Единая непрерывность - Uniform continuity

График ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ выходит из верхней и / или нижней части ${\displaystyle {\text{height}}\times {\text{width}}=2\varepsilon \times 2\delta }$ окно, каким бы маленьким оно ни было ${\displaystyle \delta }$, так ${\displaystyle f(x)}$ является нет равномерно непрерывный. Функция ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$, с другой стороны, является равномерно непрерывный.

В математика, а функция ж является равномерно непрерывный если, грубо говоря, можно гарантировать, что ж(Икс) и ж(у) быть как можно ближе друг к другу, требуя только Икс и у находятся достаточно близко друг к другу; в отличие от обычных непрерывность, где максимальное расстояние между ж(Икс) и ж(у) может зависеть от Икс и у самих себя.

Непрерывные функции могут не быть равномерно непрерывными, если они неограничены в конечной области, например ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ на (0,1), или если их наклоны становятся неограниченными в бесконечной области, например ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ на реальной линии. Однако любой Карта Липшица между метрические пространства равномерно непрерывно, в частности, любой изометрия (сохраняющая расстояние карта).

Хотя обычная непрерывность может быть определена для функций между общими топологическими пространствами, определение равномерной непрерывности требует большей структуры. Концепция основана на сравнении размеров окрестности различных точек, поэтому для этого требуется метрическое пространство или, в более общем смысле, однородное пространство.

Определение функций на метрических пространствах

Данный метрические пространства ${\displaystyle (X,d_{1})}$ и ${\displaystyle (Y,d_{2})}$, функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется равномерно непрерывный если для каждого настоящий номер ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует настоящий ${\displaystyle \delta >0}$ так что для каждого ${\displaystyle x,y\in X}$ с ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$у нас есть это ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon }$.

Если Икс и Y являются подмножествами реальная линия, d₁ и d₂ может быть стандартное одномерное евклидово расстояние, что дает определение: для всех ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что для всех ${\displaystyle x,y\in X,|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon }$.

Разница между равномерной непрерывностью и обычной непрерывностью в каждой точке состоит в том, что в однородной непрерывности значение ${\displaystyle \delta }$ зависит только от ${\displaystyle \varepsilon }$ а не по точке в домене.

Локальная непрерывность против глобальной однородной непрерывности

Непрерывность сам по себе местный свойство функции, то есть функция ж является непрерывным или нет в определенной точке, и это можно определить, глядя только на значения функции в (сколь угодно малой) окрестности этой точки. Когда мы говорим о непрерывности функции на интервал, мы имеем в виду только то, что он непрерывен в каждой точке интервала. Напротив, равномерная непрерывность Глобальный собственностью ж, в том смысле, что стандартное определение относится к пары точек, а не отдельных точек. С другой стороны, можно дать определение, которое местный с точки зрения естественного расширения ж* (характеристики которых в нестандартных точках определяются глобальными свойствами ж), хотя невозможно дать локальное определение равномерной непрерывности для произвольной гиперреалистической функции, см. ниже.

Математические утверждения о том, что функция непрерывна на интервале я и определение, что функция равномерно непрерывна на том же интервале, структурно очень похожи. Непрерывность функции для каждой точки Икс интервала, таким образом, можно выразить формулой, начинающейся с количественная оценка

${\displaystyle \forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,|x-y|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon \,,}$

тогда как для однородной непрерывности порядок первого, второго и третьего кванторов меняется:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x,y\in I:\,|x-y|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon }$

Таким образом, для непрерывности в каждой точке берется произвольная точка Икс, и тогда должно существовать расстояние δ,

${\displaystyle \cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,}$

а для равномерной непрерывности один δ должен работать единообразно для всех точек Икс (и у):

${\displaystyle \cdots \exists \delta \,\forall x\,\forall y\cdots .}$

Примеры и контрпримеры

• Каждый Липшицева непрерывная отображение между двумя метрическими пространствами равномерно непрерывно. В частности, любая дифференцируемая функция с ограниченной производной равномерно непрерывна. В более общем плане каждый Гёльдер непрерывный функция равномерно непрерывна.
• Несмотря на то, что нигде не дифференцируется, Функция Вейерштрасса всюду равномерно непрерывно
• Каждый член равномерно равностепенно непрерывный множество функций равномерно непрерывно.
• В касательная функция непрерывна на интервале (-π/2, π/ 2) но есть нет равномерно непрерывно на этом интервале.
• Экспоненциальная функция Икс ${\displaystyle \scriptstyle \mapsto }$ е^Икс непрерывно всюду на прямой, но не равномерно непрерывно на прямой.

Характеристики

Всякая равномерно непрерывная функция есть непрерывный, но обратное неверно. Рассмотрим, например, функцию ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}}$. Учитывая сколь угодно малое положительное действительное число ${\displaystyle \varepsilon }$, равномерная непрерывность требует существования положительного числа ${\displaystyle \delta }$ такое, что для всех ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ с ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, у нас есть ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. Но

${\displaystyle f\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)-f(x)=2x\cdot {\frac {\delta }{2}}+{\frac {\delta ^{2}}{4}},}$

и для всех достаточно больших Икс это количество больше чем ${\displaystyle \varepsilon }$.

