Липшицева преемственность - Lipschitz continuity

Для липшицевой функции существует двойной конус (белый), начало координат которого можно перемещать вдоль графика, так что весь график всегда остается вне двойного конуса.

В математический анализ, Липшицева преемственность, названный в честь Рудольф Липшиц, это сильная форма равномерная преемственность для функции. Интуитивно липшицев непрерывная функция ограничено тем, насколько быстро он может изменяться: существует такое действительное число, что для каждой пары точек на графике этой функции абсолютная величина уклона соединяющей их линии не больше этого действительного числа; наименьшая такая оценка называется Постоянная Липшица функции (или модуль равномерной непрерывности ). Например, любая функция, имеющая ограниченные первые производные, липшицева.^[1]

В теории дифференциальные уравнения, Липшицевость - центральное условие Теорема Пикара – Линделёфа что гарантирует существование и единственность решения проблема начального значения. Особый тип липшицевой непрерывности, называемый сокращение, используется в Теорема Банаха о неподвижной точке.^[2]

Имеется следующая цепочка строгих включений для функций над закрытый и ограниченный нетривиальный интервал реальной прямой

Непрерывно дифференцируемый ⊂ Липшицева непрерывная ⊂ α-Гёльдер непрерывный

где 0 <α ≤ 1. Также имеем

Липшицева непрерывная ⊂ абсолютно непрерывный .

Определения

Учитывая два метрические пространства (Икс, d_Икс) и (Y, d_Y), где d_Икс обозначает метрика на съемочной площадке Икс и d_Y метрика на множестве Y, функция ж : Икс → Y называется Липшицева непрерывная если существует реальная постоянная K ≥ 0 такое, что для всех Икс₁ и Икс₂ в Икс,

{ displaystyle d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2})) leq Kd_ {X} (x_ {1}, x_ {2}).}

^[3]

Любой такой K упоминается как постоянная Липшица для функции ж. Наименьшую константу иногда называют (лучшая) константа Липшица; однако в большинстве случаев последнее понятие менее актуально. Если K = 1 функция называется короткая карта, а если 0 ≤ K <1 и ж отображает метрическое пространство в себя, функция называется сокращение.

В частности, функция с действительным знаком ж : р → р называется липшицевым, если существует положительная вещественная постоянная K такая, что для всех действительных Икс₁ и Икс₂,

{ displaystyle | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | leq K | x_ {1} -x_ {2} |.}

В таком случае, Y это набор действительные числа р со стандартной метрикой d_Y(у₁, у₂) = |у₁ − у₂|, и Икс это подмножество р.

В общем случае неравенство (тривиально) выполняется, если Икс₁ = Икс₂. В противном случае можно эквивалентным образом определить функцию как липшицевую. если и только если существует постоянная K ≥ 0 такое, что для всех Икс₁ ≠ Икс₂,

{ displaystyle { frac {d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2}))} {d_ {X} (x_ {1}, x_ {2})}} leq K .}

Для действительных функций нескольких действительных переменных это справедливо тогда и только тогда, когда абсолютное значение наклонов всех секущих ограничено K. Набор линий наклона K проходя через точку на графике функции, образует круговой конус, и функция является липшицевой тогда и только тогда, когда график функции всюду лежит полностью вне этого конуса (см. рисунок).

Функция называется локально липшицево если для каждого Икс в Икс существует окрестности U из Икс такой, что ж ограниченный U липшицево. Эквивалентно, если Икс это локально компактный метрическое пространство, то ж локально липшицево тогда и только тогда, когда оно липшицево на каждом компактном подмножестве Икс. В пространствах, не являющихся локально компактными, это необходимое, но не достаточное условие.

В более общем смысле функция ж определено на Икс как говорят Гёльдер непрерывный или удовлетворить Условие Гёльдера порядка α> 0 на Икс если существует постоянная M ≥ 0 такой, что

{ Displaystyle d_ {Y} (е (х), f (y)) leq Md_ {X} (x, y) ^ { alpha}}

для всех Икс и у в Икс. Иногда условие Гёльдера порядка α также называют равномерное липшицево условие порядка а> 0.

Если существует K ≥ 1 с

{ Displaystyle { frac {1} {K}} d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) leq d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2}) ) leq Kd_ {X} (x_ {1}, x_ {2})}

тогда ж называется билипшиц (также написано двилипшицевый). Билипшицево отображение инъективный, и на самом деле гомеоморфизм на свой образ. Билипшицева функция - это то же самое, что и инъективная липшицева функция, у которой обратная функция тоже липшицев.

