Метрика Фубини – Этюд - Fubini–Study metric

В математика, то Метрика Фубини – Этюд это Кэлерова метрика на проективное гильбертово пространство, то есть на сложное проективное пространство CP^п наделен Эрмитова форма. Этот метрика был первоначально описан в 1904 и 1905 гг. Гвидо Фубини и Эдуард Этюд.^[1][2]

А Эрмитова форма в (векторное пространство) C^п+1 определяет унитарную подгруппу U (п+1) в GL (п+1,C). Метрика Фубини – Штуди определяется с точностью до гомотетии (общего масштабирования) инвариантностью относительно такого U (п+1) действие; таким образом однородный. Оборудован метрикой Фубини – Штуди, CP^п это симметричное пространство. Конкретная нормализация метрики зависит от приложения. В Риманова геометрия, используется нормализация, так что метрика Фубини – Штуди просто связана со стандартной метрикой на (2п+1) -сфера. В алгебраическая геометрия, используется нормализация, делающая CP^п а Многообразие Ходжа.

Строительство

Метрика Фубини – Штуди естественным образом возникает в факторное пространство строительство сложное проективное пространство.

В частности, можно определить CP^п быть пространством, состоящим из всех сложных линий в C^п+1, т.е. частное C^п+1 {0} отношение эквивалентности связывая вместе все сложные кратные каждой точки. Это согласуется с частным по диагонали групповое действие мультипликативной группы C^* = C \ {0}:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\,\right\}/\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

Этот коэффициент реализует C^п+1 {0} как комплекс линейный пакет над базовым пространством CP^п. (На самом деле это так называемый тавтологический пучок над CP^п.) Точка CP^п таким образом отождествляется с классом эквивалентности (п+1) -наборы [Z₀,...,Z_п] комплексное масштабирование по модулю ненулевого; в Z_я называются однородные координаты точки.

Более того, это частное можно реализовать в два этапа: поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр z = р е^iθ можно однозначно рассматривать как композицию растяжения по модулю р с последующим вращением против часовой стрелки вокруг начала координат на угол ${\displaystyle \theta }$, частное C^п+1 → CP^п разбивается на две части.

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}{\stackrel {(a)}{\longrightarrow }}S^{2n+1}{\stackrel {(b)}{\longrightarrow }}\mathbf {CP} ^{n}}$

где шаг (а) является частным по растяжению Z ~ рZ за р ∈ р⁺, мультипликативная группа положительные действительные числа, а шаг (b) является частным по поворотам Z ~ е^iθZ.

Результатом частного в (а) является реальная гиперсфера S^2п+1 определяется уравнением |Z|² = |Z₀|² + ... + |Z_п|² = 1. Фактор в (b) реализует CP^п = S^2п+1/S¹, куда S¹ представляет группу вращений. Это частное явно реализуется известным Расслоение Хопфа S¹ → S^2п+1 → CP^п, волокна которых относятся к большие круги из ${\displaystyle S^{2n+1}}$.

Как метрическое частное

Когда берется частное Риманово многообразие (или же метрическое пространство в общем), следует позаботиться о том, чтобы фактор-пространство наделено метрика это четко определено. Например, если группа грамм действует на римановом многообразии (Икс,грамм), то для того, чтобы орбитальное пространство Икс/грамм обладать индуцированной метрикой, ${\displaystyle g}$ должен быть постоянным грамм-орбит в том смысле, что для любого элемента час ∈ грамм и пара векторных полей ${\displaystyle X,Y}$ мы должны иметь грамм(Xh,Ага) = грамм(Икс,Y).

Стандарт Эрмитова метрика на C^п+1 дается в стандартном базисе

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\overline {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\overline {Z_{0}}}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\overline {Z_{n}}}}$

чья реализация является стандартом Евклидова метрика на р^2п+2. Эта метрика нет инвариантен относительно диагонального действия C^*, поэтому мы не можем напрямую подтолкнуть его к CP^п в частном. Однако эта метрика является инвариантен относительно диагонального действия S¹ = U (1), группа вращений. Следовательно, шаг (b) в приведенной выше конструкции возможен после выполнения шага (a).

В Метрика Фубини – Этюд метрика, индуцированная на факторе CP^п = S^2п+1/S¹, куда ${\displaystyle S^{2n+1}}$ несет так называемую «круглую метрику», наделенную ограничение стандартной евклидовой метрики в единичную гиперсферу.

