Неархимедово упорядоченное поле - Non-Archimedean ordered field

В математике неархимедово упорядоченное поле является упорядоченное поле что не удовлетворяет Архимедова собственность. Примерами являются Поле Леви-Чивита, то гиперреальные числа, то сюрреалистические числа, то Поле Дена, а поле рациональные функции с действительными коэффициентами подходящего порядка.

Определение

В Архимедова собственность является свойством некоторых упорядоченных полей, таких как рациональное число или действительные числа, заявляя, что каждые два элемента находятся в пределах целого числа, кратного друг другу. Если поле содержит два положительных элемента Икс < у для которых это неверно, тогда Икс/у должен быть бесконечно малый, больше нуля, но меньше любого целого числа единичная дробь. Следовательно, отрицание архимедова свойства равносильно существованию бесконечно малых величин.

Приложения

Гиперреальные поля, неархимедовы упорядоченные поля, содержащие действительные числа в качестве подполя, могут использоваться для обеспечения математической основы для нестандартный анализ.

Макс Ден использовал поле Дена, пример неархимедова упорядоченного поля, чтобы построить неевклидовы геометрии в которой параллельный постулат не соответствует действительности, но, тем не менее, у треугольников есть углы, суммируемые с π.^{[1][сомнительный ]}

Поле рациональных функций над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно использовать для создания упорядоченного поля, которое полный (в смысле сходимости последовательностей Коши), но не действительные числа.^[2] Это завершение можно описать как поле формальная серия Laurent над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Иногда термин полный используется для обозначения того, что свойство наименьшей верхней границы держит. С этим значением полный нет полных неархимедовых упорядоченных полей. Тонкое различие между этими двумя употреблениями слова «полный» иногда является источником путаницы.

Рекомендации

1. Ден, Макс (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck", Mathematische Annalen, 53 (3): 404–439, Дои:10.1007 / BF01448980, ISSN  0025-5831, JFM  31.0471.01.
2. Контрпримеры в анализе Бернарда Р. Гельбаума и Джона М. Х. Олмстеда, глава 1, пример 7, стр. 17.