Функтор - Functor

Эта статья о математической концепции. Для использования в других целях см. Функтор (значения).

«Функциональность» перенаправляется сюда. По поводу гипотезы о функториальности Ленглендса в теории чисел см. Программа Ленглендса § Функториальность.

В математика, конкретно теория категорий, а функтор это отображение между категории. Функторы впервые были рассмотрены в алгебраическая топология, где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологические пространства, и отображения между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывный карты между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, для которых теория категорий применяется.

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотель и Рудольф Карнап, соответственно.^[1] Последний использовал функтор в лингвистический контекст;^[2]видеть служебное слово.

Определение

Позволять C и D быть категории. А функтор F из C к D это отображение, которое^[3]

• ассоциирует с каждым объектом ${\displaystyle X}$ в C с объектом ${\displaystyle F(X)}$ в D,
• ассоциирует каждый морфизм ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в C с морфизмом ${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$ в D такое, что выполняются следующие два условия:
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ для каждого объекта ${\displaystyle X}$ в C,
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$ для всех морфизмов ${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ в C.

То есть функторы должны сохранять морфизмы идентичности и сочинение морфизмов.

Ковариация и контравариантность

Смотрите также: Ковариация и контравариантность (информатика)

В математике есть множество конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «меняют композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C к D как отображение, которое

• ассоциирует с каждым объектом ${\displaystyle X}$ в C с объектом ${\displaystyle F(X)}$ в D,
• ассоциирует каждый морфизм ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в C с морфизмом ${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$ в D такое, что выполняются следующие два условия:
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ для каждого объекта ${\displaystyle X}$ в C,
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$ для всех морфизмов ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ в C.

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обычные функторы также называются ковариантные функторы чтобы отличить их от контравариантных. Обратите внимание, что можно также определить контравариантный функтор как ковариантный функтор на противоположная категория ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$.^[4] Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать ${\displaystyle F\colon C\to D}$ - контравариантный функтор, они просто пишут ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$ (или иногда ${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$) и назовем его функтором.

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторы.^[5]

Существует соглашение, относящееся к «векторам», т. Е. векторные поля, элементы пространства секций ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ из касательный пучок ${\displaystyle TM}$- как «контравариантный» и «ковекторный», т. Е. 1-формы, элементы пространства секций ${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)}$ из котангенсный пучок ${\displaystyle T^{*}M}$- как «ковариантный». Эта терминология берет свое начало в физике, и ее объяснение связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в выражения Такие как ${\displaystyle x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$ за ${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$ или же ${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$ за ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.}$ В этом формализме наблюдается, что символ преобразования координат ${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$ (представляющий матрицу ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{T}}$) действует на базисные векторы «так же», как и на «ковекторные координаты»: ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$- поскольку действует «наоборот» на «векторные координаты» (но «так же», как и на базисные ковекторы: ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$). Эта терминология противоречит той, что используется в теории категорий, потому что ковекторы имеют откаты в целом и поэтому контравариантный, тогда как векторы в общем случае ковариантный поскольку они могут быть толкнул вперед. Смотрите также Ковариация и контравариантность векторов.

Противоположный функтор

Каждый функтор ${\displaystyle F\colon C\to D}$ побуждает противоположный функтор ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$, куда ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ и ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$ являются противоположные категории к ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$.^[6] По определению, ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ отображает объекты и морфизмы идентично ${\displaystyle F}$. С ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ не совпадает с ${\displaystyle C}$ как категория, и аналогично для ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$ отличается от ${\displaystyle F}$. Например, при составлении ${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$ с ${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$, следует использовать либо ${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$ или же ${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$. Обратите внимание, что, следуя свойству противоположная категория, ${\displaystyle (F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=F}$.

Бифункторы и мультифункторы

А бифунктор (также известный как бинарный функтор) - функтор, область определения которого Категория продукта. Например, Hom функтор относится к типу C^op × C → Набор. Его можно рассматривать как функтор в два аргументы. В Hom функтор это естественный пример; он контравариантен по одному аргументу, ковариантен по другому.

А мультифунктор является обобщением концепции функтора на п переменные. Так, например, бифунктор - это мультифунктор с п = 2.

Примеры

Диаграмма: Для категорий C и J, диаграмма типа J в C ковариантный функтор ${\displaystyle D\colon J\to C}$.

(Теоретическая категория) предпучка: Для категорий C и J, а J-почва на C контравариантный функтор ${\displaystyle D\colon C\to J}$.

Предварительные пучки: Если Икс это топологическое пространство, то открытые наборы в Икс сформировать частично заказанный набор Открыть(Икс) при включении. Как и любой частично упорядоченный набор, Open (Икс) образует небольшую категорию, добавляя одну стрелку U → V если и только если ${\displaystyle U\subseteq V}$. Контравариантные функторы на Open (Икс) называются предварительные пучки на Икс. Например, присвоив каждому открытому набору U то ассоциативная алгебра вещественнозначных непрерывных функций на U, получается предпучок алгебр на Икс.

Постоянный функтор: Функтор C → D который отображает каждый объект C к неподвижному объекту Икс в D и каждый морфизм в C к морфизму тождества на Икс. Такой функтор называется постоянный или же отбор функтор.

