Когомологии Дольбо - Dolbeault cohomology

В математика, в частности в алгебраическая геометрия и дифференциальная геометрия, Когомологии Дольбо (названный в честь Пьер Дольбо ) является аналогом когомологии де Рама за комплексные многообразия. Позволять M - комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$ зависят от пары целых чисел п и q и реализуются как субчастент пространства сложные дифференциальные формы степени (п,q).

Построение групп когомологий

Пусть Ω^п,q быть векторный набор сложных дифференциальных форм степени (п,q). В статье о сложные формы, оператор Дольбо определяется как дифференциальный оператор на гладких участках

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})}$

С

${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$

с этим оператором связаны некоторые когомология. В частности, определим когомологии как факторное пространство

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {\ker \left({\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)}{{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1})}}.}$

Когомологии Дольбо векторных расслоений

Если E это голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии Икс, то можно также определить штраф разрешающая способность связки ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ голоморфных сечений E, с использованием Оператор Dolbeault из E. Таким образом, это решение когомологии пучков из ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$.

Лемма Дольбо – Гротендика.

Чтобы установить изоморфизм Дольбо, нам нужно доказать лемму Дольбо – Гротендика (или ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-Лемма Пуанкаре). Сначала докажем одномерную версию ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-Лемма Пуанкаре; мы будем использовать следующую обобщенную форму Интегральное представление Коши для гладких функций:

Предложение: Позволять ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$ открытый шар с центром в ${\displaystyle 0}$ радиуса ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$ открыть и ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$, тогда

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

Лемма (${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-Лемма Пуанкаре на комплексной плоскости): Пусть ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$ быть как прежде и ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$ гладкая форма, то

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}$

удовлетворяет ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}g}$ на ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0).}$

Доказательство. Мы утверждаем, что ${\displaystyle g}$ определенная выше, является корректно определенной гладкой функцией, такой что ${\displaystyle f}$ находится на местном уровне ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-точный. Чтобы показать это, мы выбираем точку ${\displaystyle w\in B_{\varepsilon }(0)}$ и открытый район ${\displaystyle w\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$, то можно найти гладкую функцию ${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$ носитель которого компактен и лежит в ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$ и ${\displaystyle \rho |_{V}\equiv 1.}$ Тогда мы можем написать

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

и определить

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}.}$

С ${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$ в ${\displaystyle V}$ тогда ${\displaystyle g_{2}}$ четко очерченный и гладкий; мы отмечаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&=\pi ^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f_{1}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta dr,\end{aligned}}}$

что действительно хорошо определено и гладко, поэтому то же самое верно и для ${\displaystyle g}$. Теперь покажем, что ${\displaystyle {\bar {\partial }}g=\alpha }$ на ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$.

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

поскольку ${\displaystyle (\xi -z)^{-1}}$ голоморфен в ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)\setminus V}$ .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\frac {\partial f_{1}(z+re^{i\theta })}{\partial {\bar {z}}}}e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\Big (}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {z}}}}{\Big )}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}\end{aligned}}}$

применяя обобщенную формулу Коши к ${\displaystyle f_{1}}$ мы нашли

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}}$

поскольку ${\displaystyle f_{1}|_{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$, но потом ${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$ на ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$. QED

Доказательство леммы Дольбо – Гротендика.

Теперь мы готовы доказать лемму Дольбо – Гротендика; представленное здесь доказательство связано с Гротендик.^[1] Обозначим через ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ Открыто полидиск сосредоточен в ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ с радиусом ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$.

Лемма (Дольбо – Гротендик): Пусть ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q}(U)}$ куда ${\displaystyle {\overline {\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}}\subseteq U}$ открыть и ${\displaystyle q>0}$ такой, что ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$, то существует ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$ который удовлетворяет: ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ на ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).}$

Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что любое ${\displaystyle (p,q)}$-форму можно записать как

${\displaystyle \alpha =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar {z}}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{I}\right)_{J}\wedge d{\bar {z}}_{J}}$

для мультииндексов ${\displaystyle I,J,|I|=p,|J|=q}$, поэтому мы можем свести доказательство к случаю ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$.

