Когомологии де Рама - De Rham cohomology

О когомологиях многообразий де Рама Гротендика см. алгебраические когомологии де Рама.

Векторное поле, соответствующее дифференциальной форме на проколотый самолет которое замкнуто, но не является точным, показывая, что когомологии де Рама этого пространства нетривиальны.

В математика, когомологии де Рама (после Жорж де Рам ) - инструмент, принадлежащий как алгебраическая топология и чтобы дифференциальная топология, способный выражать основную топологическую информацию о гладкие многообразия в форме, особенно приспособленной для вычислений и конкретного представления классы когомологий. Это теория когомологий основанный на существовании дифференциальные формы с заданными свойствами.

Концепция интеграции по формам имеет фундаментальное значение в дифференциальной топологии, геометрии и физике, а также дает один из самых важных примеров когомология, а именно когомологии де Рама, который (грубо говоря) точно измеряет степень, в которой основная теорема исчисления терпит неудачу в более высоких измерениях и на общих многообразиях. — Теренс Тао, Дифференциальные формы и интеграция^[1]

Определение

В комплекс де Рама это коцепьевой комплекс из дифференциальные формы на некоторых гладкое многообразие M, с внешняя производная как дифференциал:

${\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,}$

куда Ω⁰(M) это пространство гладкие функции на M, Ω¹(M) это пространство 1-формы и т. д. Формы, которые являются изображением других форм под внешняя производная, плюс постоянная 0 функционировать в Ω⁰(M), называются точный и формы, внешняя производная которых равна 0 называются закрыто (видеть Замкнутые и точные дифференциальные формы ); отношения d² = 0 затем говорит, что точные формы закрыты.

Напротив, закрытые формы не обязательно точны. Наглядный случай - круг как многообразие, и 1-форма, соответствующая производной угла от опорной точки в его центре, как правило, записываются в виде dθ (описано на Замкнутые и точные дифференциальные формы ). Нет функции θ определен на всем круге так, что dθ его производная; увеличение 2π один раз обойти круг в положительном направлении подразумевает многозначная функция θ. Удаление одной точки окружности позволяет избежать этого, одновременно изменяя топологию многообразия.

Идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы определить классы эквивалентности замкнутых форм на многообразии. Один классифицирует две закрытые формы α, β ∈ Ω^k(M) в качестве когомологичный если они отличаются точной формой, то есть если α − β точно. Эта классификация индуцирует отношение эквивалентности на пространстве замкнутых форм в Ω^k(M). Затем определяется k-й группа когомологий де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ быть множеством классов эквивалентности, то есть множеством замкнутых форм в Ω^k(M) по модулю точных форм.

Отметим, что для любого многообразия M состоит из м отключенные компоненты, каждый из которых связаны у нас есть это

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.}$

Это следует из того, что любая гладкая функция на M с нулевой производной всюду по отдельности постоянна на каждой из компонент связности M.

Когомологии де Рама вычислены

Часто можно найти общие когомологии де Рама многообразия, используя вышеупомянутый факт о нулевых когомологиях и Последовательность Майера – Виеториса. Еще один полезный факт: когомологии де Рама - это гомотопия инвариантный. Хотя вычисления не приводятся, ниже приведены вычисленные когомологии де Рама для некоторых общих топологический объекты:

В п-сфера

Для п-сфера, ${\displaystyle S^{n}}$, а также вместе с произведением открытых интервалов имеем следующее. Позволять п > 0, м ≥ 0, и я быть открытым реальным интервалом. потом

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}}$

В п-тор

В ${\displaystyle n}$-torus - декартово произведение: ${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$. Аналогично, позволяя ${\displaystyle n\geq 1}$ здесь получаем

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

Мы также можем найти явные образующие для когомологий де Рама тора непосредственно с помощью дифференциальных форм. Учитывая фактор-многообразие ${\displaystyle \pi :X\to X/G}$ и дифференциальная форма ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$ мы можем сказать что ${\displaystyle \omega }$ является ${\displaystyle G}$-инвариантный если задан диффеоморфизм, индуцированный ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \cdot g:X\to X}$ у нас есть ${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$. В частности, откат любой формы на ${\displaystyle X/G}$ является ${\displaystyle G}$-инвариантный. Кроме того, откат - это инъективный морфизм. В нашем случае ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ дифференциальные формы ${\displaystyle dx_{i}}$ находятся ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$-инвариантно, поскольку ${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$. Но обратите внимание, что ${\displaystyle x_{i}+\alpha }$ за ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ не инвариант ${\displaystyle 0}$-форма. Это с инъективностью означает, что

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Поскольку кольцо когомологий тора порождается ${\displaystyle H^{1}}$взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители когомологий де Рама тора.

