Интегральная формула Коши - Cauchys integral formula

В математике Интегральная формула Коши, названный в честь Огюстен-Луи Коши, является центральным утверждением в комплексный анализ. Он выражает тот факт, что голоморфная функция определенная на диске, полностью определяется своими значениями на границе диска и дает интегральные формулы для всех производных голоморфной функции. Формула Коши показывает, что в комплексном анализе «дифференцирование эквивалентно интегрированию»: сложное дифференцирование, как и интегрирование, хорошо себя ведет при единые ограничения - результат, который не держится реальный анализ.

Теорема

Позволять $U$ быть открытое подмножество из комплексная плоскость $C$ , и пусть замкнутый диск $D$ определяется как

{ Displaystyle D = { bigl {} z: | z-z_ {0} | leq r { bigr }}}

полностью содержится в $U$ . Позволять $ж : U \to C$ - голоморфная функция, и пусть $γ$ быть круг, ориентированный против часовой стрелки, формируя граница из $D$ . Тогда для каждого $а$ в интерьер из $D$ ,

{ displaystyle f (a) = { frac {1} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {f (z)} {z-a}} , dz. ,}

Доказательство этого утверждения использует Интегральная теорема Коши и, как эта теорема, требуется только $ж$ быть комплексно дифференцируемый. С ${ Displaystyle 1 / (г-а)}$ может быть расширен как степенной ряд в переменной ${ displaystyle a}$ :

{ displaystyle { frac {1} {za}} = { frac {1 + { frac {a} {z}} + left ({ frac {a} {z}} right) ^ {2 } + cdots} {z}}}

- следует, что голоморфные функции аналитичны, т.е. они могут быть разложены в сходящиеся степенные ряды. Особенно $ж$ на самом деле бесконечно дифференцируем, с

{ displaystyle f ^ {(n)} (a) = { frac {n!} {2 pi i}} oint _ { gamma} { frac {f (z)} { left (za вправо) ^ {n + 1}}} , dz.}

Эту формулу иногда называют Формула дифференцирования Коши.

Сформулированная выше теорема может быть обобщена. Круг $γ$ можно заменить любым закрытым выпрямляемая кривая в $U$ у которого есть номер намотки один о $а$ . Более того, что касается интегральной теоремы Коши, достаточно потребовать, чтобы $ж$ быть голоморфным в открытой области, ограниченной траекторией, и непрерывным на ее закрытие.

Обратите внимание, что не каждую непрерывную функцию на границе можно использовать для создания функции внутри границы, которая соответствует данной граничной функции. Например, если мы положим функцию $ж (z) = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / z$ , определенная для $| z | = 1$ , в интегральную формулу Коши, мы получим ноль для всех точек внутри окружности. На самом деле, дать только действительную часть на границе голоморфной функции достаточно, чтобы определить функцию вплоть до мнимая константа - есть только одна мнимая часть на границе, которая соответствует заданной действительной части, с точностью до добавления константы. Мы можем использовать комбинацию Преобразование Мёбиуса и Формула обращения Стилтьеса построить голоморфную функцию по действительной части на границе. Например, функция $ж (z) = я - iz$ имеет реальную роль $Re ж (z) = Im z$ . На единичном круге это можно написать $я / z - iz / 2$ . Используя преобразование Мёбиуса и формулу Стилтьеса, построим функцию внутри круга. В $я / z$ член не вносит вклада, и мы находим функцию $- iz$ . Это имеет правильную действительную часть на границе, а также дает нам соответствующую мнимую часть, но не на константу, а именно $я$ .

Доказательство эскиза

Используя Интегральная теорема Коши, можно показать, что интеграл по $C$ (или замкнутая спрямляемая кривая) равна тому же интегралу, взятому по сколь угодно малому кругу вокруг $а$ . С $ж (z)$ непрерывна, мы можем выбрать достаточно маленький круг, на котором $ж (z)$ произвольно близок к $ж (а)$ . С другой стороны, интеграл

{ displaystyle oint _ {C} { frac {1} {z-a}} , dz = 2 pi i,}

по любому кругу $C$ сосредоточен на $а$ . Это можно вычислить напрямую с помощью параметризации (интеграция путем замены ) $z (т) = а + εe Это$ куда $0 \leq т \leq 2π$ и $ε$ это радиус круга.

