Оценка (алгебра) - Valuation (algebra)
В алгебра (в частности в алгебраическая геометрия или же алгебраическая теория чисел ), а оценка это функция на поле который обеспечивает меру размера или множественности элементов поля. Это обобщает на коммутативная алгебра понятие размера, присущее рассмотрению степени столб или же множественность из нуль в комплексном анализе, степень делимости числа на простое число в теории чисел и геометрическая концепция контакт между двумя алгебраический или же аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле с оценкой называется ценное поле.
Определение
Начинают со следующих объектов:
- а поле K и это мультипликативная группа K×,
- ан абелевский полностью упорядоченная группа (Γ, +, ≥).
Заказ и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞}[а] по правилам
- ∞ ≥ α для всех α ∈ Γ,
- ∞ + α = α + ∞ = ∞ для всех α ∈ Γ.
Затем оценка K есть ли карта
- v : K → Γ ∪ {∞}
которое удовлетворяет следующим свойствам для всех а, б в K:
- v(а) = ∞ если и только если а = 0,
- v(ab) = v(а) + v(б),
- v(а + б) ≥ мин (v(а), v(б)), с равенством, если v(а) ≠ v(б).
Оценка v является банальный если v(а) = 0 для всех а в K×, иначе это нетривиальный.
Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповой гомоморфизм. Третье свойство - это версия неравенство треугольника на метрические пространства адаптированный к произвольной Γ (см. Мультипликативная запись ниже). Для оценок, используемых в геометрический приложений, первое свойство означает, что любой непустой зародыш аналитического многообразия около точки содержит эту точку.
Оценку можно интерпретировать как порядок проведения термин ведущего порядка.[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющейся порядком большего члена,[c] если два условия не имеют одинаковый порядок, в этом случае они могут быть отменены, и в этом случае сумма может иметь меньший порядок.
Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел [d] в этом случае ∞ можно интерпретировать как + ∞ в расширенные действительные числа; Обратите внимание, что для любого реального числа а, и, таким образом, + ∞ является единицей при бинарной операции минимума. Действительные числа (расширенные на + ∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо, называется мин тропическое полукольцо,[e] и оценка v является почти гомоморфизмом полуколец из K к тропическому полукольцу, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.
Мультипликативная запись и абсолютные значения
Мы могли бы определить[1] та же концепция, пишущая группу в мультипликативная запись в качестве (Γ, ·, ≥): вместо ∞ присоединим формальный символ О на Γ с расширением порядка и группового закона по правилам
- О ≤ α для всех α ∈ Γ,
- О · α = α · О = О для всех α ∈ Γ.
Затем оценка K любая карта
- v : K → Γ ∪ {О}
удовлетворяющие следующим свойствам для всех а, б ∈ K:
- v(а) = О если и только если а = 0,
- v(ab) = v(а) · v(б),
- v(а + б) ≤ макс (v(а), v(б)), с равенством, если v(а) ≠ v(б).
(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)
Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последним условием является ультраметрический неравенство, более сильная форма неравенство треугольника v(а + б) ≤ v(а) + v(б), и v является абсолютная величина. В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значений принимая v+(а) = −log v(а).
Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный Предварительный заказ: а ≼ б ⇔ v(а) ≤ v(б). И наоборот, если '≼' удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку v(а) = {б: б ≼ а ∧ а ≼ б}, с умножением и упорядочиванием на основе K и ≼.
Терминология
В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной нотации. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:
- наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовым абсолютным значением», или «ультраметрическим абсолютным значением»;
- наша «абсолютная ценность» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «абсолютной величиной Архимеда».
Связанные объекты
На основе данной оценки определены несколько объектов. v : K → Γ ∪ {∞} ;
- то группа значений или же оценочная группа Γv = v(K×), подгруппа Γ (хотя v обычно сюръективен, так что Γv = Γ);
- то оценочное кольцо рv это набор а ∈ K с v(а) ≥ 0,
- то главный идеал мv это набор а ∈ K с v(а)> 0 (на самом деле это максимальный идеал из рv),
- то остаток поле kv = рv/мv,
- то место из K связано с v, класс v при эквивалентности, определенной ниже.