Любой абсолютно непрерывный функция равномерно непрерывна. С другой стороны, Функция Кантора равномерно непрерывно, но не абсолютно непрерывно.

Образ полностью ограниченный подмножество равномерно непрерывной функции вполне ограничено. Однако образ ограниченного подмножества произвольного метрического пространства при равномерно непрерывной функции не обязательно должен быть ограничен: в качестве контрпримера рассмотрим тождественную функцию из целых чисел, наделенных дискретная метрика к целым числам, наделенным обычным Евклидова метрика.

В Теорема Гейне – Кантора утверждает, что всякая непрерывная функция на компактный набор равномерно непрерывно. В частности, если функция непрерывна на замкнутый ограниченный интервал действительной прямой, она равномерно непрерывна на этом интервале. В Интегрируемость Дарбу непрерывных функций почти сразу следует из этой теоремы.

Если действительная функция ${\displaystyle f}$ продолжается на ${\displaystyle [0,\infty )}$ и ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ существует (и конечно), то ${\displaystyle f}$ равномерно непрерывно. В частности, каждый элемент ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$, пространство непрерывных функций на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ обращаются в нуль на бесконечности, равномерно непрерывно. Это обобщение упомянутой выше теоремы Гейне-Кантора, поскольку ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )}$.

Визуализация

Для равномерно непрерывной функции для каждой данной ${\displaystyle \varepsilon >0}$ а ${\displaystyle \delta >0}$ так что два значения ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f(y)}$ иметь максимальное расстояние ${\displaystyle \varepsilon }$ в любое время ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ не отличаются более чем ${\displaystyle \delta }$. Таким образом мы можем обвести каждую точку ${\displaystyle (x,f(x))}$ графика прямоугольник с высотой ${\displaystyle 2\varepsilon }$ и ширина ${\displaystyle 2\delta }$ так, чтобы график лежал полностью внутри прямоугольника, а не прямо над или под ним. Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, это невозможно. График может лежать внутри прямоугольника для определенных средних точек на графике, но всегда есть средние точки прямоугольника на графике, где функция находится выше или ниже прямоугольника.

• 

  Для равномерно непрерывных функций для каждой ${\displaystyle \varepsilon >0}$ а ${\displaystyle \delta >0}$ так что, когда мы рисуем прямоугольник вокруг каждой точки графика с шириной ${\displaystyle 2\delta }$ и высота ${\displaystyle 2\varepsilon }$, график полностью лежит внутри прямоугольника.

• 

  Для функций, которые не являются равномерно непрерывными, существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ так что независимо от ${\displaystyle \delta >0}$ на графике всегда есть точки, когда мы рисуем ${\displaystyle 2\varepsilon \times 2\delta }$ прямоугольник вокруг него, значения находятся прямо над или под прямоугольником. Могут быть средние точки, где график полностью находится внутри прямоугольника, но это не верно для каждой средней точки.

История

Первое опубликованное определение равномерной непрерывности было сделано Гейне в 1870 году, а в 1872 году он опубликовал доказательство того, что непрерывная функция на открытом интервале не обязательно должна быть равномерно непрерывной. Доказательства почти дословно даны Дирихле в его лекциях по определенным интегралам в 1854 году. Определение равномерной непрерывности появляется ранее в работе Больцано, где он также доказал, что непрерывные функции на открытом интервале не обязательно должны быть равномерно непрерывными. Вдобавок он также утверждает, что непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна, но не дает полного доказательства.^[1]

Другие характеристики

Нестандартный анализ

В нестандартный анализ, действительная функция ж реальной переменной микропрерывный в какой-то момент а именно если разница ж*(а + δ) − ж*(а) бесконечно мал, когда δ бесконечно мала. Таким образом ж непрерывна на множестве А в R именно тогда, когда ж* микропрерывно в каждой реальной точке а ∈ А. Равномерную непрерывность можно выразить как условие, что (естественное продолжение) f является микропрерывным не только в реальных точках в А, но во всех точках в своем нестандартном аналоге (естественное расширение) ^*А в ^*R.Обратите внимание, что существуют гиперреалистичные функции, которые удовлетворяют этому критерию, но не являются равномерно непрерывными, а также равномерно непрерывные гиперреалистичные функции, которые не удовлетворяют этому критерию, однако такие функции не могут быть выражены в виде ж* для любой действительной функции ж. (видеть нестандартное исчисление для более подробной информации и примеров).

Непрерывность Коши

Для функции между метрическими пространствами из равномерной непрерывности следует Непрерывность Коши (Фицпатрик 2006 ). В частности, пусть А быть подмножеством р^п. Если функция ж : А → р^м равномерно непрерывно, то для любой пары последовательностей Икс_п и у_п такой, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0}$

у нас есть

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.}$

Отношения с проблемой расширения

Позволять Икс метрическое пространство, S подмножество X, R полное метрическое пространство, и ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ непрерывная функция. Когда сможешь ж продолжается до непрерывной функции на всех Икс?

