еще одно особое свойство поля классов Гильберта, не верное для меньших абелевых расширений числового поля, состоит в том, что все идеалы числового поля становятся главными в поле классов Гильберта. Это требовало Артин и Фуртвенглер, чтобы доказать, что принципиализация имеет место.

История

Теорема существования связана с Такаги, которые доказали это в Японии за изолированные годы Первая Мировая Война. Он представил его на Международный конгресс математиков в 1920 г., что привело к развитию классической теории теория поля классов в течение 1920-х гг. По просьбе Гильберта статья была опубликована в Mathematische Annalen в 1925 г.

Смотрите также

Формирование класса