Элементарное исчисление: бесконечно малый подход - Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach

Элементарное исчисление: бесконечно малый подход

Автор	Х. Джером Кейслер
Язык	английский
Предмет	Математика
Издатель	Дувр

Элементарное исчисление: бесконечно малый подход это учебник Х. Джером Кейслер. Подзаголовок ссылается на бесконечно малый номера гиперреальное число система Авраам Робинсон и иногда дается как Подход с использованием бесконечно малых. Книга находится в свободном доступе в Интернете и в настоящее время издается Dover.^[1]

Учебник

Учебник Кейслера основан на конструкции Робинсона гиперреальные числа. Кейслер также опубликовал сопутствующую книгу, Основы исчисления бесконечно малых, для инструкторов, более подробно изучающая основной материал.

Кейслер определяет все основные понятия математического анализа, такие как непрерывность (математика), производная, и интеграл используя бесконечно малые. Обычные определения в терминах методов ε – δ приведены в конце главы 5, чтобы обеспечить переход к стандартной последовательности.

В своем учебнике Кейслер использовал педагогическую технику микроскопа с бесконечным увеличением, чтобы графически представить отдельные гиперреальные числа бесконечно близки друг к другу. Точно так же телескоп бесконечного разрешения используется для представления бесконечных чисел.

Когда кто-то изучает кривую, говорят, что график ƒпод увеличительным стеклом его кривизна уменьшается пропорционально увеличению линзы. Точно так же микроскоп с бесконечным увеличением преобразует бесконечно малую дугу графика ƒ, в прямую линию с точностью до бесконечно малой погрешности (видимой только при использовании «микроскопа» с большим увеличением). Производная от ƒ тогда (стандартная часть наклона этой линии (см. рисунок).

Стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного числа. «Микроскоп бесконечно малых» используется для просмотра бесконечно малых окрестностей стандартного действительного объекта.

Таким образом, микроскоп используется как устройство для объяснения производной.

Прием

Книгу впервые рецензировал Эрретт Бишоп, известный своими работами в области конструктивной математики. Обзор Бишопа был резко критичен; видеть Критика нестандартного анализа. Вскоре после, Мартин Дэвис и Хауснер опубликовали подробный благоприятный обзор, как и Андреас Бласс и Кейт Строян.^[2][3][4] Ученик Кейслера К. Салливан,^[5] в рамках своей кандидатской диссертации провела контролируемый эксперимент с участием 5 школ, в результате которого Элементарное исчисление иметь преимущества перед стандартным методом обучения математическому анализу.^[1][6] Несмотря на преимущества, описанные Салливаном, подавляющее большинство математиков не применяют бесконечно малых методов в своем обучении.^[7] Недавно Katz & Katz^[8] дать положительный отзыв о курсе математического анализа на основе книги Кейслера. О'Донован также описал свой опыт преподавания математического анализа с использованием бесконечно малых чисел. Его первоначальная точка зрения была положительной, ^[9] но позже он обнаружил педагогические трудности с подходом к нестандартному исчислению, использованным в этом и других текстах.^[10]

Г. Р. Блэкли отметил в письме Prindle, Weber & Schmidt относительно Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых«Проблемы, которые могут возникнуть с книгой, будут политическими. Она революционная. Революции редко приветствуются авторитетной партией, хотя революционеры часто приветствуют».^[11]

Грбачек пишет, что определения непрерывность, производная, и интеграл неявно должно быть основано на методе ε – δ в теоретической структуре Робинсона, чтобы расширить определения, чтобы включить нестандартные значения входных данных, утверждая, что надежда на то, что нестандартные вычисления могут быть выполнены без методов ε – δ, не может быть реализована в полной мере.^[12] Błaszczyk et al. подробно описать полезность микропрерывность в разработке прозрачного определения равномерная преемственность, и охарактеризовать критику Хрбачека как «сомнительный плач».^[13]

Принцип передачи

Между первым и вторым изданием Элементарное исчисление, большая часть теоретического материала, который был в первой главе, была перенесена в эпилог в конце книги, включая теоретические основы нестандартного анализа.

Во втором издании Кейслер вводит принцип расширения и принцип переноса в следующей форме:

Каждое действительное утверждение, которое выполняется для одной или нескольких конкретных действительных функций, выполняется для гиперреальных естественных расширений этих функций.

Затем Кейслер приводит несколько примеров реальные заявления к которому применяется принцип:

• Закон закрытия для дополнения: для любого Икс и у, сумма Икс + у определено.
• Коммутативный закон для сложения: Икс + у = у + Икс.
• Правило для порядка: если 0 < Икс < у тогда 0 <1 /у < 1/Икс.
• Деление на ноль никогда не допускается: Икс/ 0 не определено.
• Алгебраическое тождество: ${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}}$.
• Тригонометрическая идентичность: ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$.
• Правило для логарифмов: если Икс > 0 и у > 0, то ${\displaystyle \log _{10}(xy)=\log _{10}x+\log _{10}y}$.

