Гамильтоново векторное поле - Hamiltonian vector field

В математика и физика, а Гамильтоново векторное поле на симплектическое многообразие это векторное поле, определенный для любого функция энергии или же Гамильтониан. Назван в честь физика и математика. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон, гамильтоново векторное поле является геометрическим проявлением Уравнения Гамильтона в классическая механика. В интегральные кривые гамильтонова векторного поля представляют собой решения уравнений движения в гамильтоновой форме. В диффеоморфизмы симплектического многообразия, возникающего из поток гамильтонова векторного поля известны как канонические преобразования по физике и (гамильтониан) симплектоморфизмы по математике.^[1]

Гамильтоновы векторные поля могут быть определены в более общем виде на произвольной Пуассоново многообразие. В Кронштейн лжи двух гамильтоновых векторных полей, соответствующих функциям ж и грамм на многообразии является гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом, задаваемымСкобка Пуассона из ж и грамм.

Определение

Предположим, что $(M, ω)$ это симплектическое многообразие. Поскольку симплектическая форма $ω$ невырожден, он устанавливает послойно-линейный изоморфизм

{ displaystyle omega: TM to T ^ {*} M,}

между касательный пучок $TM$ и котангенсный пучок $Т * М$ , с обратным

{ displaystyle Omega: T ^ {*} M to TM, quad Omega = omega ^ {- 1}.}

Следовательно, одноформный на симплектическом многообразии $M$ можно отождествить с векторные поля и каждый дифференцируемая функция $ЧАС : M \to р$ определяет уникальный векторное поле $Икс ЧАС$ , называется Гамильтоново векторное поле с Гамильтониан $ЧАС$ , определяя для каждого векторного поля $Y$ на $M$ ,

{ displaystyle mathrm {d} H (Y) = omega (X_ {H}, Y).}

Примечание: Некоторые авторы определяют гамильтоново векторное поле с противоположным знаком. Следует помнить о различных условных обозначениях в физической и математической литературе.

Примеры

Предположим, что $M$ это $2 п$ -мерное симплектическое многообразие. Тогда локально можно выбрать канонические координаты $(q 1, ..., q п, п 1, ..., п п)$ на $M$ , в котором симплектическая форма выражается как:^[2] ${ displaystyle omega = sum _ {i} mathrm {d} q ^ {i} wedge mathrm {d} p_ {i},}$

куда $d$ обозначает внешняя производная и $\land$ обозначает внешний продукт. Тогда гамильтоново векторное поле с гамильтонианом $ЧАС$ принимает форму:^[1] ${ displaystyle mathrm {X} _ {H} = left ({ frac { partial H} { partial p_ {i}}}, - { frac { partial H} { partial q ^ {i }}} right) = Omega , mathrm {d} H,}$

куда $Ω$ это $2 п \times 2 п$ квадратная матрица

{ displaystyle Omega = { begin {bmatrix} 0 & I_ {n} - I_ {n} & 0 end {bmatrix}},}

и

{ displaystyle mathrm {d} H = { begin {bmatrix} { frac { partial H} { partial q ^ {i}}} { frac { partial H} { partial p_ {i }}} end {bmatrix}}.}

Матрица $Ω$ часто обозначается $J$ .

Предположим, что M = р^2п это 2п-размерный симплектическое векторное пространство с (глобальными) каноническими координатами.

Если ${ displaystyle H = p_ {i}}$ тогда ${ Displaystyle X_ {H} = partial / partial q ^ {i};}$
если ${ displaystyle H = q_ {i}}$ тогда ${ Displaystyle X_ {H} = - partial / partial p ^ {i};}$
если ${ Displaystyle Н = 1/2 сумма (р_ {я}) ^ {2}}$ тогда ${ Displaystyle X_ {H} = сумма p_ {i} partial / partial q ^ {i};}$
если ${ Displaystyle H = 1/2 сумма a_ {ij} q ^ {i} q ^ {j}, a_ {ij} = a_ {ji}}$ тогда ${ displaystyle X_ {H} = - sum a_ {ij} q_ {i} partial / partial p ^ {j}.}$