Доказательство. Позволять ${\displaystyle k>0}$ наименьший индекс такой, что ${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$ в пучке ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$-модулей, проводим индукцию по ${\displaystyle k}$. За ${\displaystyle k=0}$ у нас есть ${\displaystyle \alpha \equiv 0}$ поскольку ${\displaystyle q>0}$; далее мы предполагаем, что если ${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$ тогда существует ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$ такой, что ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ на ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$. Тогда предположим ${\displaystyle \omega \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k+1})}$ и обратите внимание, что мы можем написать

${\displaystyle \omega =d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu ,\qquad \psi ,\mu \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}).}$

С ${\displaystyle \omega }$ является ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-закрыто следует, что ${\displaystyle \psi ,\mu }$ голоморфны по переменным ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$ и разгладить оставшиеся на полидиске ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$. Кроме того, мы можем применить ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-Лемма Пуанкаре о гладких функциях ${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$ на открытом шаре ${\displaystyle B_{\varepsilon _{k+1}}(0)}$, значит, существует семейство гладких функций ${\displaystyle g_{J}}$ которые удовлетворяют

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle g_{J}}$ также голоморфны в ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$. Определять

${\displaystyle {\tilde {\psi }}:=\sum _{J}g_{J}d{\bar {z}}_{J}}$

тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}d{\bar {z}}_{k+1}\wedge d{\bar {z}}_{J}+\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=\mu +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}),\end{aligned}}}$

поэтому мы можем применить к нему предположение индукции, существует ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$ такой, что

${\displaystyle \omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}={\bar {\partial }}\eta \quad {\text{on}}\quad \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

и ${\displaystyle \zeta :=\eta +{\tilde {\psi }}}$ завершает шаг индукции. QED

Предыдущую лемму можно обобщить, допуская полидиски с ${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\infty }$ для некоторых компонентов полирадиуса.

Лемма (расширенный Dolbeault-Grothendieck). Если ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ открытый полидиск с ${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \mathbb {R} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ и ${\displaystyle q>0}$, тогда ${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0))=0.}$

Доказательство. Мы рассматриваем два случая: ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$ и ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$.

Случай 1. Позволять ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$, и мы покрываем ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ с полидисками ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subset \Delta _{i+1}}$, то по лемме Дольбо – Гротендика можно найти формы ${\displaystyle \beta _{i}}$ бидегри ${\displaystyle (p,q-1)}$ на ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$ открыть так, чтобы ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{i}}={\bar {\partial }}\beta _{i}}$; мы хотим показать это

${\displaystyle \beta _{i+1}|_{\Delta _{i}}=\beta _{i}.}$

Продолжим индукцию по ${\displaystyle i}$: случай, когда ${\displaystyle i=1}$ выполняется по предыдущей лемме. Пусть утверждение верно для ${\displaystyle k>1}$ и возьми ${\displaystyle \Delta _{k+1}}$ с

${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta _{i}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Delta _{k}}}\subset \Delta _{k+1}.}$

Затем находим ${\displaystyle (p,q-1)}$-форма ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$ определены в открытой окрестности ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$ такой, что ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta _{k+1}}$. Позволять ${\displaystyle U_{k}}$ быть открытым соседством ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$ тогда ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ на ${\displaystyle U_{k}}$ и мы можем снова применить лемму Дольбо-Гротендика, чтобы найти ${\displaystyle (p,q-2)}$-форма ${\displaystyle \gamma _{k}}$ такой, что ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$ на ${\displaystyle \Delta _{k}}$. Теперь позвольте ${\displaystyle V_{k}}$ быть открытым набором с ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}\subset V_{k}\subsetneq U_{k}}$ и ${\displaystyle \rho _{k}:\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\to \mathbb {R} }$ гладкая функция такая, что:

${\displaystyle \operatorname {supp} (\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho |_{V_{k}}=1,\qquad \rho _{k}|_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\setminus U_{k}}=0.}$

потом ${\displaystyle \rho _{k}\gamma _{k}}$ является корректно определенной гладкой формой на ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ что удовлетворяет

${\displaystyle \beta _{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}}\quad \Delta _{k},}$

отсюда форма

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})}$

удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1}|_{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

Случай 2. Если вместо этого ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$ мы не можем применить лемму Дольбо-Гротендика дважды; мы принимаем ${\displaystyle \beta _{i}}$ и ${\displaystyle \Delta _{i}}$ как и раньше, мы хотим показать, что

${\displaystyle \left\|\left.\left({\beta _{i}}_{I}-{\beta _{i+1}}_{I}\right)\right|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-i}.}$