Эндофунктор: Функтор, который отображает категорию в ту же категорию; например., полиномиальный функтор.

Функтор идентичности: в категории C, написано 1_C или id_C, отображает объект в себя, а морфизм - в себя. Функтор идентичности - это эндофунктор.

Диагональный функтор: The диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D^C который отправляет каждый объект в D к константному функтору этого объекта.

Предельный функтор: Для фиксированного категория индекса J, если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полно), то предельный функтор C^J → C назначает каждому функтору свой предел. Существование этого функтора можно доказать, поняв, что это право-сопряженный к диагональный функтор и ссылаясь на Теорема Фрейда о присоединенном функторе. Для этого требуется подходящая версия аксиома выбора. Аналогичные замечания применимы к функтору копредела (который назначает каждому функтору его копредел и является ковариантным).

Наборы мощности: Функтор набора мощности п : Набор → Набор сопоставляет каждый набор с его набор мощности и каждая функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ на карту, которая отправляет ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$ к его образу ${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$. Можно также рассмотреть контравариантный функтор степенного множества который отправляет ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ на карту, которая отправляет ${\displaystyle V\subseteq Y}$ к его обратное изображение ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Например, если ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ тогда ${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$. Предполагать ${\displaystyle f(0)=\{\}}$ и ${\displaystyle f(1)=X}$. потом ${\displaystyle F(f)}$ это функция, которая отправляет любое подмножество ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle X}$ к его образу ${\displaystyle f(U)}$, что в данном случае означает${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$, куда ${\displaystyle \mapsto }$ обозначает отображение при ${\displaystyle F(f)}$, так что это можно также записать как ${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$. Для других значений ${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$ Обратите внимание, что ${\displaystyle f(\{0,1\})}$ следовательно, генерирует тривиальная топология на ${\displaystyle X}$. Также обратите внимание, что хотя функция ${\displaystyle f}$ в этом примере сопоставлен с набором мощности ${\displaystyle X}$, что в общем случае не обязательно.

Двойное векторное пространство: Карта, которая присваивает каждому векторное пространство это двойное пространство и каждому линейная карта его двойственный или транспонированный является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным поле себе.

Основная группа: Рассмотрим категорию точечные топологические пространства, т.е. топологические пространства с отмеченными точками. Объекты парные (Икс, Икс₀), куда Икс является топологическим пространством и Икс₀ это точка в Икс. Морфизм из (Икс, Икс₀) к (Y, у₀) дается непрерывный карта ж : Икс → Y с ж(Икс₀) = у₀.

В каждое топологическое пространство Икс с выделенной точкой Икс₀, можно определить фундаментальная группа основанный на Икс₀, обозначенный π₁(Икс, Икс₀). Это группа из гомотопия классы петель на основе Икс₀. Если ж : Икс → Y это морфизм заостренные места, затем каждый цикл в Икс с базовой точкой Икс₀ может быть составлен с ж образовать петлю в Y с базовой точкой у₀. Эта операция совместима с гомотопией отношение эквивалентности и состав петель, и мы получаем групповой гомоморфизм из π (Икс, Икс₀) к π (Y, у₀). Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категория групп.

В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но они не могут быть составлены, если они не имеют общего конца. Таким образом, есть фундаментальный группоид вместо фундаментальной группы, и эта конструкция является функториальной.

Алгебра непрерывных функций: контравариантный функтор из категории топологические пространства (с непрерывными отображениями как морфизмами) в категорию вещественных ассоциативные алгебры задается назначением каждому топологическому пространству Икс алгебра C (Икс) всех действительнозначных непрерывных функций на этом пространстве. Каждая непрерывная карта ж : Икс → Y вызывает гомоморфизм алгебр C (ж): C (Y) → C (Икс) по правилу C (ж)(φ) = φ ∘ ж для каждого φ в C (Y).

Касательные и котангенсные связки: Карта, которая отправляет каждый дифференцируемое многообразие к его касательный пучок и каждый гладкая карта к его производная является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторные пакеты.

Поточечное выполнение этих построений дает касательное пространство, ковариантный функтор из категории точечных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Так же, котангенс пространство - контравариантный функтор, по сути, композиция касательного пространства с двойное пространство над.

Групповые действия / представления: Каждый группа грамм можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами грамм. Функтор от грамм к Набор тогда не что иное, как групповое действие из грамм на конкретном множестве, т.е. грамм-набор. Точно так же функтор от грамм к категория векторных пространств, Vect_K, это линейное представление из грамм. В общем случае функтор грамм → C можно рассматривать как «действие» грамм на объект в категории C. Если C группа, то это действие является гомоморфизмом групп.

Алгебры Ли: Присваивая каждому реальному (сложному) Группа Ли его реальный (сложный) Алгебра Ли определяет функтор.