Примеры

Липшицевы функции

Функция ${ displaystyle f (x) = { sqrt {x ^ {2} +5}}}$ определенное для всех действительных чисел липшицево с константой Липшица K = 1, потому что он везде дифференцируемый а абсолютное значение производной ограничено сверху числом 1. См. первое свойство, указанное ниже в разделе "Свойства ".
Точно так же синус функция липшицева, потому что ее производная, функция косинуса, ограничена сверху единицей по модулю.
Функция ж(Икс) = |Икс| определенная на вещественных числах, является липшицевой с константой Липшица, равной 1, обратное неравенство треугольника. Это пример недифференцируемой липшицевой функции. В более общем плане норма на векторном пространстве липшицево относительно ассоциированной метрики с константой Липшица, равной 1.

Липшицевы функции, не всюду дифференцируемые

Функция ${ Displaystyle е (х) = середина х середина}$

Липшицевы непрерывные функции, всюду дифференцируемые, но не непрерывно дифференцируемые

Функция ${ displaystyle f (x) ; = ; { begin {cases} x ^ {2} sin (1 / x) & { text {if}} x neq 0 0 & { text {if }} x = 0 end {case}}}$ , производная которого существует, но имеет существенный разрыв при ${ displaystyle x = 0}$ .

Непрерывные функции, не являющиеся (глобально) липшицевыми

Функция ж(Икс) = √Икс определено на [0, 1], является не Липшицево непрерывное. Эта функция становится бесконечно крутой при Икс стремится к 0, так как его производная становится бесконечной. Однако он равномерно непрерывен,^[4] и оба Гёльдер непрерывный класса C^{0, α} для α ≤ 1/2, а также абсолютно непрерывный на [0, 1] (оба из которых подразумевают первое).

Дифференцируемые функции, не являющиеся (локально) липшицевыми

Функция ж определяется ж(0) = 0 и ж(Икс) = Икс^3/2грех (1 /Икс) для 0 <Икс≤1 дает пример функции, дифференцируемой на компакте, но не локально липшицевой, поскольку ее производная функция не ограничена. См. Также первое свойство ниже.

Аналитические функции, не являющиеся (глобально) липшицевыми

В экспоненциальная функция становится сколь угодно крутым, поскольку Икс → ∞, поэтому не глобально Липшицев, несмотря на то, что аналитическая функция.
Функция ж(Икс) = Икс² с доменом все действительные числа не Липшицево непрерывное. Эта функция становится сколь угодно крутой при Икс приближается к бесконечности. Однако он локально липшицево.

Свойства

Всюду дифференцируемая функция г : р → р липшицево (с K = sup |г′(Икс) |) тогда и только тогда, когда оно ограничено первая производная; одно направление следует из теорема о среднем значении. В частности, любая непрерывно дифференцируемая функция является локально липшицевой, поскольку непрерывные функции локально ограничены, поэтому ее градиент также локально ограничен.
Функция Липшица г : р → р является абсолютно непрерывный и поэтому дифференцируема почти всюду, то есть дифференцируемые в каждой точке вне множества Мера Лебега нуль. Его производная существенно ограниченный по величине постоянной Липшица, а для а < б, различия г(б) − г(а) равен интегралу от производной г′ На интервале [а, б].
- Наоборот, если ж : я → р абсолютно непрерывна и поэтому дифференцируема почти всюду и удовлетворяет |f ′(Икс)| ≤ K почти для всех Икс в я, тогда ж является липшицевым с константой Липшица не более K.
- В более общем смысле, Теорема Радемахера распространяет результат о дифференцируемости на липшицевы отображения между евклидовыми пространствами: липшицево отображение ж : U → р^м, где U это открытый набор в р^п, является почти всюду дифференцируемый. Более того, если K - лучшая константа Липшица ж, тогда ${ Displaystyle | Df (х) | Leq K}$ всякий раз, когда полная производная Df существуют.
Для дифференцируемого липшицева отображения ж : U → р^м неравенство ${ Displaystyle | Df | _ { infty, U} leq K}$ выполняется для наилучшей константы Липшица функции f и оказывается равенством, если область U выпукла.^{[требуется дальнейшее объяснение ]}
Предположим, что {ж_п} представляет собой последовательность липшицевых отображений между двумя метрическими пространствами, и что все ж_п имеют постоянную Липшица, ограниченную некоторыми K. Если ж_п сходится к отображению ж равномерно, тогда ж также является липшицевым, причем константа Липшица ограничена тем же K. В частности, это означает, что множество действительных функций на компактном метрическом пространстве с определенной границей для константы Липшица является замкнутым и выпуклым подмножеством Банахово пространство непрерывных функций. Этот результат не верен для последовательностей, в которых функции могут иметь неограниченный Однако константы Липшица. Фактически, пространство всех липшицевых функций на компактном метрическом пространстве является подалгеброй банахова пространства непрерывных функций и, следовательно, плотно в нем, что является элементарным следствием Теорема Стоуна – Вейерштрасса (или как следствие Аппроксимационная теорема Вейерштрасса, поскольку каждый многочлен локально липшицево).
Всякое липшицево отображение равномерно непрерывный, и, следовательно a fortiori непрерывный. В более общем смысле набор функций с ограниченной константой Липшица образует равностепенный набор. В Теорема Арцела – Асколи следует, что если {ж_п} это равномерно ограниченный последовательность функций с ограниченной константой Липшица, то она имеет сходящуюся подпоследовательность. Согласно результату предыдущего абзаца, предельная функция также липшицева с такой же оценкой для константы Липшица. В частности, множество всех вещественнозначных липшицевых функций на компактном метрическом пространстве Икс с постоянной Липшица ≤K это локально компактный выпуклое подмножество банахова пространства C(Икс).
Для семейства липшицевых функций ж_α с общей константой функция ${ displaystyle sup _ { alpha} е _ { alpha}}$ (и ${ displaystyle inf _ { alpha} f _ { alpha}}$ ) также липшицево, с той же константой Липшица, при условии, что она принимает конечное значение хотя бы в точке.
Если U является подмножеством метрического пространства M и ж : U → р является липшицевой функцией, всегда существуют липшицевы отображения M → р которые расширяют ж и имеют ту же константу Липшица, что и ж (смотрите также Теорема Кирсбрауна ). Расширение предоставляется

