Теорема Миттаг-Леффлерса - Mittag-Lefflers theorem
В комплексный анализ, Теорема Миттаг-Леффлера касается существования мероморфные функции с предписанным полюса. И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции как суммы частичные фракции. Это сестра Теорема факторизации Вейерштрасса, который утверждает существование голоморфные функции с предписанным нули. Он назван в честь Гёста Миттаг-Леффлер.
Теорема
Позволять быть открытый набор в и а закрыто дискретный подмножество. Для каждого в , позволять быть полиномом от . Есть мероморфная функция на так что для каждого , функция имеет только устранимая особенность в . В частности, основная часть из в является .
Один из возможных вариантов доказательства следующий. Если конечно, достаточно взять . Если не конечно, рассмотрим конечную сумму куда конечное подмножество . В то время как не может сходиться как F подходы E, можно вычесть хорошо подобранные рациональные функции с полюсами вне D (предоставлено Теорема Рунге ) без изменения основных частей и таким образом, чтобы гарантировать сходимость.
Пример
Предположим, что нам нужна мероморфная функция с простыми полюсами остаток 1 при всех натуральных числах. С обозначениями, как указано выше, позволяя
и , Теорема Миттаг-Леффлера утверждает (неконструктивно) существование мероморфной функции с основной частью в для каждого положительного целого числа . Этот обладает желаемыми свойствами. Более конструктивно мы можем позволить
- .
Эта серия сходится нормально на (как можно показать с помощью М-тест ) в мероморфную функцию с желаемыми свойствами.
Полюсные разложения мероморфных функций
Вот несколько примеров полюсных разложений мероморфных функций:
Смотрите также
Рекомендации
внешняя ссылка