Котангенсный пучок - Cotangent bundle

В математика, особенно дифференциальная геометрия, то котангенсный пучок из гладкое многообразие это векторный набор из всех котангенсные пространства в каждой точке коллектора. Его также можно описать как двойной комплект к касательный пучок. Это можно обобщить на категории с большей структурой, чем гладкие коллекторы, такие как комплексные многообразия, или (в виде котангенциального пучка) алгебраические многообразия или же схемы. В гладком случае любая риманова метрика или симплектическая форма дает изоморфизм между кокасательным расслоением и касательным расслоением, но они, вообще говоря, не изоморфны в других категориях.

Формальное определение

Позволять M быть гладкое многообразие и разреши M×M быть Декартово произведение из M с собой. В диагональное отображение Δ отправляет точку п в M к точке (п,п) из M×M. Изображение Δ называется диагональю. Позволять ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ быть пучок из микробы гладких функций на M×M которые обращаются в нуль на диагонали. Тогда частный пучок ${ Displaystyle { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}}$ состоит из классов эквивалентности функций, которые обращаются в нуль на диагонали по модулю высших членов. В котангенциальный пучок определяется как откат этого пучка в M:

{ displaystyle Gamma T ^ {*} M = Delta ^ {*} left ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} right).}

К Теорема Тейлора, это локально свободная связка модулей относительно пучка ростков гладких функций M. Таким образом, он определяет векторный набор на M: the котангенсный пучок.

Гладкий разделы кокасательного расслоения называются (дифференциальными) одноформный.

Контравариантные свойства

Гладкий морфизм ${ Displaystyle phi двоеточие от M до N}$ многообразий, индуцирует обратная связка ${ displaystyle phi ^ {*} T ^ {*} N}$ на M. Существует индуцированная карта векторных пучков ${ displaystyle phi ^ {*} (T ^ {*} N) to T ^ {*} M}$ .

Примеры

Касательное расслоение векторного пространства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ является ${ Displaystyle T , mathbb {R} ^ {n} = mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}}$ , а котангенсное расслоение есть ${ Displaystyle T ^ {*} mathbb {R} ^ {n} = mathbb {R} ^ {n} times ( mathbb {R} ^ {n}) ^ {*}}$ , куда ${ Displaystyle ( mathbb {R} ^ {п}) ^ {*}}$ обозначает двойное пространство ковекторов, линейных функций ${ displaystyle v ^ {*}: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ .

Для гладкого многообразия ${ Displaystyle М подмножество mathbb {R} ^ {п}}$ встроенный как гиперповерхность представленный исчезающим геометрическим объектом функции ${ Displaystyle е в C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}),}$ с условием, что ${ displaystyle nabla f neq 0,}$ касательное расслоение

{ Displaystyle TM = {(x, v) in T , mathbb {R} ^ {n} : f (x) = 0, , df_ {x} (v) = 0 } ,}

куда ${ displaystyle df_ {x} in T_ {x} ^ {*} M}$ это производная по направлению ${ displaystyle df_ {x} (v) = nabla ! f (x) cdot v}$ . По определению кокасательное расслоение в этом случае есть

{ displaystyle T ^ {*} M = { bigl {} (x, v ^ {*}) in T ^ {*} mathbb {R} ^ {n} : f (x) = 0 , v ^ {*} in T_ {x} ^ {*} M { bigr }},}

куда ${ displaystyle T_ {x} ^ {*} M = {v in T_ {x} mathbb {R} ^ {n} : df_ {x} (v) = 0 } ^ {*}. }$ Поскольку каждый ковектор ${ displaystyle v ^ {*} in T_ {x} ^ {*} M}$ соответствует единственному вектору ${ displaystyle v in T_ {x} M}$ для которого ${ displaystyle v ^ {*} (u) = v cdot u,}$ для произвольного ${ displaystyle u in T_ {x} M,}$

{ displaystyle T ^ {*} M = { bigl {} (x, v ^ {*}) in T ^ {*} mathbb {R} ^ {n} : f (x) = 0 , v in T_ {x} mathbb {R} ^ {n}, df_ {x} (v) = 0 { bigr }}.}