{ Displaystyle { тильда {f}} (х): = inf _ {и в U} {е (и) + к , d (х, и) },}

где k постоянная Липшица для ж на U.

Липшицевы многообразия

Позволять U и V быть двумя открытыми сетами в р^п. Функция Т : U → V называется двилипшицевый если это липшицев гомеоморфизм на свой образ, и его обратный тоже липшицев.

Используя билипшицевы отображения, можно определить липшицеву структуру на топологическое многообразие, так как есть псевдогруппа структура на билипшицевых гомеоморфизмах. Эта структура является промежуточной между структурой кусочно-линейное многообразие и гладкое многообразие. Фактически, структура PL приводит к уникальной липшицевой структуре;^[5] в этом смысле его можно «почти» сгладить.

Односторонний Липшиц

Позволять F(Икс) быть верхний полунепрерывный функция Икс, и это F(Икс) - замкнутое выпуклое множество для всех Икс. потом F односторонний липшицев^[6] если

{ Displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) ^ {T} (F (x_ {1}) - F (x_ {2})) leq C Vert x_ {1} -x_ {2} Верт ^ {2}}

для некоторых C и для всех Икс₁ и Икс₂.

Возможно, что функция F может иметь очень большую константу Липшица, но одностороннюю константу Липшица умеренного размера или даже отрицательную. Например, функция

{ Displaystyle { begin {cases} F: mathbf {R} ^ {2} to mathbf {R}, F (x, y) = - 50 (y- cos (x)) end {case}}}

имеет постоянную Липшица K = 50 и односторонняя константа Липшица C = 0. Пример, который является односторонним липшицевым, но не липшицевым, является F(Икс) = е^−Икс, с участием C = 0.

Смотрите также

использованная литература

^ Сохраб, Х. Х. (2003). Базовый реальный анализ. Vol. 231. Birkhäuser. п. 142. ISBN 0-8176-4211-0.
^ Томсон, Брайан С .; Брукнер, Джудит Б .; Брукнер, Эндрю М. (2001). Элементарный реальный анализ. Прентис-Холл. п. 623.
^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), «Липшицевы функции», Метрические пространства, Студенческая математическая серия Springer, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7
^ Роббин, Джоэл В., Непрерывность и единообразная непрерывность (PDF)
^ SpringerLink: Топология многообразий
^ Дончев, Цанко; Фархи, Эльза (1998). "Устойчивость и эйлерова аппроксимация односторонних липшицевых дифференциальных включений". SIAM Journal по управлению и оптимизации. 36 (2): 780–796. Дои:10.1137 / S0363012995293694.

[1] Сохраб, Х. Х. (2003). Базовый реальный анализ. Vol. 231. Birkhäuser. п. 142. ISBN 0-8176-4211-0.

[2] Томсон, Брайан С .; Брукнер, Джудит Б .; Брукнер, Эндрю М. (2001). Элементарный реальный анализ. Прентис-Холл. п. 623.

[3] Searcóid, Mícheál Ó (2006), «Липшицевы функции», Метрические пространства, Студенческая математическая серия Springer, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7

[4] Роббин, Джоэл В., Непрерывность и единообразная непрерывность (PDF)

[5] SpringerLink: Топология многообразий

[6] Дончев, Цанко; Фархи, Эльза (1998). "Устойчивость и эйлерова аппроксимация односторонних липшицевых дифференциальных включений". SIAM Journal по управлению и оптимизации. 36 (2): 780–796. Дои:10.1137 / S0363012995293694.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]