Проколотое евклидово пространство

Проколотое евклидово пространство просто ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с удаленным источником.

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

Лента Мебиуса

Мы можем сделать вывод из того факта, что Лента Мебиуса, M, возможно деформация втянута к 1-сфера (то есть реальный единичный круг), что:

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственность между когомологиями де Рама и гомология из цепи. В нем говорится, что объединение дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования дает гомоморфизм из когомологий де Рама ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ к особые группы когомологий ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$ Теорема де Рама, доказано Жорж де Рам в 1931 г. утверждает, что для гладкого многообразия M, эта карта на самом деле изоморфизм.

Точнее, рассмотрим карту

${\displaystyle I:H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)\to H^{p}(M;\mathbb {R} ),}$

определяется следующим образом: для любого ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\mathrm {dR} }^{p}(M)}$, позволять я(ω) быть элементом ${\displaystyle {\text{Hom}}(H_{p}(M),\mathbb {R} )\simeq H^{p}(M;\mathbb {R} )}$ который действует следующим образом:

${\displaystyle H_{p}(M)\ni [c]\longmapsto \int _{c}\omega .}$

Теорема де Рама утверждает, что это изоморфизм между когомологиями де Рама и сингулярными когомологиями.

В внешний продукт наделяет прямая сумма этих групп с звенеть структура. Еще один результат теоремы состоит в том, что два кольца когомологий изоморфны (как градуированные кольца ), где аналогичным произведением на особых когомологиях является чашка продукта.

Теоретико-пучковый изоморфизм де Рама

Когомологии де Рама изоморфный к Когомологии Чеха ${\displaystyle H^{*}({\mathcal {U}},{\underline {\mathbb {R} }})}$, куда ${\displaystyle F}$ это пучок из абелевы группы определяется по ${\displaystyle F(U)=\mathbb {R} }$ для всех связанных открытых множеств ${\displaystyle U\subset M}$, а для открытых множеств ${\displaystyle U,V}$ такой, что ${\displaystyle U\subset V}$, групповой морфизм ${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}:{\underline {\mathbb {R} }}(V)\to {\underline {\mathbb {R} }}(U)}$ дается тождественным отображением на ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ и где ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ хороший открытая крышка из ${\displaystyle M}$ (т.е. все открытые наборы в открытой крышке ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ находятся сжимаемый в точку, и все конечные пересечения множеств в ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ либо пусты, либо стягиваются в точку). Другими словами ${\displaystyle F}$ это постоянная связка задается связкой постоянного предпучка, задавая ${\displaystyle F(U)=\mathbb {R} }$.

Другими словами, если ${\displaystyle M}$ компактный C^м+1 многообразие размеров ${\displaystyle m}$, то для каждого ${\displaystyle k\leq m}$, существует изоморфизм

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong {\check {H}}^{k}(M,{\underline {\mathbb {R} }})}$

где левая часть - это ${\displaystyle k}$-я группа когомологий де Рама, а правая часть - когомологии Чеха для постоянная связка с волокном ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Доказательство

Позволять ${\displaystyle \Omega ^{k}}$ обозначить пачка микробов из ${\displaystyle k}$-форма на ${\displaystyle M}$ (с ${\displaystyle \Omega ^{0}}$ пачка ${\displaystyle C^{m+1}}$ функции на ${\displaystyle M}$). Посредством Лемма Пуанкаре следующая последовательность пучков точна (в категория связок):

${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\,\xrightarrow {d} \,\Omega ^{1}\,\xrightarrow {d} \,\Omega ^{2}\,\xrightarrow {d} \dots \xrightarrow {d} \,\Omega ^{m}\to 0.}$

Эта последовательность теперь разбивается на короткие точные последовательности

${\displaystyle 0\to d\Omega ^{k-1}\,{\xrightarrow {\subset }}\,\Omega ^{k}\,{\xrightarrow {d}}\,d\Omega ^{k}\to 0.}$

Каждый из них вызывает длинная точная последовательность в когомологиях. Поскольку пачка ${\displaystyle C^{m+1}}$ функции на многообразии допускают разделы единства, когомологии пучков ${\displaystyle H^{i}(\Omega ^{k})}$ исчезает для ${\displaystyle i>0}$. Таким образом, сами длинные точные последовательности когомологий в конечном итоге разделяются на цепочку изоморфизмов. На одном конце цепи находятся когомологии Чеха, а на другом - когомологии де Рама.

