Оценка (алгебра) - Valuation (algebra)

В алгебра (в частности в алгебраическая геометрия или же алгебраическая теория чисел ), а оценка это функция на поле который обеспечивает меру размера или множественности элементов поля. Это обобщает на коммутативная алгебра понятие размера, присущее рассмотрению степени столб или же множественность из нуль в комплексном анализе, степень делимости числа на простое число в теории чисел и геометрическая концепция контакт между двумя алгебраический или же аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле с оценкой называется ценное поле.

Определение

Начинают со следующих объектов:

Заказ и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞}[а] по правилам

  • ∞ ≥ α для всех αΓ,
  • ∞ + α = α + ∞ = ∞ для всех αΓ.

Затем оценка K есть ли карта

v : K → Γ ∪ {∞}

которое удовлетворяет следующим свойствам для всех а, б в K:

  • v(а) = ∞ если и только если а = 0,
  • v(ab) = v(а) + v(б),
  • v(а + б) ≥ мин (v(а), v(б)), с равенством, если v(а) ≠ v(б).

Оценка v является банальный если v(а) = 0 для всех а в K×, иначе это нетривиальный.

Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповой гомоморфизм. Третье свойство - это версия неравенство треугольника на метрические пространства адаптированный к произвольной Γ (см. Мультипликативная запись ниже). Для оценок, используемых в геометрический приложений, первое свойство означает, что любой непустой зародыш аналитического многообразия около точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок проведения термин ведущего порядка.[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющейся порядком большего члена,[c] если два условия не имеют одинаковый порядок, в этом случае они могут быть отменены, и в этом случае сумма может иметь меньший порядок.

Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел [d] в этом случае ∞ можно интерпретировать как + ∞ в расширенные действительные числа; Обратите внимание, что для любого реального числа а, и, таким образом, + ∞ является единицей при бинарной операции минимума. Действительные числа (расширенные на + ∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо, называется мин тропическое полукольцо,[e] и оценка v является почти гомоморфизмом полуколец из K к тропическому полукольцу, за исключением того, что свойство гомоморфизма может потерпеть неудачу, когда два элемента с одинаковым значением складываются вместе.

Мультипликативная запись и абсолютные значения

Мы могли бы определить[1] та же концепция, пишущая группу в мультипликативная запись в качестве (Γ, ·, ≥): вместо ∞ присоединим формальный символ О на Γ с расширением порядка и группового закона по правилам

  • Оα для всех αΓ,
  • О · α = α · О = О для всех αΓ.

Затем оценка K любая карта

v : K → Γ ∪ {О}

удовлетворяющие следующим свойствам для всех а, бK:

  • v(а) = О если и только если а = 0,
  • v(ab) = v(а) · v(б),
  • v(а + б) ≤ макс (v(а), v(б)), с равенством, если v(а) ≠ v(б).

(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)

Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последним условием является ультраметрический неравенство, более сильная форма неравенство треугольника v(а + б) ≤ v(а) + v(б), и v является абсолютная величина. В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значений принимая v+(а) = −log v(а).

Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный Предварительный заказ: абv(а) ≤ v(б). И наоборот, если '≼' удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку v(а) = {б: бааб}, с умножением и упорядочиванием на основе K и ≼.

Терминология

В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной нотации. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

  • наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовым абсолютным значением», или «ультраметрическим абсолютным значением»;
  • наша «абсолютная ценность» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «абсолютной величиной Архимеда».

Связанные объекты

На основе данной оценки определены несколько объектов. v : K → Γ ∪ {∞} ;

  • то группа значений или же оценочная группа Γv = v(K×), подгруппа Γ (хотя v обычно сюръективен, так что Γv = Γ);
  • то оценочное кольцо рv это набор аK с v(а) ≥ 0,
  • то главный идеал мv это набор аK с v(а)> 0 (на самом деле это максимальный идеал из рv),
  • то остаток поле kv = рv/мv,
  • то место из K связано с v, класс v при эквивалентности, определенной ниже.

