Теорема Островского - Ostrowskis theorem

В теория чисел, Теорема Островского, из-за Александр Островский (1916), утверждает, что каждый нетривиальный абсолютная величина на рациональное число ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ эквивалентен либо обычному действительному абсолютному значению, либо п-адический абсолютная величина.^[1]

Определения

Поднимая абсолютная величина в степень меньше 1 всегда приводит к другому абсолютному значению. Два абсолютных значения ${\displaystyle |\cdot |}$ и ${\displaystyle |\cdot |_{*}}$ на поле K определены как эквивалент если существует настоящий номер c > 0 такой, что

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{*}=|x|^{c}.}$

В тривиальная абсолютная величина на любом поле K определяется как

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0&x=0,\\1&x\neq 0.\end{cases}}}$

В реальная абсолютная величина на рациональные ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ это стандарт абсолютная величина на реальные, определенные как

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0,\\-x&x<0.\end{cases}}}$

Иногда это пишется с нижним индексом 1 вместо бесконечности.

Для простое число п, то п-адическое абсолютное значение на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ определяется следующим образом: любое ненулевое рациональное Икс можно записать однозначно как ${\displaystyle x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}}$, куда а и б взаимно простые целые числа, не делящиеся на п, и п целое число; поэтому мы определяем

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{cases}}}$

Доказательство

Рассмотрим нетривиальную абсолютную величину рациональных чисел ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,|\cdot |_{*})}$. Мы рассматриваем два случая:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad \exists n\in \mathbb {N} \qquad |n|_{*}&>1,\\(2)\quad \forall n\in \mathbb {N} \qquad |n|_{*}&\leq 1.\end{aligned}}}$

Нам достаточно рассмотреть оценку целых чисел больше единицы. Ибо, если мы найдем ${\displaystyle c\in \mathbb {R} _{+}}$ для которого ${\displaystyle |n|_{*}=|n|_{**}^{c}}$ для всех натуральных чисел, больших единицы, то это соотношение тривиально выполняется для 0 и 1, а для положительных рациональных чисел

${\displaystyle \left|{\frac {m}{n}}\right|_{*}={\frac {|m|_{*}}{|n|_{*}}}={\frac {|m|_{**}^{c}}{|n|_{**}^{c}}}=\left({\frac {|m|_{**}}{|n|_{**}}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{**}^{c},}$

и для отрицательных рациональных

${\displaystyle |-x|_{*}=|x|_{*}=|x|_{**}^{c}=|-x|_{**}^{c}.}$

Случай 1)

Позволять ${\displaystyle a,b,n\in \mathbb {N} }$ с а, б > 1. выражать б^п в основание а:

${\displaystyle b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.}$

Затем мы видим по свойствам абсолютного значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}|b|_{*}^{n}&=|b^{n}|_{*}\\&\leq am\max \left\{|a|_{*}^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{*}^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle |b|_{*}\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{\frac {1}{n}}\max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.}$

Однако, как ${\displaystyle n\to \infty }$, у нас есть

${\displaystyle (a(n\log _{a}b+1))^{\frac {1}{n}}\to 1,}$

что подразумевает

${\displaystyle |b|_{*}\leq \max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.}$

Теперь выберите ${\displaystyle 1<b\in \mathbb {N} }$ такой, что ${\displaystyle |b|_{*}>1.}$ Использование этого в приведенном выше гарантирует, что ${\displaystyle |a|_{*}>1}$ независимо от выбора а (иначе ${\displaystyle |a|_{*}^{\log _{a}b}\leq 1}$, подразумевая ${\displaystyle |b|_{*}\leq 1}$). Таким образом, при любом выборе а, б > 1 выше мы получаем

${\displaystyle |b|_{*}\leq |a|_{*}^{\frac {\log b}{\log a}},}$

т.е.

${\displaystyle {\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}.}$

По симметрии это неравенство является равенством.

С а, б были произвольными, существует постоянная ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$ для которого ${\displaystyle \log |n|_{*}=\lambda \log n}$, т.е. ${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$ для всех натуралов п > 1. Как видно из сделанных выше замечаний, ${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{\infty }^{\lambda }}$ для всех рациональных значений, тем самым демонстрируя эквивалентность реальной абсолютной величине.

Корпус (2)

Поскольку эта оценка нетривиальна, должно быть натуральное число, для которого ${\displaystyle |n|_{*}<1.}$ Факторизация на простые числа:

${\displaystyle n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}}$

дает, что существует ${\displaystyle j}$ такой, что ${\displaystyle |p_{j}|<1.}$ Мы утверждаем, что на самом деле это так для Только один.

Предполагать за против который п, q - различные простые числа с абсолютным значением меньше 1. Во-первых, пусть ${\displaystyle e\in \mathbb {N} }$ быть таким, чтобы ${\displaystyle |p|_{*}^{e},|q|_{*}^{e}<{\tfrac {1}{2}}}$. Посредством Евклидов алгоритм, Существуют ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} }$ такой, что ${\displaystyle kp^{e}+lq^{e}=1.}$ Это дает

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |k|_{*}|p|_{*}^{e}+|l|_{*}|q|_{*}^{e}<{\frac {|k|_{*}+|l|_{*}}{2}}\leq 1,}$

противоречие.

Итак, мы должны иметь ${\displaystyle |p_{j}|_{*}=\alpha <1}$ для некоторых j, и ${\displaystyle |p_{i}|_{*}=1}$ за я ≠ j. Сдача

${\displaystyle c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},}$

мы видим, что для общих положительных натуральных чисел

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{*}=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{*}^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{*}^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.}$

Согласно приведенным выше замечаниям, мы видим, что ${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{p}^{c}}$ для всех рациональных чисел, подразумевая, что абсолютное значение эквивалентно п-адический. ${\displaystyle \blacksquare }$

Можно также показать более сильный вывод, а именно, что ${\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ является нетривиальным абсолютным значением тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{\infty }^{c}}$ для некоторых ${\displaystyle c\in (0,1]}$ или же ${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{p}^{c}}$ для некоторых ${\displaystyle c\in (0,\infty ),\ p\in \mathbf {P} }$.

Еще одна теорема Островского

Другая теорема утверждает, что любое поле, полное относительно Абсолютная величина архимеда, (алгебраически и топологически) изоморфна либо действительные числа или сложные числа. Иногда это также называют теоремой Островского.^[2]

Смотрите также

• Оценка (алгебра)

Рекомендации

1. Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. Тексты для выпускников по математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3. ISBN  978-0-387-96017-3. Получено 24 августа 2012. Теорема 1. (Островский). Всякая нетривиальная норма ‖ ‖ на эквивалентна | |_п для некоторых премьер п или для п = ∞.
2. Касселс (1986) стр. 33

• Касселс, Дж. У. С. (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Януш, Джеральд Дж. (1996). Поля алгебраических чисел (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0429-4.
• Джейкобсон, Натан (1989). Базовая алгебра II (2-е изд.). W H Freeman. ISBN  0-7167-1933-9.
• Островский Александр (1916). "Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ (x) · φ (y) = φ (xy)". Acta Mathematica (2-е изд.). 41 (1): 271–284. Дои:10.1007 / BF02422947. ISSN  0001-5962.