Тензорные продукты: Если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем, причем линейные карты как морфизмы, то тензорное произведение ${\displaystyle V\otimes W}$ определяет функтор C × C → C что ковариантно по обоим аргументам.^[7]

Забывчивые функторы: Функтор U : Grp → Набор который отображает группа к его базовому набору и групповой гомоморфизм к своей базовой функции множеств является функтором.^[8] Такие функторы, которые «забывают» некоторую структуру, называются забывчивые функторы. Другой пример - функтор Rng → Ab который отображает звенеть к его основной добавке абелева группа. Морфизмы в Rng (гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмы абелевых групп).

Бесплатные функторы: В противоположном направлении к забывчивым функторам идут свободные функторы. Свободный функтор F : Набор → Grp отправляет каждый комплект Икс к свободная группа создано Икс. Функции отображаются в гомоморфизмы групп между свободными группами. Для многих категорий существуют бесплатные конструкции, основанные на структурированных наборах. Видеть свободный объект.

Группы гомоморфизмов: Каждой паре А, B из абелевы группы можно сопоставить абелеву группу Hom (А, B) состоящий из всех гомоморфизмы групп из А к B. Это функтор, который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму аргументу, т.е.является функтором Ab^op × Ab → Ab (куда Ab обозначает категория абелевых групп с гомоморфизмами групп). Если ж : А₁ → А₂ и грамм : B₁ → B₂ морфизмы в Ab, то гомоморфизм групп Hom (ж, грамм): Hom (А₂, B₁) → Hom (А₁, B₂) дан кем-то φ ↦ грамм ∘ φ ∘ ж. Видеть Hom функтор.

Представимые функторы: Мы можем обобщить предыдущий пример на любую категорию C. Каждой паре Икс, Y объектов в C можно назначить набор Hom (Икс, Y) морфизмов из Икс к Y. Это определяет функтор для Набор которая контравариантна по первому аргументу и ковариантна по второму, т.е.является функтором C^op × C → Набор. Если ж : Икс₁ → Икс₂ и грамм : Y₁ → Y₂ морфизмы в C, то карта Hom (ж, грамм): Hom (Икс₂, Y₁) → Hom (Икс₁, Y₂) дан кем-то φ ↦ грамм ∘ φ ∘ ж.

Такие функторы называются представимые функторы. Во многих случаях важной целью является определение представимости данного функтора.

Характеристики

Два важных следствия функтора аксиомы находятся:

• F преобразует каждый коммутативная диаграмма в C в коммутативную диаграмму в D;
• если ж является изоморфизм в C, тогда F(ж) является изоморфизмом в D.

Можно составить функторы, т.е. если F является функтором от А к B и грамм является функтором от B к C то можно сформировать составной функтор грамм ∘ F из А к C. Состав функторов ассоциативен там, где он определен. Тождество композиции функторов является тождественным функтором. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например, в категория малых категорий.

Небольшая категория с одним объектом - это то же самое, что моноид: морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композиция в категории рассматривается как операция моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют моноиду гомоморфизмы. Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Отношение к другим категориальным понятиям

Позволять C и D быть категориями. Коллекция всех функторов из C к D образует объекты категории: категория функторов. Морфизмы в этой категории естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальные свойства; примерами являются тензорное произведение, то прямая сумма и прямой продукт групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, непосредственный и обратный пределы. Концепции предел и копредел обобщить некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто рождают пары присоединенные функторы.

Компьютерные реализации

Функторы иногда появляются в функциональное программирование. Например, язык программирования Haskell имеет учебный класс Функтор куда fmap это разнотипная функция используется для отображения функции (морфизмы на Hask, категория типов Haskell)^[9] между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами.^[10]

Смотрите также

• Математический портал

• Категория функторов
• Кан расширение
• Псевдофунктор

Примечания

1. Мак-Лейн, Сондерс (1971), Категории для рабочего математика, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30, ISBN  978-3-540-90035-1
2. Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка, Routledge & Kegan, стр. 13–14.
3. Джейкобсон (2009), п. 19, деф. 1.2.
4. Джейкобсон (2009) С. 19–20.
5. Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий. Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN  9789400995505. Получено 23 апреля 2016.
6. Мак-Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов, Спрингер, ISBN  978-0-387-97710-2
7. Хазевинкель, Михиэль; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надия; Кириченко Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули, Спрингер, ISBN  978-1-4020-2690-4
8. Джейкобсон (2009), п. 20, пр. 2.
9. Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. Видеть https://wiki.haskell.org/Hask Больше подробностей.
10. Видеть https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell для дополнительной информации.

Рекомендации

• Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7.

внешняя ссылка

• "Функтор", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• видеть функтор в nLab и варианты, обсуждаемые и связанные с ними.
• Андре Жоял, CatLab, вики-проект, посвященный изложению категориальной математики
• Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX  10.1.1.24.3264: Отсутствует или пусто | url = (помощь) формальное введение в теорию категорий.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактная и конкретная категории - радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии: "Теория категорий »- Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон, 1996 г. "Сказка о п-категории. "Неформальное знакомство с категориями высшего порядка.
• WildCats это теория категорий пакет для Mathematica. Манипуляция и визуализация объектов, морфизмы, категории, функторы, естественные преобразования, универсальные свойства.
• Кошки, YouTube-канал о теории категорий.
• «Теория категорий». PlanetMath.
• Видео архив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница который порождает примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.