Условие Гёльдера - Hölder condition

В математика, действительная или комплексная функция ж на d-размерный Евклидово пространство удовлетворяет Условие Гёльдера, или Гёльдер непрерывный, когда есть неотрицательные действительные постоянные C, α> 0, такие, что

{ Displaystyle | е (х) -f (у) | Leq C | х-у | ^ { альфа}}

для всех Икс и у в области ж. В более общем плане условие может быть сформулировано для функций между любыми двумя метрические пространства. Число α называется показатель степени условия Гельдера. Функция на интервале, удовлетворяющая условию с α> 1, есть постоянный. Если α = 1, то функция удовлетворяет условию Условие Липшица. Для любого α> 0 из условия следует, что функция имеет вид равномерно непрерывный. Состояние названо в честь Отто Гёльдер.

Имеется следующая цепочка строгих включений функций над замкнутый и ограниченный нетривиальный интервал реальной линии

Непрерывно дифференцируемый ⊂ Липшицева непрерывная ⊂ α-Гельдера непрерывный ⊂ равномерно непрерывный = непрерывный

где 0 <α ≤ 1.

Пространства Гёльдера

Пространства Гёльдера, состоящие из функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, являются основными в областях функциональный анализ имеет отношение к решению уравнения в частных производных, И в динамические системы. Пространство Гёльдера C^{k, α}(Ω), где Ω - открытое подмножество некоторого евклидова пространства и k ≥ 0 целое число, состоит из функций на Ω, имеющих непрерывную производные до заказа k и такой, что k-ые частные производные непрерывны по Гёльдеру с показателем α, где 0 <α ≤ 1. Это локально выпуклая топологическое векторное пространство. Если коэффициент Гельдера

{ displaystyle | f | _ {C ^ {0, alpha}} = sup _ {x neq y in Omega} { frac {| f (x) -f (y) |} { | xy | ^ { alpha}}},}

конечно, то функция ж как говорят (равномерно) непрерывна по Гёльдеру с показателем α в Ω. В этом случае коэффициент Гёльдера служит полунорма. Если коэффициент Гёльдера просто ограничен на компактный подмножества Ω, то функция ж как говорят локально непрерывна по Гёльдеру с показателем α в Ω.

Если функция ж и его производные до порядка k ограничены на замыкании Ω, то пространство Гёльдера ${ Displaystyle С ^ {к, альфа} ({ overline { Omega}})}$ можно присвоить норму

{ Displaystyle | е | _ {C ^ {k, alpha}} = | f | _ {C ^ {k}} + max _ {| beta | = k} left | D ^ { beta} f right | _ {C ^ {0, alpha}}}

где β пробегает мультииндексы и

{ Displaystyle | е | _ {C ^ {k}} = max _ {| beta | leq k} sup _ {x in Omega} left | D ^ { beta} f ( x) right |.}

Эти полунормы и нормы часто обозначают просто ${ displaystyle | f | _ {0, alpha}}$ и ${ Displaystyle | е | _ {к, альфа}}$ или также ${ Displaystyle | е | _ {0, альфа, Omega} ;}$ и ${ Displaystyle | е | _ {к, альфа, Omega}}$ чтобы подчеркнуть зависимость от области определения ж. Если Ω открыто и ограничено, то ${ Displaystyle С ^ {к, альфа} ({ overline { Omega}})}$ это Банахово пространство относительно нормы ${ Displaystyle | cdot | _ {C ^ {k, alpha}}}$ .

Компактное вложение пространств Гёльдера

Пусть Ω - ограниченное подмножество некоторого евклидова пространства (или, в более общем смысле, любого вполне ограниченного метрического пространства), и пусть 0 <α <β ≤ 1 два показателя Гельдера. Тогда существует очевидное отображение включения соответствующих пространств Гёльдера:

{ Displaystyle С ^ {0, бета} ( Омега) к С ^ {0, альфа} ( Омега),}

которое является непрерывным, поскольку по определению норм Гёльдера имеем:

{ displaystyle forall f in C ^ {0, beta} ( Omega): qquad | f | _ {0, alpha, Omega} leq mathrm {diam} ( Omega) ^ { бета - alpha} | f | _ {0, beta, Omega}.}

Более того, это включение компактно, что означает, что ограниченные множества в ‖ ·_{0, β} нормы относительно компактны в ‖ ·_{0, α} норма. Это прямое следствие Теорема Асколи-Арцела. Действительно, пусть (ты_п) - ограниченная последовательность в C^{0, β}(Ω). Благодаря теореме Асколи-Арцела мы можем без ограничения общности считать, что ты_п → ты равномерно, и можно также считать ты = 0. Тогда

{ displaystyle | u_ {n} -u | _ {0, alpha} = | u_ {n} | _ {0, alpha} to 0,}

потому что

{ displaystyle { frac {| u_ {n} (x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ { alpha}}} = left ({ frac {| u_ {n} ( x) -u_ {n} (y) |} {| xy | ^ { beta}}} right) ^ { frac { alpha} { beta}} left | u_ {n} (x) - u_ {n} (y) right | ^ {1 - { frac { alpha} { beta}}} leq | u_ {n} | _ {0, beta} ^ { frac { alpha} { beta}} left (2 | u_ {n} | _ { infty} right) ^ {1 - { frac { alpha} { beta}}} = o (1).}

Примеры

Если 0 <α ≤ β ≤ 1, то все ${ displaystyle C ^ {0, beta} ({ overline { Omega}})}$ Гельдеровские функции на ограниченное множество Ω также ${ displaystyle C ^ {0, alpha} ({ overline { Omega}})}$ Гёльдер непрерывный. Это также включает β = 1 и, следовательно, все Липшицева непрерывная функции на ограниченном множестве также C^{0, α} Гёльдер непрерывный.

Функция ж(Икс) = Икс^β (с β ≤ 1), определенная на [0, 1], служит прототипическим примером функции, которая C^{0, α} Гёльдер непрерывен при 0 <α ≤ β, но не при α> β. Далее, если мы определили ж аналогично на ${ displaystyle [0, infty)}$ , это было бы C^{0, α} Гёльдер непрерывен только при α = β.

При α> 1 любая непрерывная функция α – Гёльдера на [0, 1] (или любом интервале) является константой.

Существуют примеры равномерно непрерывных функций, не являющихся непрерывными по α – Гёльдеру ни при каком α. Например, функция, определенная на [0, 1/2] формулой ж(0) = 0 и по ж(Икс) = 1 / журнал (Икс) в противном случае является непрерывным, а значит, равномерно непрерывным Теорема Гейне-Кантора. Однако он не удовлетворяет условию Гельдера любого порядка.

В Функция Вейерштрасса определяется:

{ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a ^ {n} cos left (b ^ {n} pi x right),}

куда

{ displaystyle 0

целое число,

{ displaystyle b geq 2}

и

{ displaystyle ab> 1 + { tfrac {3 pi} {2}},}

α-Гёльдера с

{ displaystyle alpha = - { frac { log (a)} { log (b)}}.}

^[1]

В Функция Кантора непрерывна по Гёльдеру для любого показателя ${ displaystyle alpha leq { tfrac { log 2} { log 3}},}$ и ни для кого больше. В первом случае неравенство определения выполняется с постоянной C := 2.

Кривые Пеано из [0, 1] на квадрат [0, 1]² может быть построена так, чтобы быть 1/2 –гёльдеровской. Можно доказать, что когда ${ displaystyle alpha> { tfrac {1} {2}}}$ изображение непрерывной функции α – Гёльдера от единичного интервала к квадрату не может заполнить квадрат.