Основные свойства

Эквивалентность оценок

Две оценки v1 и v2 из K с оценочной группой Γ1 и Γ2соответственно, называются эквивалент если есть порядок, сохраняющий групповой изоморфизм φ : Γ1 → Γ2 такой, что v2(а) = φ (v1(а)) для всех а в K×. Это отношение эквивалентности.

Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же оценочное кольцо.

An класс эквивалентности оценок поля называется место. Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональное число это в точности классы эквивалентности оценок для п-адический завершение из

Расширение оценок

Позволять v быть оценкой K и разреши L быть расширение поля из K. An расширение vL) - оценка ш из L так что ограничение из ш к K является v. Множество всех таких расширений изучается в теория разветвления оценок.

Позволять L/K быть конечное расширение и разреши ш быть продолжением v к L. В индекс из Γv в Γш, e (ш/v) = [Γш : Γv], называется пониженный индекс ветвления из ш над v. Он удовлетворяет e (ш/v) ≤ [L : K] ( степень расширения L/K). В относительная степень из ш над v определяется как ж(ш/v) = [рш/мш : рv/мv] (степень расширения полей вычетов). Это также меньше или равно степени L/K. Когда L/K является отделяемый, то индекс ветвления из ш над v определяется как e (ш/v)пя, куда пя это неотделимая степень расширения рш/мш над рv/мv.

Заполните поля значений

Когда упорядоченная абелева группа Γ аддитивная группа целые числа, ассоциированная оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, вызывает метрика на поле K. Если K является полный относительно этой метрики, то она называется полнозначное поле. Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершение, как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, оценка вызывает единообразная структура на K, и K называется полнозначным полем, если оно полный как единое пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота: эквивалентно полноте, если но в целом сильнее.

Примеры

p-адическая оценка

Самый простой пример - это п-адическая оценка vп связано с простым целым числом п, от рациональных чисел с оценочным кольцом Группа оценки - это аддитивные целые числа Для целого числа оценка vп(а) измеряет делимость а властями п:

и на долю, vп(а/б) = vп(а) − vп(б).

Запись этого мультипликативно дает п-адическое абсолютное значение, которая традиционно имеет в качестве основы , так .

В завершение из относительно vп это поле из p-адические числа.

Порядок исчезновения

Пусть K = F(x) рациональные функции на аффинной прямой Икс = F1, и возьмите точку а ∈ X. Для полинома с , определять vа(ж) = k, порядок обращения в нуль при Икс = а; и vа(ж /грамм) = vа(ж) − vа(грамм). Тогда оценочное кольцо р состоит из рациональных функций без полюса в Икс = а, а завершение - это формальная серия Laurent звенеть F((Икса)). Это можно обобщить на область Серия Puiseux K{{т}} (дробные степени), Поле Леви-Чивита (его пополнение по Коши), а поле Серия Hahn, причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени т появляясь в сериале.

π-адическая оценка

Обобщая предыдущие примеры, пусть р быть главная идеальная область, K быть его поле дробей, и π быть неприводимый элемент из р. Поскольку каждая область главных идеалов является уникальная область факторизации, каждый ненулевой элемент а из р можно записать (по существу) однозначно как

где е 's - неотрицательные целые числа, а пя являются неприводимыми элементами р это не соратники из π. В частности, целое число еа однозначно определяется а.

В π-адическая оценка K тогда дается

Если π '- другой неприводимый элемент р такие, что (π ') = (π) (т.е. они порождают один и тот же идеал в р), то π-адическое нормирование и π'-адическое нормирование равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать п-адическая оценка, где п = (π).

п-адическая оценка домена Дедекинда

Предыдущий пример можно обобщить на Дедекиндовские домены. Позволять р быть дедекиндовым доменом, K его поле дробей, и пусть п ненулевой простой идеал р. Затем локализация из р в п, обозначенный рп, является областью главных идеалов, поле дробей которой равно K. Конструкция предыдущего раздела применима к первичному идеалу PRп из рп дает п-адическая оценка K.