Котангенсное расслоение как фазовое пространство

Поскольку котангенсный пучок Икс = Т*M это векторный набор, его можно рассматривать как самостоятельное многообразие. Поскольку в каждой точке касательные направления M могут быть спарены со своими двойственными ковекторами в волокне, Икс обладает канонической одноформой θ, называемой тавтологический однообразный, обсуждается ниже. В внешняя производная θ является симплектическая 2-форма, из которых невырожденная объемная форма может быть построен для Икс. Например, в результате Икс всегда ориентируемый многообразие (касательное расслоение TX является ориентируемым векторным расслоением). Специальный набор координаты может быть определен на расслоении котангенса; это называется канонические координаты. Поскольку котангенсные пучки можно рассматривать как симплектические многообразия, любую действительную функцию на котангенсном расслоении можно интерпретировать как Гамильтониан; Таким образом, котангенсный пучок можно понимать как фазовое пространство на котором Гамильтонова механика разыгрывается.

Тавтологическая одноформа

Котангенсное расслоение несет каноническую одноформу θ, также известную как симплектический потенциал, Пуанкаре 1-form, или Liouville 1-форма. Это означает, что если рассматривать Т*M как самостоятельное многообразие существует каноническая раздел векторного расслоения Т*(Т*M) над Т*M.

Этот раздел можно построить несколькими способами. Самый элементарный метод использует локальные координаты. Предположим, что Икс^я - локальные координаты на базовом многообразии M. В терминах этих базовых координат есть координаты волокна п_я: одна форма в определенной точке Т*M имеет форму п_я dx^я (Соглашение о суммировании Эйнштейна подразумевается). Итак, коллектор Т*M сам несет локальные координаты (Икс^я, п_я) где Икс's - координаты на базе, а p's - координаты в волокне. Каноническая однократная форма задается в этих координатах выражением

{ displaystyle theta _ {(x, p)} = sum _ {{ mathfrak {i}} = 1} ^ {n} p_ {i} , dx ^ {i}.}

По сути, значение канонической одной формы в каждой фиксированной точке Т * М дается как откат. В частности, предположим, что π: Т * М → M это проекция комплекта. Принимая точку в Т_Икс*M это то же самое, что и выбор точки Икс в M и одноформа ω при Икс, а тавтологическая одноформа θ сопоставляет точке (Икс, ω) значение

{ displaystyle theta _ {(x, omega)} = pi ^ {*} omega.}

То есть для вектора v в касательном расслоении кокасательного расслоения применение тавтологической одноформы θ к v в (Икс, ω) вычисляется путем проецирования v в касательный пучок при Икс с помощью dπ: Т(Т*M) → TM и применяя ω к этой проекции. Обратите внимание, что тавтологическая одноформа не является откатом одной формы на основе M.

Симплектическая форма

Котангенсное расслоение имеет каноническую симплектическая 2-форма на нем, как внешняя производная из тавтологический однообразный, то симплектический потенциал. Доказать, что эта форма действительно симплектическая, можно сделать, отметив, что симплектическая форма - это локальное свойство: поскольку кокасательное расслоение локально тривиально, это определение нужно проверять только на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}}$ . Но здесь определена одна форма - сумма ${ displaystyle y_ {i} , dx_ {i}}$ , а дифференциал - каноническая симплектическая форма, сумма ${ displaystyle dy_ {i} land dx_ {i}}$ .

Фазовое пространство

Если коллектор ${ displaystyle M}$ представляет собой набор возможных позиций в динамическая система, то котангенсный пучок ${ Displaystyle ! , Т ^ {*} ! M}$ можно рассматривать как набор возможных позиции и импульсы. Например, это способ описать фазовое пространство маятника. Состояние маятника определяется его положением (углом) и его импульсом (или, что эквивалентно, его скоростью, поскольку его масса постоянна). Все пространство состояний выглядит как цилиндр, который является кокасательным пучком окружности. Приведенная выше симплектическая конструкция вместе с подходящей энергия функция, дает полное определение физики системы. Видеть Гамильтонова механика и статья о геодезический поток для явного построения гамильтоновых уравнений движения.

Смотрите также

Превращение Лежандра