Сдача $ε \to 0$ дает желаемую оценку

{ displaystyle { begin {align} left | { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac {f (z)} {za}} , dz-f ( а) right | & = left | { frac {1} {2 pi i}} oint _ {C} { frac {f (z) -f (a)} {za}} , dz right | [. 5em] & = left | { frac {1} {2 pi i}} int _ {0} ^ {2 pi} left ({ frac {f { bigl (} z (t) { bigr)} - f (a)} { varepsilon e ^ {it}}} cdot varepsilon e ^ {it} i right) , dt right | & leq { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {| f { bigl (} z (t) { bigr)} - f (a) |} { varepsilon}} , varepsilon , dt [. 5em] & leq max _ {| za | = varepsilon} | f (z) -f (a) | { xrightarrow [{ varepsilon to 0}] {}} 0. end {выравнивается}}}

Пример

Поверхность действительной части функции

грамм (z) = z 2 / z 2 + 2 z + 2

и его особенности, с контурами, описанными в тексте.

Позволять

{ displaystyle g (z) = { frac {z ^ {2}} {z ^ {2} + 2z + 2}},}

и разреши $C$ быть контуром, описываемым $| z | = 2$ (круг радиуса 2).

Чтобы найти интеграл $грамм (z)$ по контуру $C$ , нам нужно знать особенности $грамм (z)$ . Обратите внимание, что мы можем переписать $грамм$ следующее:

{ displaystyle g (z) = { frac {z ^ {2}} {(z-z_ {1}) (z-z_ {2})}}}

куда $z 1 = -1 + я$ и $z 2 = -1 - я$ .

Таким образом, $грамм$ имеет полюса на $z 1$ и $z 2$ . В модули из этих точек меньше двух и поэтому они лежат внутри контура. Этот интеграл можно разбить на два меньших интеграла: Теорема Коши – Гурса; то есть мы можем выразить интеграл вокруг контура как сумму интеграла вокруг контура $z 1$ и $z 2$ где контур представляет собой небольшой кружок вокруг каждого полюса. Назовите эти контуры $C 1$ вокруг $z 1$ и $C 2$ вокруг $z 2$ .

Теперь каждый из этих меньших интегралов может быть решен с помощью интегральной формулы Коши, но сначала их нужно переписать, чтобы применить теорему. Для интеграла вокруг $C 1$ , определять $ж 1$ в качестве $ж 1 (z) = (z - z 1) грамм (z)$ . Это аналитический (так как контур не содержит другой особенности). Мы можем упростить $ж 1$ быть:

{ displaystyle f_ {1} (z) = { frac {z ^ {2}} {z-z_ {2}}}}

и сейчас

{ displaystyle g (z) = { frac {f_ {1} (z)} {z-z_ {1}}}.}

Поскольку интегральная теорема Коши утверждает, что:

{ displaystyle oint _ {C} { frac {f_ {1} (z)} {z-a}} , dz = 2 pi i cdot f_ {1} (a),}

мы можем вычислить интеграл следующим образом:

{ Displaystyle oint _ {C_ {1}} g (z) , dz = oint _ {C_ {1}} { frac {f_ {1} (z)} {z-z_ {1}}} , dz = 2 pi i { frac {z_ {1} ^ {2}} {z_ {1} -z_ {2}}}.}

Аналогичным образом поступаем с другим контуром:

{ displaystyle f_ {2} (z) = { frac {z ^ {2}} {z-z_ {1}}},}

мы оцениваем

{ Displaystyle oint _ {C_ {2}} g (z) , dz = oint _ {C_ {2}} { frac {f_ {2} (z)} {z-z_ {2}}} , dz = 2 pi i { frac {z_ {2} ^ {2}} {z_ {2} -z_ {1}}}.}

