Канонические координаты - Canonical coordinates

В математика и классическая механика, канонические координаты наборы координаты на фазовое пространство который можно использовать для описания физической системы в любой момент времени. Канонические координаты используются в Гамильтонова формулировка из классическая механика. Близкое понятие также появляется в квантовая механика; увидеть Теорема Стоуна – фон Неймана и канонические коммутационные соотношения для подробностей.

Поскольку гамильтонова механика обобщается симплектическая геометрия и канонические преобразования обобщены контактные преобразования, поэтому определение канонических координат 19 века в классической механике может быть обобщено до более абстрактного определения координат 20 века на котангенсный пучок из многообразие (математическое понятие фазового пространства).

Определение в классической механике

В классическая механика, канонические координаты координаты ${\displaystyle q^{i}}$ и ${\displaystyle p_{i}}$ в фазовое пространство которые используются в Гамильтониан формализм. Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным Скобка Пуассона связи:

${\displaystyle \{q^{i},q^{j}\}=0\qquad \{p_{i},p_{j}\}=0\qquad \{q^{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

Типичный пример канонических координат: ${\displaystyle q^{i}}$ быть обычным Декартовы координаты, и ${\displaystyle p_{i}}$ быть компонентами импульс. Следовательно, в целом ${\displaystyle p_{i}}$ координаты называются «сопряженными импульсами».

Канонические координаты могут быть получены из обобщенные координаты из Лагранжиан формализм Превращение Лежандра, или из другого набора канонических координат каноническое преобразование.

Определение котангенсных расслоений

Канонические координаты определяются как специальный набор координаты на котангенсный пучок из многообразие. Обычно они записываются как набор ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$ или же ${\displaystyle (x^{i},p_{j})}$ с Икс или q обозначает координаты на нижележащем многообразии и п обозначает сопряженный импульс, которые 1-формы в котангенсном расслоении в точке q в коллекторе.

Общее определение канонических координат - это любой набор координат на пучке котангенса, который позволяет каноническая одноформа быть написанным в форме

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

вплоть до полного дифференциала. Изменение координат, сохраняющее эту форму, есть каноническое преобразование; это частный случай симплектоморфизм, которые по сути являются заменой координат на симплектическое многообразие.

В следующем изложении мы предполагаем, что многообразия являются вещественными многообразиями, так что кокасательные векторы, действующие на касательные векторы, производят действительные числа.

Формальное развитие

Учитывая многообразие Q, а векторное поле Икс на Q (а раздел из касательный пучок TQ) можно рассматривать как функцию, действующую на котангенсный пучок, двойственностью касательного и кокасательного пространств. То есть определить функцию

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

такой, что

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

выполняется для всех котангенс векторов п в ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$. Здесь, ${\displaystyle X_{q}}$ вектор в ${\displaystyle T_{q}Q}$, касательное пространство к многообразию Q в точке q. Функция ${\displaystyle P_{X}}$ называется функция импульса соответствующий Икс.

В местные координаты, векторное поле Икс в точке q можно записать как

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

где ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ являются системой координат на TQ. Тогда сопряженный импульс имеет выражение

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

где ${\displaystyle p_{i}}$ определяются как импульсные функции, соответствующие векторам ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$:

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

В ${\displaystyle q^{i}}$ вместе с ${\displaystyle p_{j}}$ вместе образуют систему координат на кокасательном расслоении ${\displaystyle T^{*}Q}$; эти координаты называются канонические координаты.

Обобщенные координаты

В Лагранжева механика используется другой набор координат, называемый обобщенные координаты. Обычно они обозначаются как ${\displaystyle (q^{i},{\dot {q}}^{i})}$ с ${\displaystyle q^{i}}$ называется обобщенная позиция и ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$ то обобщенная скорость. Когда Гамильтониан определено на кокасательном расслоении, то обобщенные координаты связаны с каноническими координатами посредством Уравнения Гамильтона – Якоби.

Смотрите также

• Линейный дискриминантный анализ
• Симплектическое многообразие
• Симплектическое векторное поле
• Симплектоморфизм
• Кинетический импульс

Рекомендации

• Гольдштейн, Герберт; Пул, Чарльз П., младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. С. 347–349. ISBN  0-201-65702-3.
• Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден, Основы механики(1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN  0-8053-0102-X См. Раздел 3.2.

внешняя ссылка