В локальных аффинных координатах

Соответствует точке в CP^п с однородными координатами [Z₀:...:Z_п] существует уникальный набор п координаты (z₁,...,z_п) такие, что

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]{\sim }[1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

при условии Z₀ ≠ 0; конкретно, z_j = Z_j/Z₀. (z₁,...,z_п) для мужчин аффинная система координат за CP^п в координатном патче U₀ = {Z₀ ≠ 0}. Можно построить аффинную систему координат в любом из координатных участков. U_я = {Z_я ≠ 0} путем деления на Z_я очевидным образом. В п+1 координатные патчи U_я крышка CP^п, и можно явно задать метрику в терминах аффинных координат (z₁,...,z_п) на U_я. Производные координат определяют фрейм ${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$ голоморфного касательного расслоения CP^п, в терминах которого метрика Фубини – Штуди имеет эрмитовы компоненты

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}.}$

где |z|² = |z₁|²+...+|z_п|². Это Эрмитова матрица метрики Фубини – Штуди в этой системе отсчета

${\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$

Обратите внимание, что каждый элемент матрицы унитарно-инвариантен: диагональное действие ${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$ оставит эту матрицу без изменений.

Соответственно, линейный элемент имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {(1+|\mathbf {z} |^{2})|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}.\end{aligned}}}$

В этом последнем выражении соглашение о суммировании используется для суммирования по латинским индексам я,j которые варьируются от 1 доп.

Показатель может быть получен из следующих Кэлеровский потенциал:^[3]

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}$

в качестве

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\partial {\bar {z}}^{j}}}K}$

Использование однородных координат

Также возможно выражение в обозначениях однородные координаты, обычно используется для описания проективные многообразия из алгебраическая геометрия: Z = [Z₀:...:Z_п]. Формально, при условии соответствующей интерпретации задействованных выражений, можно

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha })^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\overline {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Здесь соглашение о суммировании используется для суммирования по греческим индексам α β в диапазоне от 0 до п, а в последнем равенстве используется стандартное обозначение косой части тензора:

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$

Теперь это выражение для ds² по-видимому, определяет тензор на общем пространстве тавтологического расслоения C^п+1 {0}. Его следует правильно понимать как тензор на CP^п протягивая его назад по голоморфному сечению σ тавтологического расслоения CP^п. Затем остается убедиться, что значение отката не зависит от выбора сечения: это можно сделать прямым расчетом.

В Кэлерова форма этой метрики

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}$

где ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ являются Операторы Dolbeault. Возврат этого явно не зависит от выбора голоморфного сечения. Журнал количества |Z|² это Кэлеровский потенциал (иногда называемый скаляром Келлера) CP^п.

В обозначениях скобочных координат

В квантовая механика, метрика Фубини – Штуди также известна как Метрика Буреса.^[4] Однако метрика Буреса обычно определяется в обозначениях смешанные состояния, а нижеследующее изложение написано в терминах чистое состояние. Действительная часть метрики (в четыре раза больше) Информационная метрика Fisher.^[4]

Метрику Фубини – Штуди можно записать с использованием обозначение бюстгальтера обычно используется в квантовая механика. Чтобы явно приравнять эти обозначения к однородным координатам, данным выше, пусть

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

куда ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$ это набор ортонормированный базисные векторы за Гильбертово пространство, то ${\displaystyle Z_{k}}$ комплексные числа, и ${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$ стандартное обозначение точки в проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ в однородные координаты. Тогда, учитывая два балла ${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$ и ${\displaystyle \vert \phi \rangle =W_{\alpha }}$ в пространстве расстояние (длина геодезической) между ними равно

${\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \phi \rangle \;\langle \phi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \phi \vert \phi \rangle }}}}$

или, что то же самое, в обозначениях проективного многообразия,

${\displaystyle \gamma (\psi ,\phi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\overline {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\overline {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\overline {W}}^{\beta }}}}.}$

Здесь, ${\displaystyle {\overline {Z}}^{\alpha }}$ это комплексно сопряженный из ${\displaystyle Z_{\alpha }}$. Появление ${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$ в знаменателе - напоминание о том, что ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ и аналогично ${\displaystyle \vert \phi \rangle }$ не были нормированы на единицу длины; таким образом, нормализация здесь сделана явной. В гильбертовом пространстве метрику можно довольно тривиально интерпретировать как угол между двумя векторами; поэтому его иногда называют квантовый угол. Угол действительный и изменяется от 0 до ${\displaystyle \pi /2}$.