Интеграл по исходному контуру $C$ тогда сумма этих двух интегралов:

{ displaystyle { begin {align} oint _ {C} g (z) , dz & {} = oint _ {C_ {1}} g (z) , dz + oint _ {C_ {2}} g (z) , dz [. 5em] & {} = 2 pi i left ({ frac {z_ {1} ^ {2}} {z_ {1} -z_ {2}}} + { frac {z_ {2} ^ {2}} {z_ {2} -z_ {1}}} right) [. 5em] & {} = 2 pi i (-2) [. 3em] & {} = - 4 pi i. End {align}}}

Элементарный трюк с использованием частичное разложение на фракции:

{ displaystyle oint _ {C} g (z) , dz = oint _ {C} left (1 - { frac {1} {z-z_ {1}}} - { frac {1}) {z-z_ {2}}} right) , dz = 0-2 pi i-2 pi i = -4 pi i}

Последствия

Интегральная формула имеет широкое применение. Во-первых, это означает, что функция, голоморфная в открытом множестве, на самом деле бесконечно дифференцируемый там. Кроме того, это аналитическая функция, что означает, что его можно представить как степенной ряд. Доказательство этого использует теорема о доминируемой сходимости и геометрическая серия применительно к

{ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} { frac {f (z)} {z- zeta}} , dz.}

Формула также используется для доказательства теорема о вычетах, что является результатом мероморфные функции, и связанный результат, принцип аргумента. Это известно из Теорема Мореры что равномерный предел голоморфных функций голоморфен. Это также можно вывести из интегральной формулы Коши: действительно, формула также верна в пределе, и подынтегральное выражение и, следовательно, интеграл могут быть разложены в степенной ряд. Кроме того, формулы Коши для производных высших порядков показывают, что все эти производные также сходятся равномерно.

Аналогом интегральной формулы Коши в реальном анализе является Интегральная формула Пуассона за гармонические функции; многие результаты для голоморфных функций переносятся на эту установку. Однако такие результаты не верны для более общих классов дифференцируемых или вещественных аналитических функций. Например, существование первой производной вещественной функции не обязательно подразумевает существование производных более высокого порядка, и в частности аналитичность функции. Точно так же единый предел последовательности (реальных) дифференцируемых функций может не быть дифференцируемым или может быть дифференцируемым, но с производной, которая не является пределом производных членов последовательности.

Другое следствие: если $ж (z) = \sum а п z п$ голоморфен в $| z | < р$ и $0 < р < р$ тогда коэффициенты $а п$ удовлетворить Неравенство Коши^[1]

{ displaystyle | a_ {n} | leq r ^ {- n} sup _ {| z | = r} | f (z) |.}

Из неравенства Коши легко вывести, что всякая ограниченная целая функция должна быть постоянной (т.е. Теорема Лиувилля ).

Обобщения

Гладкие функции

Вариантом интегральной формулы Коши является формула Коши–Помпейу формула^[2] и держится для гладкие функции также, поскольку он основан на Теорема Стокса. Позволять $D$ быть диском в $C$ и предположим, что $ж$ комплекснозначный $C 1$ функция на закрытие из $D$ . потом^[3] (Хёрмандер 1966, Теорема 1.2.1)

{ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} {2 pi i}} int _ { partial D} { frac {f (z) , dz} {z- zeta}} - { frac {1} { pi}} iint _ {D} { frac { partial f} { partial { bar {z}}}} (z) { frac {dx wedge dy} { z- zeta}}.}

Эту формулу представления можно использовать для решения неоднородной Уравнения Коши – Римана в $D$ . Действительно, если $φ$ функция в $D$ , то частное решение $ж$ уравнения является голоморфной функцией вне носителя $μ$ . Более того, если в открытом множестве D,

{ displaystyle d mu = { frac {1} {2 pi i}} varphi , dz wedge d { bar {z}}}

для некоторых $φ \in C k (D)$ (куда $k \geq 1$ ), тогда $ж (ζ, ζ)$ также в $C k (D)$ и удовлетворяет уравнению