Основные свойства
Эквивалентность оценок
Две оценки v1 и v2 из K с оценочной группой Γ1 и Γ2соответственно, называются эквивалент если есть порядок, сохраняющий групповой изоморфизм φ : Γ1 → Γ2 такой, что v2(а) = φ (v1(а)) для всех а в K×. Это отношение эквивалентности.
Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же оценочное кольцо.
An класс эквивалентности оценок поля называется место. Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональное число это в точности классы эквивалентности оценок для п-адический завершение из
Расширение оценок
Позволять v быть оценкой K и разреши L быть расширение поля из K. An расширение v (к L) - оценка ш из L так что ограничение из ш к K является v. Множество всех таких расширений изучается в теория разветвления оценок.
Позволять L/K быть конечное расширение и разреши ш быть продолжением v к L. В индекс из Γv в Γш, e (ш/v) = [Γш : Γv], называется пониженный индекс ветвления из ш над v. Он удовлетворяет e (ш/v) ≤ [L : K] ( степень расширения L/K). В относительная степень из ш над v определяется как ж(ш/v) = [рш/мш : рv/мv] (степень расширения полей вычетов). Это также меньше или равно степени L/K. Когда L/K является отделяемый, то индекс ветвления из ш над v определяется как e (ш/v)пя, куда пя это неотделимая степень расширения рш/мш над рv/мv.
Заполните поля значений
Когда упорядоченная абелева группа Γ аддитивная группа целые числа, ассоциированная оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, вызывает метрика на поле K. Если K является полный относительно этой метрики, то она называется полнозначное поле. Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершение, как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.
В общем, оценка вызывает единообразная структура на K, и K называется полнозначным полем, если оно полный как единое пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота: эквивалентно полноте, если но в целом сильнее.
Примеры
p-адическая оценка
Самый простой пример - это п-адическая оценка vп связано с простым целым числом п, от рациональных чисел с оценочным кольцом Группа оценки - это аддитивные целые числа Для целого числа оценка vп(а) измеряет делимость а властями п:
и на долю, vп(а/б) = vп(а) − vп(б).
Запись этого мультипликативно дает п-адическое абсолютное значение, которая традиционно имеет в качестве основы , так .
В завершение из относительно vп это поле из p-адические числа.
Порядок исчезновения
Пусть K = F(x) рациональные функции на аффинной прямой Икс = F1, и возьмите точку а ∈ X. Для полинома с , определять vа(ж) = k, порядок обращения в нуль при Икс = а; и vа(ж /грамм) = vа(ж) − vа(грамм). Тогда оценочное кольцо р состоит из рациональных функций без полюса в Икс = а, а завершение - это формальная серия Laurent звенеть F((Икс−а)). Это можно обобщить на область Серия Puiseux K{{т}} (дробные степени), Поле Леви-Чивита (его пополнение по Коши), а поле Серия Hahn, причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени т появляясь в сериале.
π-адическая оценка
Обобщая предыдущие примеры, пусть р быть главная идеальная область, K быть его поле дробей, и π быть неприводимый элемент из р. Поскольку каждая область главных идеалов является уникальная область факторизации, каждый ненулевой элемент а из р можно записать (по существу) однозначно как
где е 's - неотрицательные целые числа, а пя являются неприводимыми элементами р это не соратники из π. В частности, целое число еа однозначно определяется а.
В π-адическая оценка K тогда дается
Если π '- другой неприводимый элемент р такие, что (π ') = (π) (т.е. они порождают один и тот же идеал в р), то π-адическое нормирование и π'-адическое нормирование равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать п-адическая оценка, где п = (π).
п-адическая оценка домена Дедекинда
Предыдущий пример можно обобщить на Дедекиндовские домены. Позволять р быть дедекиндовым доменом, K его поле дробей, и пусть п ненулевой простой идеал р. Затем локализация из р в п, обозначенный рп, является областью главных идеалов, поле дробей которой равно K. Конструкция предыдущего раздела применима к первичному идеалу PRп из рп дает п-адическая оценка K.