Связанные идеи

Когомология де Рама вдохновила множество математических идей, в том числе Когомологии Дольбо, Теория Ходжа, а Теорема Атьи – Зингера об индексе. Однако даже в более классическом контексте эта теорема вдохновила на ряд разработок. Во-первых, Теория Ходжа доказывает, что существует изоморфизм между когомологиями, состоящими из гармонических форм, и когомологиями де Рама, состоящими из замкнутых форм по модулю точных форм. Это опирается на соответствующее определение гармонических форм и теорему Ходжа. Подробнее см. Теория Ходжа.

Гармонические формы

Смотрите также: Гармонический дифференциал

Если M это компактный Риманово многообразие, то каждый класс эквивалентности в ${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$ содержит ровно один гармоническая форма. То есть каждый член ${\displaystyle \omega }$ данного класса эквивалентности замкнутых форм можно записать как

${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$

куда ${\displaystyle \alpha }$ точно и ${\displaystyle \gamma }$ гармонично: ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$.

Любой гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является константой. Таким образом, этот конкретный репрезентативный элемент можно понимать как экстремум (минимум) всех когомологически эквивалентных форм на многообразии. Например, на 2-тор можно представить себе постоянную 1- сформировать как один, в котором все «волосы» аккуратно зачесаны в одном направлении (и все «волосы» имеют одинаковую длину). В этом случае имеется два когомологически различных гребенки; все остальные - линейные комбинации. В частности, это означает, что 1-й Бетти число из 2-тор - два. В общем, на ${\displaystyle n}$-мерный тор ${\displaystyle T^{n}}$можно рассмотреть различные расчесывания ${\displaystyle k}$-формы на торе. Есть ${\displaystyle n}$ выберите ${\displaystyle k}$ такие расчесывания, которые могут быть использованы для формирования базисных векторов для ${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$; то ${\displaystyle k}$-е число Бетти для группы когомологий де Рама для ${\displaystyle n}$-тор таким образом ${\displaystyle n}$ выберите ${\displaystyle k}$.

Точнее, для дифференциальный коллектор M, можно оборудовать его каким-нибудь вспомогательным Риманова метрика. Тогда Лапласиан ${\displaystyle \Delta }$ определяется

${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

с ${\displaystyle d}$ то внешняя производная и ${\displaystyle \delta }$ то кодифференциальный. Лапласиан является однородным (в оценка ) линейный дифференциальный оператор действуя на внешняя алгебра из дифференциальные формы: мы можем посмотреть на его действие на каждый компонент степени ${\displaystyle k}$ раздельно.

Если ${\displaystyle M}$ является компактный и ориентированный, то измерение из ядро лапласиана, действующего на пространстве k-формы тогда равно (по Теория Ходжа ) группе когомологий де Рама в степени ${\displaystyle k}$: лапласиан выделяет уникальное гармонический форма в каждом классе когомологий закрытые формы. В частности, пространство всех гармонических ${\displaystyle k}$-форма на ${\displaystyle M}$ изоморфен ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} ).}$ Размерность каждого такого пространства конечна и задается ${\displaystyle k}$-й Бетти число.

Разложение Ходжа

Позволять ${\displaystyle M}$ быть компактный ориентированный Риманово многообразие. В Разложение Ходжа заявляет, что любой ${\displaystyle k}$-форма на ${\displaystyle M}$ однозначно делится на сумму трех L² составные части:

${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$

куда ${\displaystyle \alpha }$ точно, ${\displaystyle \beta }$ совпадает, и ${\displaystyle \gamma }$ гармоничен.

Один говорит, что форма ${\displaystyle \beta }$ закрыто, если ${\displaystyle \delta \beta =0}$ и совпадают, если ${\displaystyle \beta =\delta \eta }$ для какой-то формы ${\displaystyle \eta }$, и это ${\displaystyle \gamma }$ гармоничен, если лапласиан равен нулю, ${\displaystyle \Delta \gamma =0}$. Это следует из того, что точные и совпадающие формы ортогональны; тогда ортогональное дополнение состоит из замкнутых и совместно замкнутых форм, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется относительно L² внутренний продукт на ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$:

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$

Используя Соболевские пространства или же распределения, разложение можно продолжить, например, до полного (ориентированного или нет) риманова многообразия.^[2]

Смотрите также

• Теория Ходжа
• Интеграция по волокнам (для когомологий де Рама продвигать дан кем-то интеграция )

Рекомендации

• Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90613-3
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-05059-9, МИСТЕР  1288523
• Уорнер, Фрэнк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90894-6

Специфический

1. Теренс, Тао. «Дифференциальные формы и интеграция» (PDF).
2. Жан-Пьер Демайли, Комплексная аналитическая и дифференциальная геометрия Глава VIII, § 3.

внешняя ссылка

• Идея когомологий де Рама в Mathifold Project
• "Когомологии де Рама", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]