Постоянная функция - Constant function

Не путать с функция константа.

В математика, а постоянная функция это функция чье (выходное) значение одинаково для всех входных значений.^[1][2][3] Например, функция у(Икс) = 4 является постоянной функцией, потому что значение у(Икс) равно 4 независимо от входного значения Икс (см. изображение).

Основные свойства

Как действительная функция действительного аргумента постоянная функция имеет общий вид у(Икс) = c или просто у = c.^[4]

Пример: Функция у(Икс) = 2 или просто у = 2 это конкретная постоянная функция, где выходное значение c = 2. В область этой функции - это множество всех действительных чисел ℝ. В codomain этой функции составляет всего {2}. Независимая переменная Икс не появляется в правой части выражения функции, поэтому его значение «заменяется пустым образом». А именно у(0) = 2, у(−2.7) = 2, у(π) = 2, и так далее. Независимо от того, какое значение Икс это вход, выход - "2".

Пример из реальной жизни: Магазин, где каждый товар продается по цене 1 доллар.

График постоянной функции у = c это горизонтальная линия в самолет что проходит через точку (0, c).^[5]

В контексте многочлен в одной переменной Икс, то ненулевая постоянная функция является многочленом степени 0 и имеет общий вид ж(Икс) = c куда c отличен от нуля. Эта функция не имеет точки пересечения с Икс-оси, то есть не имеет корень (ноль). С другой стороны, полином ж(Икс) = 0 это тождественно нулевая функция. Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый Икс это корень. Его график - это Иксось в самолете.^[6]

Постоянная функция - это даже функция, т.е. график постоянной функции симметричен относительно у-ось.

В контексте, в котором он определен, производная функции - это мера скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку постоянная функция не изменяется, ее производная равна 0.^[7] Об этом часто пишут:${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$ . Обратное также верно. А именно, если у'(Икс) = 0 для всех действительных чисел Икс, тогда у - постоянная функция.^[8]

Пример: Учитывая постоянную функцию ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$. Производная от у - тождественно нулевая функция ${\displaystyle y'(x)=(x\mapsto -{\sqrt {2}})'=0}$.

Другие свойства

Для функций между предварительно заказанные наборы, постоянные функции являются сохраняющий порядок и изменение порядка; наоборот, если ж одновременно сохраняет и меняет порядок, и если домен из ж это решетка, тогда ж должно быть постоянным.

• Каждая постоянная функция, чья домен и codomain являются одним и тем же множеством X является левый ноль из моноид полного преобразования на X, откуда следует, что он также идемпотент.
• Каждая постоянная функция между топологические пространства является непрерывный.
• Постоянная функция учитывается одноточечный набор, то конечный объект в категория наборов. Это наблюдение полезно для Ф. Уильям Ловер аксиоматизация теории множеств, элементарная теория категории множеств (ETCS).^[9]
• Каждый набор X является изоморфный к множеству постоянных функций в него. Для каждого элемента x и любого множества Y существует уникальная функция ${\displaystyle {\tilde {x}}:Y\rightarrow X}$ такой, что ${\displaystyle {\tilde {x}}(y)=x}$ для всех ${\displaystyle y\in Y}$. И наоборот, если функция ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$ удовлетворяет ${\displaystyle f(y)=f(y')}$ для всех ${\displaystyle y,y'\in Y}$, ${\displaystyle f}$ по определению является постоянной функцией.
  • Как следствие, одноточечное множество - это генератор в категории наборов.
  • Каждый набор ${\displaystyle X}$ канонически изоморфна множеству функций ${\displaystyle X^{1}}$, или же домашний набор ${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$ в категории множеств, где 1 - одноточечный набор. Из-за этого и присоединения между декартовыми произведениями и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной со значениями в функциях другой (единственной) переменной, ${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$) категория множеств - это закрытая моноидальная категория с декартово произведение наборов как тензорное произведение и одноточечного набора как тензорная единица. В изоморфизмах ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ естественно в X, левый и правый униторы - проекции ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ в заказанные пары ${\displaystyle (*,x)}$ и ${\displaystyle (x,*)}$ соответственно элементу ${\displaystyle x}$, куда ${\displaystyle *}$ уникальный точка в одноточечном наборе.

Функция на подключенный набор является локально постоянный тогда и только тогда, когда он постоянен.

Рекомендации

1. Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики. Факты в файле, Нью-Йорк. п. 94. ISBN  0-8160-5124-0.
2. К.Клэпхэм, Дж. Николсон (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, постоянная функция» (PDF). Эддисон-Уэсли. п. 175. Получено 12 января, 2014.
3. Вайсштейн, Эрик (1999). CRC Краткая энциклопедия математики. CRC Press, Лондон. п. 313. ISBN  0-8493-9640-9.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная функция». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-07-27.
5. Докинз, Пол (2007). «Колледж алгебры». Ламарский университет. п. 224. Получено 12 января, 2014.
6. Картер, Джон А .; Cuevas, Gilbert J .; Холлидей, Берчи; Маркс, Дэниел; МакКлюр, Мелисса С. (2005). «1». Advanced Mathematical Concepts - Предварительное исчисление с приложениями, Студенческое издание (1-е изд.). Glencoe / McGraw-Hill School Pub Co., стр. 22. ISBN  978-0078682278.
7. Докинз, Пол (2007). "Производные доказательства". Ламарский университет. Получено 12 января, 2014.
8. «Нулевая производная подразумевает постоянную функцию». Получено 12 января, 2014.
9. Ленстер, Том (27 июня 2011 г.). «Неформальное введение в теорию топоса». arXiv:1012.5647 [math.CT ].

• Герлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э., Категория Теория, Heldermann Verlag (2007).

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная функция». MathWorld.
• «Постоянная функция». PlanetMath.