Замкнутая моноидальная категория - Closed monoidal category

В математика, особенно в теория категорий, а закрытая моноидальная категория (или моноидальная замкнутая категория) это категория это одновременно моноидальная категория и закрытая категория таким образом, чтобы конструкции были совместимы.

Классический пример - категория наборов, Набор, где моноидальное произведение множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ это обычный декартово произведение ${\displaystyle A\times B}$, а внутренний Hom ${\displaystyle B^{A}}$ это набор функции из ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$. Не-декартов пример - это категория векторных пространств, K-Вект, через поле ${\displaystyle K}$. Здесь моноидальное произведение - это обычный тензорное произведение из векторные пространства, а внутреннее Hom - векторное пространство линейные карты из одного векторного пространства в другое.

В внутренний язык замкнутых симметричных моноидальных категорий есть линейная логика и система типов это система линейного типа. Многие примеры замкнутых моноидальных категорий: симметричный. Однако это не всегда так, поскольку несимметричные моноидальные категории могут встречаться в теоретико-категорийных формулировках лингвистика; грубо говоря, это потому, что порядок слов в естественном языке имеет значение.

Определение

А закрытая моноидальная категория это моноидальная категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ так что для каждого объекта ${\displaystyle B}$ то функтор задано правым тензором с ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

имеет правый смежный, написано

${\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}$

Это означает, что существует биекция, называемая 'карри ', между Hom-множества

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

это естественно в обоих А и C. В других, но общих обозначениях можно было бы сказать, что функтор

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

имеет право сопряженный

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

Эквивалентно замкнутая моноидальная категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ категория оборудована, на каждые два объекта А и B, с

• объект ${\displaystyle A\Rightarrow B}$,
• морфизм ${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$,

удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любого морфизма

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

существует уникальный морфизм

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

такой, что

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

Можно показать, что эта конструкция определяет функтор ${\displaystyle \Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$. Этот функтор называется внутренний функтор Hom, а объект ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ называется внутренний Hom из ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Многие другие обозначения обычно используются для внутреннего Hom. Когда тензорное произведение на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ - декартово произведение, обычное обозначение ${\displaystyle B^{A}}$ и этот объект называется экспоненциальный объект.

Двухзамкнутые и симметричные категории

Строго говоря, мы определили право закрыто моноидальная категория, поскольку мы требовали, чтобы верно тензор с любым объектом ${\displaystyle A}$ имеет правый сопряженный. В оставлен закрытым моноидальной категории, мы вместо этого требуем, чтобы функтор левого тензоринга с любым объектом ${\displaystyle A}$

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

иметь право сопрягать

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

А двустворчатый моноидальная категория - это моноидальная категория, замкнутая как слева, так и справа.

А симметричная моноидальная категория остается закрытым тогда и только тогда, когда оно закрывается справа. Таким образом, мы можем смело говорить о «симметричной моноидальной замкнутой категории», не уточняя, является ли она замкнутой вправо или влево. Фактически, то же самое верно и для плетеные моноидальные категории: поскольку плетение делает ${\displaystyle A\otimes B}$ естественно изоморфен ${\displaystyle B\otimes A}$, различие между натяжением слева и натяжением справа становится несущественным, поэтому каждая правая закрытая плетеная моноидальная категория становится закрытой слева каноническим способом, и наоборот.

Мы описали замкнутые моноидальные категории как моноидальные категории с дополнительным свойством. Эквивалентно замкнутую моноидальную категорию можно определить как закрытая категория с дополнительным имуществом. А именно, мы можем потребовать существования тензорное произведение то есть левый смежный к внутренний функтор Hom.В этом подходе замкнутые моноидальные категории также называют моноидальные замкнутые категории.

Примеры

• Каждый декартова закрытая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, когда моноидальная структура является декартовой структурой произведения. Внутренний функтор Hom задается экспоненциальный объект ${\displaystyle B^{A}}$.
  • В частности, категория наборов, Набор, является симметричной замкнутой моноидальной категорией. Здесь внутренний Hom ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ это просто набор функций из ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$.
• В категория модулей, р-Мод через коммутативное кольцо р не декартова симметричная моноидальная замкнутая категория. Моноидальное произведение задается формулой тензорное произведение модулей а внутренний Hom ${\displaystyle M\Rightarrow N}$ дается пространством р-линейные карты ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$ с его естественным р-модульная структура.
  • В частности, категория векторных пространств над полем ${\displaystyle K}$ является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
  • Абелевы группы можно рассматривать как Z-модули, поэтому категория абелевых групп также является симметричной замкнутой моноидальной категорией.
• А компактная закрытая категория является симметричной моноидальной замкнутой категорией, в которой внутренний функтор Hom ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ дан кем-то ${\displaystyle A^{*}\otimes B}$. Канонический пример - категория конечномерных векторных пространств, FdVect.

Контрпримеры

• В категория колец является симметричной моноидальной категорией относительно тензорное произведение колец, с ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ служащий единичным объектом. Эта категория нет закрыто. Если бы это было так, между любой парой колец был бы ровно один гомоморфизм: ${\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}$. То же верно и для категории р-алгебры через коммутативное кольцо р.

Смотрите также

• Сопряжение Исбелла

Рекомендации

• Келли, Г. «Основные понятия теории обогащенных категорий», Серия лекций Лондонского математического общества № 64 (C.U.P., 1982)
• Поль-Андре Мельес, «Категориальная семантика линейной логики», Panoramas et Synthèses 27, Société Mathématique de France, 2009 г.
• Замкнутая моноидальная категория в nLab