Бесконечно малую форму этой метрики можно быстро получить, взяв ${\displaystyle \phi =\psi +\delta \psi }$, или эквивалентно, ${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$ чтобы получить

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

В контексте квантовая механика, CP¹ называется Сфера Блоха; метрика Фубини – Штуди является естественным метрика для геометризации квантовой механики. Многие особенности поведения квантовой механики, в том числе квантовая запутанность и Ягодная фаза эффект, можно объяснить особенностями метрики Фубини – Штуди.

В п = 1 случай

Когда п = 1, существует диффеоморфизм ${\displaystyle S^{2}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$ данный стереографическая проекция. Это приводит к «особому» расслоению Хопфа S¹ → S³ → S². Когда метрика Фубини – Штуди записана в координатах на CP¹, ее ограничение на вещественное касательное расслоение дает выражение обычной "круглой метрики" радиуса 1/2 (и Гауссова кривизна 4) on S².

А именно, если z = Икс + яу стандартная аффинная координатная диаграмма на Сфера Римана CP¹ и Икс = р cosθ, у = р sinθ - полярные координаты на C, то обычное вычисление показывает

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\overline {z}})}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {1}{4}}(d\phi ^{2}+\sin ^{2}\phi \,d\theta ^{2})={\frac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

куда ${\displaystyle ds_{us}^{2}}$ - круглая метрика на единичной двумерной сфере. Здесь φ, θ - математические сферические координаты " на S² исходящий из стереографической проекции р tan (φ / 2) = 1, tanθ =у/Икс. (Многие ссылки на физику меняют ролями φ и θ.)

В Кэлерова форма является

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

Выбирая как Vierbeins ${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$ и ${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$, форма Кэлера упрощается до

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

Применяя Ходжа звезда к кэлеровой форме, получаем

${\displaystyle *K=1}$

подразумевая, что K является гармонический.

В п = 2 случая

Метрика Фубини – Штуди на комплексная проективная плоскость CP² был предложен в качестве гравитационный инстантон, гравитационный аналог Немедленное включение.^[5][3] Метрика, форма соединения и кривизна легко вычисляются после того, как установлены подходящие реальные четырехмерные координаты. Письмо ${\displaystyle (x,y,z,t)}$ для вещественных декартовых координат затем определяют единичные формы полярных координат на 4-сфера (в кватернионная проективная линия ) в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

В ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ являются стандартным левоинвариантным одноформным координатным репером на группе Ли ${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$; то есть они подчиняются ${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$ за ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$ циклический.

Соответствующие локальные аффинные координаты равны ${\displaystyle z_{1}=x+iy}$ и ${\displaystyle z_{2}=z+it}$ затем предоставить

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})\\\left({\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}\right)^{2}&=r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)\end{aligned}}}$

с обычными сокращениями, которые ${\displaystyle dr^{2}=dr\otimes dr}$ и ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$.

Элемент строки, начинающийся с ранее заданного выражения, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{2}+r^{2}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}\left(dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}\right)}{(1+r^{2})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{2}+r^{2}\sigma _{3}^{2}}{(1+r^{2})^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

В Vierbeins можно сразу прочитать из последнего выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

То есть в системе координат Вирбейна с использованием нижних индексов латинскими буквами метрический тензор является евклидовым:

${\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

Учитывая vierbein, спин-соединение можно вычислить; спиновая связь Леви-Чивита - это уникальная связь, которая без кручения и ковариантно постоянна, а именно, это одноформная ${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$ удовлетворяющая условию без кручения

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

и ковариантно постоянна, что для спиновых связей означает, что она антисимметрична по индексам Вирбейна:

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

Вышесказанное легко решается; можно получить

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

В кривизна 2-форма определяется как

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

и постоянно:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

В Тензор Риччи в индексах Veirbein дается

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

где 2-форма кривизны была разложена как четырехкомпонентный тензор:

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\frac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

Результирующий Тензор Риччи постоянно

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

так что в результате Уравнение Эйнштейна

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\frac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

можно решить с помощью космологическая постоянная ${\displaystyle \Lambda =6}$.

В Тензор Вейля для метрики Фубини – Штуди в целом определяется выражением

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

Для п = 2, то две формы

${\displaystyle W_{ab}={\frac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

самодвойственны:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

Свойства кривизны

в п = 1 особый случай, метрика Фубини – Штуди имеет постоянную секционную кривизну, тождественно равную 4, в соответствии с эквивалентностью круглой метрики 2-сферы (которая задана радиусом р имеет секционную кривизну ${\displaystyle 1/R^{2}}$). Однако для п > 1, метрика Фубини – Штуди не имеет постоянной кривизны. Его поперечная кривизна вместо этого задается уравнением^[6]

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

куда ${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$ является ортонормированным базисом 2-плоскости σ, J : ТCP^п → ТCP^п это сложная структура на CP^п, и ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ - метрика Фубини – Штуди.