{ displaystyle { frac { partial f} { partial { bar {z}}}} = varphi (z, { bar {z}}).}

Первый вывод заключается в том, что свертка $μ * k (z)$ меры с компактным носителем с Ядро Коши

{ Displaystyle к (z) = OperatorName {p.v.} { frac {1} {z}}}

является голоморфной функцией вне носителя $μ$ . Здесь $p.v.$ обозначает основная стоимость. Второй вывод утверждает, что ядро Коши является фундаментальное решение уравнений Коши – Римана. Отметим, что для гладких комплекснозначных функций $ж$ компактной опоры на $C$ обобщенная интегральная формула Коши упрощается до

{ displaystyle f ( zeta) = { frac {1} {2 pi i}} iint { frac { partial f} { partial { bar {z}}}} { frac {dz клин d { bar {z}}} {z- zeta}},}

и является подтверждением того факта, что, рассматриваемый как распределение, $(π z) -1$ это фундаментальное решение из Оператор Коши – Римана $\partial / \partial z̄$ .^[4] Обобщенная интегральная формула Коши может быть выведена для любой ограниченной открытой области $Икс$ с $C 1$ граница $\partial Икс$ из этого результата и формулы для производная по распределению из характеристическая функция $χ Икс$ из $Икс$ :

{ displaystyle { frac { partial chi _ {X}} { partial { bar {z}}}} = { frac {i} {2}} oint _ { partial X} , dz ,}

где распределение в правой части обозначает контурная интеграция вдоль $\partial Икс$ .^[5]

Несколько переменных

В несколько сложных переменных, интегральная формула Коши обобщается на полидиски (Хёрмандер 1966, Теорема 2.2.1). Позволять $D$ быть полидиском, заданным как Декартово произведение из $п$ открытые диски $D 1, ..., D п$ :

{ displaystyle D = prod _ {i = 1} ^ {n} D_ {i}.}

Предположим, что $ж$ является голоморфной функцией в $D$ непрерывно при закрытии $D$ . потом

{ Displaystyle е ( дзета) = { гидроразрыва {1} { left (2 pi i right) ^ {n}}} int cdots iint _ { partial D_ {1} times cdots times partial D_ {n}} { frac {f (z_ {1}, ldots, z_ {n})} {(z_ {1} - zeta _ {1}) cdots (z_ {n} - zeta _ {n})}} , dz_ {1} cdots dz_ {n}}

куда $ζ = (ζ 1,..., ζ п) \in D$ .

В реальных алгебрах

Интегральная формула Коши может быть обобщена на вещественные векторные пространства двух или более измерений. Понимание этого свойства исходит от геометрическая алгебра, где объекты за пределами скаляров и векторов (например, плоские бивекторы и объемные тривекторы ), и собственное обобщение Теорема Стокса.

Геометрическое исчисление определяет производный оператор $\nabla = ê я \partial я$ под своим геометрическим произведением, то есть для $k$ -векторное поле $ψ (р \to)$ , производная $\nabla ψ$ обычно содержит условия оценки $k + 1$ и $k - 1$ . Например, векторное поле ( $k = 1$ ) обычно имеет в своей производной скалярную часть, расхождение ( $k = 0$ ), а бивекторная часть - завиток ( $k = 2$ ). Этот конкретный производный оператор имеет Функция Грина:

{ displaystyle G left ({ vec {r}}, { vec {r}} ' right) = { frac {1} {S_ {n}}} { frac {{ vec {r} } - { vec {r}} '} { left | { vec {r}} - { vec {r}}' right | ^ {n}}}}

куда $S п$ площадь поверхности единицы $п$ -мяч в пространстве (то есть $S 2 = 2π$ , длина окружности радиуса 1 и $S 3 = 4π$ , площадь поверхности шара радиусом 1). По определению функции Грина

{ displaystyle nabla G left ({ vec {r}}, { vec {r}} ' right) = delta left ({ vec {r}} - { vec {r}}' верно).}