Смотрите также

• Критика нестандартного анализа
• Влияние нестандартного анализа
• Нестандартное исчисление
• Теорема об увеличении

Примечания

1. Кейслер 2011.
2. Дэвис и Хауснер 1978.
3. Бласс 1978.
4. Мэдисон и Строян 1977.
5. «Архивная копия». Архивировано из оригинал 7 июня 2012 г.. Получено 29 ноября 2011.
6. Салливан 1976. ошибка sfn: несколько целей (2 ×): CITEREFSullivan1976 (помощь)
7. Высокий 1980.
8. Кац и Кац 2010.
9. О'Донован и Кимбер, 2006 г..
10. О'Донован 2007.
11. Салливан, Кэтлин (1976). «Математическое образование: обучение элементарному исчислению с использованием нестандартного подхода анализа». Амер. Математика. Ежемесячно. 83 (5): 370–375. Дои:10.2307/2318657. JSTOR  2318657.
12. Грбачек 2007.
13. Блащик, Петр; Кац, Михаил; Шерри, Дэвид (2012), «Десять заблуждений из истории анализа и их опровержение», Основы науки, 18: 43–74, arXiv:1202.4153, Дои:10.1007 / s10699-012-9285-8, S2CID  119134151

Рекомендации

• Епископ, Эрретт (1977), "Обзор: Х. Джером Кейслер, Элементарное исчисление", Бык. Амер. Математика. Soc., 83: 205–208, Дои:10.1090 / с0002-9904-1977-14264-х
• Бласс, Андреас (1978), "Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К. Д. Строян, В. А. Джексембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых", Бык. Амер. Математика. Soc., 84 (1): 34–41, Дои:10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2

Бласс пишет: «Я подозреваю, что многие математики где-то в глубине души скрывают формулу ${\displaystyle \int {\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}}$ для длины дуги (и быстро dx перед записью) »(с. 35).

«Часто, как в приведенных выше примерах, нестандартное определение понятия проще, чем стандартное определение (интуитивно проще и проще в техническом смысле, например, кванторы над более низкими типами или меньшее количество чередований кванторов)» (стр. 37) .

«Относительная простота нестандартных определений некоторых понятий элементарного анализа предлагает педагогическое применение в исчислении первокурсников. Можно было бы использовать интуитивные идеи студентов о бесконечно малых (которые обычно очень расплывчаты, но их представления о действительных числах - тоже) развивать математический анализ на нестандартной основе »(с. 38).

• Дэвис, Мартин (1977), "Обзор: Дж. Дональд Монк, Математическая логика", Бык. Амер. Математика. Soc., 83: 1007–1011, Дои:10.1090 / S0002-9904-1977-14357-7
• Дэвис, М .; Хауснер, М. (1978), "Рецензия на книгу. Радость бесконечно малых. Элементарное исчисление Дж. Кейслера", Математический интеллигент, 1: 168–170, Дои:10.1007 / bf03023265, S2CID  121679411.
• Hrbacek, K .; Lessmann, O .; О’Донован, Р. (ноябрь 2010 г.), «Анализ с использованием сверхмалых чисел», Американский математический ежемесячный журнал, 117 (9): 801–816, Дои:10.4169 / 000298910x521661, S2CID  5720030
• Hrbacek, K. (2007), «Стратифицированный анализ?», В Van Den Berg, I .; Невес В. (ред.), Сила нестандартного анализа, Springer
• Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2010), "Когда 0,999 ... меньше 1?", Энтузиаст математики из Монтаны, 7 (1): 3–30, arXiv:1007.3018, Bibcode:2010arXiv1007.3018U, заархивировано из оригинал 20 июля 2011 г.
• Кейслер, Х. Джером (1976), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых, Prindle Weber & Schmidt, ISBN  978-0871509116
• Кейслер, Х. Джером (1976), Основы исчисления бесконечно малых, Prindle Weber & Schmidt, ISBN  978-0871502155, получено 10 января 2007 Товарищ по учебнику Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых.
• Кейслер, Х. Джером (2011), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-48452-5
• Madison, E.W .; Строян, К. Д. (июнь – июль 1977 г.), «Элементарное исчисление. Х. Джером Кейслер», Американский математический ежемесячник, 84 (6): 496–500, Дои:10.2307/2321930, JSTOR  2321930
• О'Донован, Р. (2007), «Предуниверситетский анализ», в Van Den Berg, I .; Невес В. (ред.), Сила нестандартного анализа, Springer
• О'Донован, Р .; Кимбер, Дж. (2006), «Нестандартный анализ на довузовском уровне: анализ наивной величины», в Cultand, N; Di Nasso, M .; Росс, Д. (ред.), Нестандартные методы и приложения в математике, Конспект лекций по логике, 25
• Штольценберг, Г. (июнь 1978 г.), «Письмо в редакцию», Уведомления Американского математического общества, 25 (4): 242
• Салливан, Кэтлин (1976), "Обучение элементарному исчислению с использованием нестандартного подхода анализа", Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 83 (5): 370–375, Дои:10.2307/2318657, JSTOR  2318657
• Высокий, Дэвид (1980), Интуитивные бесконечно малые числа в исчислении (плакат) (PDF), Четвертый Международный конгресс по математическому образованию, Беркли

внешняя ссылка

• Книга в формате PDF