Характеристики

Назначение $ж \mapsto Икс ж$ является линейный, так что сумма двух гамильтоновых функций переходит в сумму соответствующих гамильтоновых векторных полей.
Предположим, что $(q 1, ..., q п, п 1, ..., п п)$ канонические координаты на $M$ (см. выше). Тогда кривая $γ (т) = (д (т), р (т))$ является интегральная кривая гамильтонова векторного поля $Икс ЧАС$ тогда и только тогда, когда это решение Уравнения Гамильтона:^[1] ${ displaystyle { dot {q}} ^ {i} = { frac { partial H} { partial p_ {i}}}}$

{ displaystyle { dot {p}} _ {i} = - { frac { partial H} { partial q ^ {i}}}.}

Гамильтониан $ЧАС$ постоянна вдоль интегральных кривых, поскольку ${ Displaystyle langle dH, { точка { gamma}} rangle = omega (X_ {H} ( gamma), X_ {H} ( gamma)) = 0}$ . То есть, $ЧАС (γ (т))$ фактически не зависит от $т$ . Это свойство соответствует сохранение энергии в Гамильтонова механика.
В более общем смысле, если две функции $F$ и $ЧАС$ иметь ноль Скобка Пуассона (см. ниже), тогда $F$ постоянна вдоль интегральных кривых $ЧАС$ , и аналогично $ЧАС$ постоянна вдоль интегральных кривых $F$ . Этот факт является абстрактным математическим принципом, лежащим в основе Теорема Нётер.^{[nb 1]}
В симплектическая форма $ω$ сохраняется гамильтоновым потоком. Эквивалентно Производная Ли ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X_ {H}} omega = 0.}$

Скобка Пуассона

Понятие гамильтонова векторного поля приводит к кососимметричный билинейная операция над дифференцируемыми функциями на симплектическом многообразии M, то Скобка Пуассона, определяемый формулой

{ displaystyle {f, g } = omega (X_ {g}, X_ {f}) = dg (X_ {f}) = { mathcal {L}} _ {X_ {f}} g}

куда ${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X}}$ обозначает Производная Ли вдоль векторного поля Икс. Более того, можно проверить, что выполняется следующее тождество:^[1] ${ Displaystyle X _ { {е, g }} = [X_ {f}, X_ {g}],}$

где правая часть представляет собой скобку Ли гамильтоновых векторных полей с гамильтонианами ж и грамм. Как следствие (доказательство на Скобка Пуассона ) скобка Пуассона удовлетворяет условию Личность Якоби:^[3] ${ displaystyle { {е, g }, h } + { {g, h }, f } + { {h, f }, g } = 0,}$

что означает, что векторное пространство дифференцируемых функций на $M$ , снабженный скобкой Пуассона, имеет структуру Алгебра Ли над $р$ , а задание $ж \mapsto Икс ж$ это Гомоморфизм алгебр Ли, чей ядро состоит из локально постоянных функций (постоянных функций, если $M$ подключен).

Замечания

^ Видеть Ли (2003, Глава 18) для очень краткого изложения и доказательства теоремы Нётер.

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d Ли 2003, Глава 18.
^ Ли 2003, Глава 12.
^ Ли 2003, Глава 18.

Процитированные работы

Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики. Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN 978-080530102-1.См. Раздел 3.2.
Арнольд, В. (1997). Математические методы классической механики. Берлин и т. Д .: Springer. ISBN 0-387-96890-3.
Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38753-1.
Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия, Тексты для выпускников Springer по математике, 218, ISBN 0-387-95448-1
Макдафф, Дуса; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию. Оксфордские математические монографии. ISBN 0-19-850451-9.

[3] Видеть Ли (2003, Глава 18) для очень краткого изложения и доказательства теоремы Нётер.

[FOOTNOTELee2003Chapter_18-1] а ^б ^c ^d Ли 2003, Глава 18.

[FOOTNOTELee2003Chapter_12-2] Ли 2003, Глава 12.

[FOOTNOTELee2003Chaptter_18-4] Ли 2003, Глава 18.

[1]

[2]

[nb 1]

[3]