Именно это полезное свойство можно использовать вместе с обобщенной теоремой Стокса:

{ Displaystyle oint _ { partial V} d { vec {S}} ; f ({ vec {r}}) = int _ {V} d { vec {V}} ; nabla f ({ vec {r}})}

где для $п$ -мерное векторное пространство, $d S \to$ является $(п - 1)$ -вектор и $d V \to$ является $п$ -вектор. Функция $ж (р \to)$ в принципе может состоять из любой комбинации мультивекторов. Доказательство интегральной теоремы Коши для многомерных пространств опирается на использование обобщенной теоремы Стокса о величине $грамм (р \to, р \to') ж (р \to')$ и использование правила продукта:

{ displaystyle oint _ { partial V '} G left ({ vec {r}}, { vec {r}}' right) ; d { vec {S}} '; f left ({ vec {r}} ' right) = int _ {V} left ( left [ nabla' G left ({ vec {r}}, { vec {r}} ' right) right] f left ({ vec {r}} ' right) + G left ({ vec {r}}, { vec {r}}' right) nabla 'f left ({ vec {r}} ' right) right) ; d { vec {V}}}

Когда $\nabla ж \to = 0$ , $ж (р \to)$ называется моногенная функция, обобщение голоморфных функций на многомерные пространства - действительно, можно показать, что условие Коши – Римана является просто двумерным выражением условия моногенности. При выполнении этого условия второй член в правом интеграле обращается в нуль, оставляя только

{ displaystyle oint _ { partial V '} G left ({ vec {r}}, { vec {r}}' right) ; d { vec {S}} '; f left ({ vec {r}} ' right) = int _ {V} left [ nabla' G left ({ vec {r}}, { vec {r}} ' right) right] f left ({ vec {r}} ' right) = - int _ {V} delta left ({ vec {r}} - { vec {r}}' right) f left ({ vec {r}} ' right) ; d { vec {V}} = - i_ {n} f ({ vec {r}})}

куда $я п$ это единица алгебры $п$ -вектор, псевдоскалярный. Результат

{ displaystyle f ({ vec {r}}) = - { frac {1} {i_ {n}}} oint _ { partial V} G left ({ vec {r}}, { vec {r}} ' right) ; d { vec {S}} ; f left ({ vec {r}}' right) = - { frac {1} {i_ {n}} } oint _ { partial V} { frac {{ vec {r}} - { vec {r}} '} {S_ {n} left | { vec {r}} - { vec { r}} ' right | ^ {n}}} ; d { vec {S}} ; f left ({ vec {r}}' right) ,}

Таким образом, как и в случае двумерного (комплексного анализа), значение аналитической (моногенной) функции в точке может быть найдено с помощью интеграла по поверхности, окружающей точку, и это верно не только для скалярных функций, но и для векторных а также общие многовекторные функции.

Смотрите также

Уравнения Коши – Римана
Способы контурной интеграции
Теорема Нахбина
Теорема Мореры
Теорема Миттаг-Леффлера
Функция Грина обобщает эту идею на нелинейную установку
Интегральная формула Шварца
Формула Парсеваля – Гутцмера
Формула Бохнера – Мартинелли

Примечания

^ Титчмарш 1939, п. 84
^ Помпею, Д. (1905). "Sur la Continuité des fonctions de variable complex" (PDF). Анналы факультета наук Тулузы. 2 (7.3): 265–315.
^ http://people.math.carleton.ca/~ckfong/S32.pdf
^ Хёрмандер 1983, стр.63, 81
^ Хёрмандер 1983, стр. 62–63

внешняя ссылка

[1] Титчмарш 1939, п. 84

[2] Помпею, Д. (1905). "Sur la Continuité des fonctions de variable complex" (PDF). Анналы факультета наук Тулузы. 2 (7.3): 265–315.

[3] ttp://people.math.carleton.ca/~ckfong/S32.pdf

[4] Хёрмандер 1983, стр.63, 81

[5] Хёрмандер 1983, стр. 62–63

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]