Геометрическое понятие контакта

Оценки могут быть определены для области функций в пространстве размерности больше единицы. Напомним, что оценка в порядке убывания vа(ж) на измеряет кратность точки Икс = а в нулевом наборе ж; можно рассматривать это как порядок контакт (или местный номер перекрестка ) графа у = ж(Икс) с Икс-ось у = 0 около точки (а, 0). Если вместо Икс-оси одна фиксирует другую неприводимую плоскую кривую час(Икс,у) = 0 и точка (а,б) аналогичным образом можно определить оценку vчас на так что vчас(ж) - это порядок контакта (число пересечений) между фиксированной кривой и ж(Икс,у) = 0 около (а,б). Эта оценка естественным образом распространяется на рациональные функции.

Фактически, эта конструкция является частным случаем π-адического нормирования на PID, определенном выше. А именно рассмотрим местное кольцо , кольцо рациональных функций, определенных на некотором открытом подмножестве кривой час = 0. Это PID; на самом деле кольцо дискретной оценки чьи единственные идеалы - это силы . Тогда вышеуказанная оценка vчас π-адическое нормирование, соответствующее неприводимому элементу π = часр.

Пример: рассмотрим кривую определяется , а именно граф недалеко от происхождения . Эта кривая может быть параметризована в качестве:

со специальной точкой (0,0), соответствующей т = 0. Теперь определим как порядок формального степенного ряда в т получено ограничение любого ненулевого многочлена к кривой Vчас:

Это распространяется на область рациональных функций. к , вместе с .

Некоторые номера перекрестков:

Векторные пространства над полями оценки

Предположим, что Γ ∪ {0} - множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретный если его диапазон (оценочная группа) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что Икс это векторное пространство над K и это А и B являются подмножествами Икс. Тогда мы говорим, что А поглощает B если существует αK такой, что λK и | λ | ≥ | α | подразумевает, что B ⊆ λ A. А называется радиальный или же поглощающий если А поглощает каждое конечное подмножество Икс. Радиальные подмножества Икс инвариантны относительно конечного пересечения. Также, А называется кружил если λ в K и | λ | ≥ | α | подразумевает λ A ⊆ A. Множество обведенных подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. В обведен корпус из А является пересечением всех обведенных кружком подмножеств Икс содержащий А.

Предположим, что Икс и Y - векторные пространства над недискретным оценочным полем K, позволять A ⊆ X, B ⊆ Y, и разреши е: X → Y - линейная карта. Если B обведен кружком или радиален, то так . Если А обведен кружком f (А) но если А радиально, то f (А) будет радиальным при дополнительном условии, что ж сюръективно.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Символ ∞ обозначает элемент, не входящий в Γ, без другого значения. Его свойства просто определяются заданными аксиомы.
  2. ^ С учетом минимального соглашения здесь оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядка первого члена порядка, но с соглашением о максимуме его можно интерпретировать как порядок.
  3. ^ Опять же, поменял местами, поскольку использовал минимальное соглашение.
  4. ^ Каждый Архимедова группа изоморфна подгруппе действительных чисел при сложении, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедово упорядоченное поле.
  5. ^ В тропическом полукольце рассматриваются минимум и сложение действительных чисел. тропическое дополнение и тропическое размножение; это операции полукольца.

Рекомендации

  • Эфрат, Идо (2006), Оценки, заказы и Милнор K-теория, Математические обзоры и монографии, 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4041-X, Zbl  1103.12002
  • Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Базовая алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: В. Х. Фриман и компания, ISBN  0-7167-1933-9, Zbl  0694.16001. Шедевр на алгебра написано одним из ведущих авторов.
  • Глава VI Зариски, Оскар; Самуэль, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II, Тексты для выпускников по математике, 29, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90171-8, Zbl  0322.13001
  • Schaefer, Helmuth H .; Вольф, М. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 10–11. ISBN  9780387987262.

внешняя ссылка