Непрерывная функция Коши - Cauchy-continuous function

В математика, а Непрерывный по Коши, или же Коши-регулярный, функция - это особый вид непрерывная функция между метрические пространства (или более общие пробелы). Непрерывные по Коши функции обладают тем полезным свойством, что их всегда можно (однозначно) продолжить на Завершение Коши своего домена.

Определение

Позволять Икс и Y быть метрические пространства, и разреши ж быть функция из Икс к Y. потом ж непрерывна по Коши тогда и только тогда, когда для любого Последовательность Коши (Икс₁, Икс₂, …) в Икс, последовательность (ж(Икс₁), ж(Икс₂),…) - последовательность Коши в Y.

Характеристики

Каждый равномерно непрерывная функция также непрерывна по Коши. И наоборот, если домен Икс является полностью ограниченный, то всякая непрерывная по Коши функция равномерно непрерывна. В более общем плане, даже если Икс не вполне ограничена, функция на Икс непрерывна по Коши тогда и только тогда, когда она равномерно непрерывна на любом вполне ограниченном подмножестве Икс.

Каждая непрерывная по Коши функция является непрерывный. И наоборот, если домен Икс является полный, то всякая непрерывная функция непрерывна по Коши. В более общем плане, даже если Икс не является полным, пока Y полна, то любая непрерывная по Коши функция из Икс к Y продолжается до непрерывной (и, следовательно, непрерывной по Коши) функции, определенной на Завершение Коши из Икс; это расширение обязательно уникально.

Комбинируя эти факты, если Икс является компактный, то непрерывные отображения, непрерывные по Коши отображения и равномерно непрерывные отображения на Икс все одинаковы.

Примеры и не примеры

Поскольку реальная линия р полна, непрерывные по Коши функции на р такие же, как и непрерывные. На подпространство Q из рациональное число Однако дело обстоит иначе. Например, определите двузначную функцию так, чтобы ж(Икс) равно 0, когда Икс² меньше 2, но 1, когда Икс² больше 2. (Обратите внимание, что Икс² никогда не равно 2 для любого рационального числа Икс.) Эта функция непрерывна на Q но не непрерывна по Коши, поскольку не может быть продолжена непрерывно на р. С другой стороны, любая равномерно непрерывная функция на Q должно быть непрерывным по Коши. Для неоднородного примера на Q, позволять ж(Икс) быть 2^Икс; это не является равномерно непрерывным (на всех Q), но она непрерывна по Коши. (Этот пример одинаково хорошо работает на р.)

Последовательность Коши (у₁, у₂, …) в Y можно отождествить с непрерывной по Коши функцией от {1, 1/2, 1/3,…} до Y, определяется ж(1/п) = у_п. Если Y является полным, то его можно расширить до {1, 1/2, 1/3,…, 0}; ж(0) будет пределом последовательности Коши.

Обобщения

Непрерывность Коши имеет смысл в ситуациях, более общих, чем метрические пространства, но тогда нужно перейти от последовательностей к сети (или эквивалентно фильтры ). Приведенное выше определение применяется до тех пор, пока последовательность Коши (Икс₁, Икс₂,…) Заменяется произвольным Сеть Коши. Эквивалентно функция ж непрерывна по Коши тогда и только тогда, когда для любого Фильтр Коши F на Икс, тогда ж(F) является базой фильтра Коши на Y. Это определение согласуется с приведенным выше для метрических пространств, но оно также работает для равномерные пространства и, как правило, для Пространства Коши.

Любой направленный набор А можно превратить в пространство Коши. Тогда учитывая любое пространство Y, сети Коши в Y проиндексировано А такие же, как непрерывные по Коши функции из А к Y. Если Y завершено, то продолжение функции на А ∪ {∞} даст значение лимита сети. (Это обобщает приведенный выше пример последовательностей, где 0 следует интерпретировать как 1 / ∞.)

Рекомендации

• Ева Лоуэн-Колебундерс (1989). Функциональные классы непрерывных отображений Коши. Деккер, Нью-Йорк.