Следствием этой формулы является то, что секционная кривизна удовлетворяет ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$ для всех 2-х плоскостей ${\displaystyle \sigma }$. Максимальная секционная кривизна (4) достигается при голоморфный 2-х плоскостной - тот, для которого J(σ) ⊂ σ - а минимальная секционная кривизна (1) достигается на 2-плоскости, для которой J(σ) ортогонален σ. По этой причине часто говорят, что метрика Фубини – Штуди имеет «постоянную голоморфный секционная кривизна », равная 4.

Это делает CP^п а (нестрогий) четверть защемленный коллектор; знаменитая теорема показывает, что строго ущемленная на четверть односвязный п-многообразие должно быть гомеоморфно сфере.

Метрика Фубини – Штуди также является Метрика Эйнштейна в том, что он пропорционален собственному Тензор Риччи: существует постоянная ${\displaystyle \Lambda }$; такой, что для всех я,j у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

Это означает, среди прочего, что метрика Фубини – Штуди остается неизменной с точностью до скалярного кратного при Риччи поток. Это также делает CP^п незаменим в теории общая теория относительности, где он служит нетривиальным решением вакуумной Уравнения поля Эйнштейна.

В космологическая постоянная ${\displaystyle \Lambda }$ за CP^п дается в единицах измерения пространства:

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

Метрика продукта

Общие понятия отделимости применимы к метрике Фубини – Штуди. Точнее, метрика отделима на естественном произведении проективных пространств. Сегре встраивание. То есть, если ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ это отделимое состояние, так что его можно записать как ${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$, то метрика - это сумма метрики на подпространствах:

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

куда ${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$ и ${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$ метрики соответственно на подпространствах А и B.

Соединение и кривизна

Тот факт, что метрика может быть получена из потенциала Кэлера, означает, что Символы Кристоффеля а тензоры кривизны содержат множество симметрий, и им можно придать особенно простой вид:^[7] Символы Кристоффеля в местных аффинных координатах задаются выражением

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

Тензор Римана также особенно прост:

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

В Тензор Риччи является

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

Произношение

Распространенная ошибка произношения, которую делают носители английского языка, - это предположение, что Изучать произносится так же, как глагол учиться. Поскольку на самом деле это немецкое имя, правильный способ произношения ты в Изучать такой же, как ты в Фубини. Что касается фонетики: ʃtuːdi.

Смотрите также

• Нелинейная сигма-модель
• Теория Калуцы – Клейна
• Высота Аракелова

Рекомендации

1. Дж. Фубини, "Sulle metriche defined da una forme Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti , 63 стр. 502–513
2. Этюд, Э. (1905). "Kürzeste Wege im komplexen Gebiet". Mathematische Annalen (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 60 (3): 321–378. Дои:10.1007 / bf01457616. ISSN  0025-5831.
3. Егучи, Тору; Гилки, Питер Б.; Хэнсон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия». Отчеты по физике. Elsevier BV. 66 (6): 213–393. Дои:10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN  0370-1573.
4. Паоло Факки, Рави Кулкарни, В. И. Манько, Джузеппе Мармо, Э. К. Г. Сударшан, Франко Вентрилья "Классическая и квантовая информация Фишера в геометрической формулировке квантовой механики " (2010), Письма по физике A 374 С. 4801. Дои:10.1016 / j.physleta.2010.10.005
5. Егучи, Тору; Фройнд, Питер Г. О. (1976-11-08). «Квантовая гравитация и топология мира». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 37 (19): 1251–1254. Дои:10.1103 / Physrevlett.37.1251. ISSN  0031-9007.
6. Сакаи, Т. Риманова геометрия, Переводы математических монографий № 149 (1995), Американское математическое общество.
7. Эндрю Дж. Хэнсон, Ji-PingSha, "Визуализация поверхности K3 " (2006)

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii + 510, ISBN  978-3-540-15279-8
• Броуди, округ Колумбия; Хьюстон, Л.П. (2001), "Геометрическая квантовая механика", Журнал геометрии и физики, 38: 19–53, arXiv:Quant-ph / 9906086, Bibcode:2001JGP .... 38 ... 19Б, Дои:10.1016 / S0393-0440 (00) 00052-8
• Гриффитс, П.; Харрис, Дж. (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, стр. 30–31, ISBN  0-471-05059-8
• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Метрика Фубини – Этюд», Энциклопедия математики, EMS Press.

внешняя ссылка