Снова проведем индукцию по ${\displaystyle i}$: за ${\displaystyle i=1}$ ответ дает лемма Дольбо-Гротендика. Далее мы предполагаем, что утверждение верно для ${\displaystyle k>1}$. Мы принимаем ${\displaystyle \Delta _{k+1}\supset {\overline {\Delta _{k}}}}$ такой, что ${\displaystyle \Delta _{k+1}\cup \lbrace \Delta _{i}\rbrace _{i=1}^{k}}$ охватывает ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$, то мы можем найти ${\displaystyle (p,0)}$-форма ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$ такой, что

${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta '_{k+1},}$

что также удовлетворяет ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ на ${\displaystyle \Delta _{k}}$, т.е. ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$ является голоморфным ${\displaystyle (p,0)}$-форма везде, где определено, следовательно, Теорема Стоуна – Вейерштрасса мы можем написать это как

${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{|I|=p}(P_{I}+r_{I})dz_{I}}$

куда ${\displaystyle P_{I}}$ являются многочленами и

${\displaystyle \left\|r_{I}|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-k},}$

но тогда форма

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{|I|=p}P_{I}dz_{I}}$

удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\\\left\|({\beta _{k}}_{I}-{\beta _{k+1}}_{I})|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }&=\|r_{I}\|_{\infty }<2^{-k}\end{aligned}}}$

что завершает шаг индукции; поэтому мы построили последовательность ${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$ который равномерно сходится к некоторому ${\displaystyle (p,0)}$-форма ${\displaystyle \beta }$ такой, что ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}={\bar {\partial }}\beta }$. QED

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо - сложный аналог^[2] из теорема де Рама. Он утверждает, что когомологии Дольбо изоморфны когомологии пучков из пучок голоморфных дифференциальных форм. Конкретно,

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

куда ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ является пучком голоморфных п формы на M.

Версия для логарифмические формы также был установлен.^[3]

Доказательство

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$ быть прекрасная связка из ${\displaystyle C^{\infty }}$ формы типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тогда ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$-Лемма Пуанкаре утверждает, что последовательность

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

точно. Как и любая длинная точная последовательность, эта последовательность разбивается на короткие точные последовательности. Соответствующие им длинные точные последовательности когомологий дают результат, если использовать, что высшие когомологии тонкого пучка исчезают.

Явный пример расчета

Когомологии Дольбо ${\displaystyle n}$-размерный сложное проективное пространство является

${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})={\begin{cases}\mathbb {C} &p=q\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Воспользуемся следующим известным фактом из Теория Ходжа:

${\displaystyle H_{\rm {dR}}^{k}\left(P_{\mathbb {C} }^{n},\mathbb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})}$

потому что ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ компактный Кэлерово комплексное многообразие. потом ${\displaystyle b_{2k+1}=0}$ и

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq q}h^{p,q}=1.}$

Кроме того, мы знаем, что ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ Кэлер, и ${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$ куда ${\displaystyle \omega }$ фундаментальная форма, связанная с Метрика Фубини – Этюд (который действительно является Келером), поэтому ${\displaystyle h^{k,k}=1}$ и ${\displaystyle h^{p,q}=0}$ в любое время ${\displaystyle p\neq q,}$ что дает результат.

Смотрите также

• Двойственность Серра

Сноски

1. Серр, Жан-Пьер (1953–1954), "Faisceaux analytiques sur l'espace projectif", Семинэр Анри Картан, 6 (Обсуждение № 18): 1–10
2. В отличие от когомологий де Рама, когомологии Дольбо больше не являются топологическим инвариантом, поскольку они тесно зависят от сложной структуры.
3. Наварро Аснар, Висенте (1987), "Sur la théorie de Hodge – Deligne", Inventiones Mathematicae, 90 (1): 11–76, Дои:10.1007 / bf01389031, Раздел 8

Рекомендации

• Дольбо, Пьер (1953). "Sur la cohomologie des varétés analytiques комплексы". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 236: 175–277.
• Уэллс, Раймонд О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях.. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90419-1.
• Ганнинг, Роберт С. (1990). Введение в голоморфные функции нескольких переменных, Том 1. Чепмен и Холл / CRC. п. 198. ISBN  9780534133085.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (2014). Принципы алгебраической геометрии. Джон Вили и сыновья. п. 832. ISBN  9781118626320.