Симплектическое векторное поле - Symplectic vector field

В физика и математика, а симплектическое векторное поле тот, поток которого сохраняет симплектическая форма. То есть, если ${\displaystyle (M,\omega )}$ это симплектическое многообразие с гладкое многообразие ${\displaystyle M}$ и симплектическая форма ${\displaystyle \omega }$, затем векторное поле ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ в Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ симплектический, если его поток сохраняет симплектическую структуру. Другими словами, Производная Ли векторного поля должны исчезнуть:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}$.^[1]

Альтернативное определение состоит в том, что векторное поле симплектическое, если его внутреннее произведение с симплектической формой замкнуто.^[1] (Продукт интерьера дает карту из векторных полей в 1-формы, которая является изоморфизм вследствие невырожденности симплектической 2-формы.) Эквивалентность определений следует из замкнутости симплектической формы и Магическая формула Картана для Производная Ли с точки зрения внешняя производная.

Если внутреннее произведение векторного поля симплектической формы является точная форма (и, в частности, закрытая форма), то она называется Гамильтоново векторное поле. Если первый Когомологии де Рама группа ${\displaystyle H^{1}(M)}$ многообразия тривиально, все замкнутые формы точны, поэтому все симплектические векторные поля гамильтоновы. То есть, то препятствие к симплектическому векторному полю, являющемуся гамильтоновым, живет в ${\displaystyle H^{1}(M)}$. В частности, симплектические векторные поля на односвязный многообразия гамильтоновы.

В Кронштейн лжи двух симплектических векторных полей является гамильтоновым, и, таким образом, набор симплектических векторных полей и набор гамильтоновых векторных полей образуют Алгебры Ли.

Рекомендации

1. Каннас да Силва, Ана (2001), Лекции по симплектической геометрии, Конспект лекций по математике, 1764, Springer-Verlag, стр. 106, ISBN  978-3-540-42195-5.

В этой статье использован материал из Симплектического векторного поля по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.