Геометрическое понятие контакта
Оценки могут быть определены для области функций в пространстве размерности больше единицы. Напомним, что оценка в порядке убывания vа(ж) на измеряет кратность точки Икс = а в нулевом наборе ж; можно рассматривать это как порядок контакт (или местный номер перекрестка ) графа у = ж(Икс) с Икс-ось у = 0 около точки (а, 0). Если вместо Икс-оси одна фиксирует другую неприводимую плоскую кривую час(Икс,у) = 0 и точка (а,б) аналогичным образом можно определить оценку vчас на так что vчас(ж) - это порядок контакта (число пересечений) между фиксированной кривой и ж(Икс,у) = 0 около (а,б). Эта оценка естественным образом распространяется на рациональные функции.
Фактически, эта конструкция является частным случаем π-адического нормирования на PID, определенном выше. А именно рассмотрим местное кольцо , кольцо рациональных функций, определенных на некотором открытом подмножестве кривой час = 0. Это PID; на самом деле кольцо дискретной оценки чьи единственные идеалы - это силы . Тогда вышеуказанная оценка vчас π-адическое нормирование, соответствующее неприводимому элементу π = час ∈ р.
Пример: рассмотрим кривую определяется , а именно граф недалеко от происхождения . Эта кривая может быть параметризована в качестве:
со специальной точкой (0,0), соответствующей т = 0. Теперь определим как порядок формального степенного ряда в т получено ограничение любого ненулевого многочлена к кривой Vчас:
Это распространяется на область рациональных функций. к , вместе с .
Некоторые номера перекрестков:
Векторные пространства над полями оценки
Предположим, что Γ ∪ {0} - множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретный если его диапазон (оценочная группа) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).
Предположим, что Икс это векторное пространство над K и это А и B являются подмножествами Икс. Тогда мы говорим, что А поглощает B если существует α ∈ K такой, что λ ∈ K и | λ | ≥ | α | подразумевает, что B ⊆ λ A. А называется радиальный или же поглощающий если А поглощает каждое конечное подмножество Икс. Радиальные подмножества Икс инвариантны относительно конечного пересечения. Также, А называется кружил если λ в K и | λ | ≥ | α | подразумевает λ A ⊆ A. Множество обведенных подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. В обведен корпус из А является пересечением всех обведенных кружком подмножеств Икс содержащий А.
Предположим, что Икс и Y - векторные пространства над недискретным оценочным полем K, позволять A ⊆ X, B ⊆ Y, и разреши е: X → Y - линейная карта. Если B обведен кружком или радиален, то так . Если А обведен кружком f (А) но если А радиально, то f (А) будет радиальным при дополнительном условии, что ж сюръективно.
Смотрите также
Примечания
- ^ Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в Γ, без другого значения. Его свойства просто определяются заданными аксиомы.
- ^ С учетом минимального соглашения здесь оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядка первого члена порядка, но с соглашением о максимуме его можно интерпретировать как порядок.
- ^ Опять же, поменял местами, поскольку использовал минимальное соглашение.
- ^ Каждый Архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел при сложении, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедово упорядоченное поле.
- ^ В тропическом полукольце рассматриваются минимум и сложение действительных чисел. тропическое дополнение и тропическое размножение; это операции полукольца.
Рекомендации
- ^ Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, стр.48
- Эфрат, Идо (2006), Оценки, заказы и Милнор K-теория, Математические обзоры и монографии, 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002
- Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Базовая алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: В. Х. Фриман и компания, ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001. Шедевр на алгебра написано одним из ведущих авторов.
- Глава VI Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II, Тексты для выпускников по математике, 29, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, Zbl 0322.13001
- Schaefer, Helmuth H .; Вольф, М. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 10–11. ISBN 9780387987262.
внешняя ссылка
- Данилов, В. (2001) [1994], «Оценка», Энциклопедия математики, EMS Press
- Дискретная оценка в PlanetMath.org.
- Оценка в PlanetMath.org.
- Вайсштейн, Эрик В. «Оценка». MathWorld.