Примеры путей Броуновское движение почти наверняка всюду локально α-Гёльдеровы для любого ${ displaystyle alpha <{ tfrac {1} {2}}.}$

Функции, которые являются локально интегрируемыми и интегралы которых удовлетворяют подходящему условию роста, также являются непрерывными по Гёльдеру. Например, если мы позволим

{ displaystyle u_ {x, r} = { frac {1} {| B_ {r} |}} int _ {B_ {r} (x)} u (y) dy}

и ты удовлетворяет

{ displaystyle int _ {B_ {r} (x)} left | u (y) -u_ {x, r} right | ^ {2} dy leq Cr ^ {n + 2 alpha},}

тогда ты непрерывно по Гёльдеру с показателем α.^[2]

Функции, чьи колебание распад с фиксированной скоростью по отношению к расстоянию непрерывны по Гёльдеру с показателем степени, который определяется скоростью распада. Например, если

{ displaystyle w (u, x_ {0}, r) = sup _ {B_ {r} (x_ {0})} u- inf _ {B_ {r} (x_ {0})} u}

для какой-то функции ты(Икс) удовлетворяет

{ displaystyle w left (u, x_ {0}, { tfrac {r} {2}} right) leq lambda w left (u, x_ {0}, r right)}

при фиксированном λ при 0 <λ <1 и всех достаточно малых значениях р, тогда ты гёльдерово.

Функции в Соболевское пространство можно вложить в соответствующее пространство Гёльдера с помощью Неравенство Морри если размерность пространства меньше показателя пространства Соболева. Если быть точным, если ${ Displaystyle п <п leq infty}$ тогда существует постоянная C, в зависимости только от п и п, такое, что:

{ displaystyle forall u in C ^ {1} ( mathbf {R} ^ {n}) cap L ^ {p} ( mathbf {R} ^ {n}): qquad | u | _ {C ^ {0, gamma} ( mathbf {R} ^ {n})} leq C | u | _ {W ^ {1, p} ( mathbf {R} ^ {n}) },}

куда

{ displaystyle gamma = 1 - { tfrac {n} {p}}.}

Таким образом, если ты ∈ W^{1, п}(р^п), тогда ты на самом деле непрерывна по Гёльдеру экспоненты γ после возможного переопределения на множестве меры 0.

Характеристики

Замкнутая аддитивная подгруппа бесконечномерного гильбертова пространства ЧАС, соединенное α – гельдеровскими дугами с α> 1/2, является линейным подпространством. Существуют замкнутые аддитивные подгруппы группы ЧАС, не линейные подпространства, соединенные 1/2 – гельдеровскими дугами. Примером может служить аддитивная подгруппа L²(р, Z) гильбертова пространства L²(р, р).

Любая непрерывная функция α – Гёльдера ж на метрическом пространстве Икс признает Липшицево приближение с помощью последовательности функций (ж_k) такие, что ж_k является k-Липшиц и

{ displaystyle | е-е_ {k} | _ { infty, X} = O left (k ^ {- { frac { alpha} {1- alpha}}} right).}

Наоборот, любая такая последовательность (ж_k) липшицевых функций сходится к непрерывному равномерному пределу α – Гёльдера ж.

Любая функция α – Гёльдера ж на подмножестве Икс нормированного пространства E признает равномерно непрерывное расширение на все пространство, непрерывное по Гёльдеру с той же постоянной C и такой же показатель α. Самое крупное такое расширение:

{ displaystyle f ^ {*} (x): = inf _ {y in X} left {f (y) + C | x-y | ^ { alpha} right }.}

Образ любого ${ Displaystyle U подмножество mathbb {R} ^ {n}}$ имеет размерность Хаусдорфа α – Гельдера не более ${ displaystyle { tfrac { dim _ {H} (U)} { alpha}}}$ , куда ${ displaystyle dim _ {H} (U)}$ хаусдорфова размерность ${ displaystyle U}$ .

Космос ${ Displaystyle С ^ {0, альфа} ( Омега), 0 < альфа Leq 1}$ неотделимо.

Вложение ${ displaystyle C ^ {0, beta} ( Omega) subset C ^ {0, alpha} ( Omega), 0 < alpha < beta leq 1}$ не плотный.

Примечания

^ Харди, Г. Х. «Недифференцируемая функция Вейерштрасса». Труды Американского математического общества, т. 17, нет. 3. 1916. С. 301–325. JSTOR, JSTOR, https://www.jstor.org/stable/1989005.
^ См., Например, Хан и Линь, глава 3, раздел 1. Первоначально этот результат был обусловлен Серхио Кампанато.