Если S закрыт в Икс, ответ дает Теорема Титце о продолжении: всегда. Так что необходимо и достаточно расширить ж к закрытию S в Икс: то есть без ограничения общности можно считать, что S плотно в Икс, и это имеет еще одно приятное следствие: если расширение существует, оно уникально.

Предположим, кроме того, что Икс является полный, так что Икс завершение S. Тогда непрерывная функция ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ распространяется на все Икс если и только если ж является Непрерывный по Коши, я. е., изображение под ж последовательности Коши остается Коши. (Вообще говоря, непрерывность Коши необходима и достаточна для продолжения ж к завершению Икс, так это априори сильнее, чем расширяемость до Икс.)

Легко видеть, что любая равномерно непрерывная функция непрерывна по Коши и, таким образом, продолжается до Икс. Обратное неверно, поскольку функция ${\displaystyle f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}}$ как видно выше, не является равномерно непрерывным, но непрерывным и, следовательно, - поскольку р полно - непрерывно по Коши. В общем, для функций, определенных на неограниченных пространствах, таких как р, равномерная непрерывность - довольно сильное условие. Желательно иметь более слабое условие, из которого можно вывести возможность расширения.

Например, предположим а> 1 это действительное число. На уровне предвычисления функция ${\displaystyle f:x\mapsto a^{x}}$ может быть дано точное определение только для рациональных значений Икс (при условии существования корней q-й степени из положительных действительных чисел, применение теоремы о промежуточном значении). Хотелось бы продлить ж к функции, определенной на всех р. Личность

${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=a^{x}(a^{\delta }-1)}$

показывает, что ж не является равномерно непрерывным на множестве Q всех рациональных чисел; однако для любого ограниченного интервала я ограничение ж к ${\displaystyle Q\cap I}$ равномерно непрерывна, следовательно, непрерывна по Коши, следовательно, f продолжается до непрерывной функции на я. Но поскольку это справедливо для каждого я, тогда существует единственное расширение ж к непрерывной функции на всех р.

В более общем смысле, непрерывная функция ${\displaystyle f:S\rightarrow R}$ ограничение на каждое ограниченное подмножество S равномерно непрерывно продолжается до Икс, и обратное верно, если Икс является локально компактный.

Типичное применение продолжаемости равномерно непрерывной функции - доказательство обратного Преобразование Фурье формула. Сначала докажем, что формула верна для пробных функций, их очень много. Затем мы расширяем обратное отображение на все пространство, используя тот факт, что линейное отображение непрерывно; таким образом, равномерно непрерывный.

Обобщение на топологические векторные пространства

В частном случае двух топологические векторные пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$, понятие равномерной непрерывности отображения ${\displaystyle f:V\to W}$ становится: для любого района ${\displaystyle B}$ нуля в ${\displaystyle W}$, существует окрестность ${\displaystyle A}$ нуля в ${\displaystyle V}$ такой, что ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in A}$ подразумевает ${\displaystyle f(v_{1})-f(v_{2})\in B.}$

За линейные преобразования ${\displaystyle f:V\to W}$, равномерная непрерывность равносильна непрерывности. Этот факт часто неявно используется в функциональный анализ продолжить линейное отображение с плотного подпространства Банахово пространство.

Обобщение на равномерные пространства

Так же, как наиболее естественная и общая установка для непрерывности топологические пространства, наиболее естественная и общая обстановка для изучения униформа преемственность равномерные пространства.Функция ж : Икс → Y между единообразными пространствами называется равномерно непрерывный если для каждого свита V в Y есть свита U в Икс такое, что для каждого (Икс₁, Икс₂) в U у нас есть (ж(Икс₁), ж(Икс₂)) в V.

В этом случае также верно, что равномерно непрерывные отображения преобразуют последовательности Коши в последовательности Коши.

Каждое компактное хаусдорфово пространство обладает ровно одной равномерной структурой, совместимой с топологией. Следствием этого является обобщение теоремы Гейне-Кантора: каждая непрерывная функция из компактного хаусдорфового пространства в равномерное пространство равномерно непрерывна.

Рекомендации

1. Руснок и Керр-Лоусон 2005.

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николас. Общая топология: главы 1–4 [Topologie Générale]. ISBN  0-387-19374-X. Глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным пространствам.
• Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа. Академическая пресса.
• Фитцпатрик, Патрик (2006). Расширенный расчет. Брукс / Коул. ISBN  0-534-92612-6.
• Келли, Джон Л. (1955). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90125-6.
• Кудрявцев, Л. (2001) [1994], «Единая преемственность», Энциклопедия математики, EMS Press
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054235-8.
• Rusnock, P .; Керр-Лоусон, А. (2005), "Больцано и равномерная непрерывность", Historia Mathematica, 32 (3): 303–311, Дои:10.1016 / j.hm.2004.11.003