Остаток (комплексный анализ) - Residue (complex analysis)

В математика, более конкретно комплексный анализ, то остаток это комплексное число пропорционально контурный интеграл из мероморфная функция по тропинке, охватывающей одну из особенности. (В более общем смысле остатки можно вычислить для любой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}_{k}\rightarrow \mathbb {C} }$ то есть голоморфный кроме дискретных точек {а_k}_k, даже если некоторые из них существенные особенности.) Остатки могут быть вычислены довольно легко и, когда они известны, позволяют определять общие контурные интегралы с помощью теорема о вычетах.

Определение

Остаток мероморфная функция ${\displaystyle f}$ загар изолированная особенность ${\displaystyle a}$, часто обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)}$ или же ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)}$, - уникальное значение ${\displaystyle R}$ такой, что ${\displaystyle f(z)-R/(z-a)}$ имеет аналитический первообразный в проколотый диск ${\displaystyle 0<\vert z-a\vert <\delta }$.

В качестве альтернативы остатки можно рассчитать, найдя Серия Laurent разложения, а остаток можно определить как коэффициент а₋₁ из серии Laurent.

Определение вычета можно обобщить на произвольные Римановы поверхности. Предполагать ${\displaystyle \omega }$ это 1-форма на римановой поверхности. Позволять ${\displaystyle \omega }$ быть мероморфным в какой-то момент ${\displaystyle x}$, чтобы мы могли написать ${\displaystyle \omega }$ в местных координатах как ${\displaystyle f(z)\;dz}$. Тогда остаток ${\displaystyle \omega }$ в ${\displaystyle x}$ определяется как остаток ${\displaystyle f(z)}$ в точке, соответствующей ${\displaystyle x}$.

Примеры

Остаток монома

Вычисление остатка одночлен

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}\,dz}$

упрощает выполнение большинства вычислений остатков. Поскольку вычисления интегралов по путям гомотопия инвариантен, пусть ${\displaystyle C}$ быть окружностью с радиусом ${\displaystyle 1}$. Затем, используя замену координат ${\displaystyle z\to e^{i\theta }}$ мы находим, что

${\displaystyle dz\to d(e^{i\theta })=ie^{i\theta }\,d\theta }$

следовательно, наш интеграл теперь читается как

${\displaystyle \oint _{C}z^{k}dz=\int _{0}^{2\pi }ie^{i(k+1)\theta }\,d\theta ={\begin{cases}2\pi i&{\text{if }}k=-1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Применение мономиального вычета

В качестве примера рассмотрим контурный интеграл

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

куда C есть некоторые простая замкнутая кривая около 0.

Оценим этот интеграл, используя стандартный результат сходимости об интегрировании по рядам. Мы можем заменить Серия Тейлор за ${\displaystyle e^{z}}$ в подынтегральное выражение. Тогда интеграл принимает вид

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

Приведем 1 /z⁵ фактор в серию. Тогда контурный интеграл ряда записывает

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

Поскольку ряд сходится равномерно на опоре пути интегрирования, нам разрешено обмениваться интегрированием и суммированием. Затем ряд интегралов по траекториям схлопывается до гораздо более простой формы из-за предыдущего вычисления. Итак, теперь интеграл вокруг C любого другого термина не в форме cz⁻¹ равен нулю, а интеграл сводится к

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

Стоимость 1/4! это остаток из е^z/z⁵ в z = 0 и обозначается

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

Расчет остатков

Предположим, что проколотый диск D = {z : 0 < |z − c| < р} в комплексной плоскости и ж это голоморфная функция определено (по крайней мере) на D. Остаток Res (ж, c) из ж в c это коэффициент а₋₁ из (z − c)⁻¹ в Серия Laurent расширение ж вокруг c. Существуют различные методы для вычисления этого значения, и выбор того, какой метод использовать, зависит от рассматриваемой функции и от природы особенности.

Согласно теорема о вычетах, у нас есть:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}$

куда γ очерчивает круг вокруг c против часовой стрелки. Мы можем выбрать путь γ быть кругом радиуса ε вокруг c, куда ε настолько мал, насколько мы желаем. Это можно использовать для вычисления в тех случаях, когда интеграл можно вычислить напрямую, но обычно вычеты используются для упрощения вычисления интегралов, а не наоборот.

Устранимые особенности

Если функция ж возможно продолжение к голоморфная функция на весь диск ${\displaystyle |y-c|<R}$, то Res (ж, c) = 0. Обратное, как правило, неверно.

Простые столбы

На простой полюс c, остаток ж дан кем-то:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Возможно, функция ж может быть выражено как отношение двух функций, ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$, куда грамм и час находятся голоморфные функции в район из c, с час(c) = 0 ичас'(c) ≠ 0. В таком случае Правило L'Hôpital можно использовать для упрощения приведенной выше формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}$

Формула предела для полюсов более высокого порядка

В более общем смысле, если c это столб порядка п, то остаток ж вокруг z = c можно найти по формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).}$

Эта формула может быть очень полезной при определении остатков для полюсов низкого порядка. Для полюсов более высокого порядка вычисления могут стать неуправляемыми, и расширение ряда обычно упрощается. За существенные особенности, такой простой формулы не существует, и вычеты обычно следует брать непосредственно из разложений в ряд.

Остаток на бесконечности

В целом остаток на бесконечности дан кем-то:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\operatorname {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}$

Если соблюдается следующее условие:

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}$

затем остаток на бесконечности можно вычислить по следующей формуле:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z).}$

Если вместо этого

${\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}$

затем остаток на бесконечности является

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z).}$

Серийные методы

Если часть или всю функцию можно развернуть в Серия Тейлор или же Серия Laurent, что может быть возможным, если части или вся функция имеют стандартное разложение в ряд, тогда вычисление остатка значительно проще, чем другими методами.

1. В качестве первого примера рассмотрим вычисление вычетов в особенностях функции

   ${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$

   которые можно использовать для вычисления некоторых контурных интегралов. Эта функция, по-видимому, имеет особенность при z = 0, но если разложить знаменатель на множители и, таким образом, записать функцию как

   ${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$

   очевидно, что особенность при z = 0 является устранимая особенность а затем остаток при z = 0, следовательно, 0.

   Единственная другая особенность - z = 1. Напомним выражение для ряда Тейлора для функции грамм(z) о z = а:

   ${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots }$

   Таким образом, для грамм(z) = грехz и а = 1 имеем

   ${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .}$

   и для грамм(z) = 1/z и а = 1 имеем

   ${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$

   Умножая эти две серии и вводя 1 / (z - 1) дает нам

   ${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$

   Итак, остаток ж(z) в z = 1 - это грех 1.
2. Следующий пример показывает, что при вычислении остатка разложением в ряд основную роль играет Теорема обращения Лагранжа. Позволять

   ${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$

   быть вся функция, и разреши

   ${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$

   с положительным радиусом сходимости, а с ${\displaystyle \textstyle v_{1}\neq 0}$. Так ${\displaystyle \textstyle v(z)}$ имеет местный обратный ${\displaystyle \textstyle V(z)}$ при 0 и ${\displaystyle \textstyle u(1/V(z))}$ является мероморфный при 0. Тогда мы имеем:

   ${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$

   В самом деле,

   ${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$

   потому что первый ряд сходится равномерно на любом маленьком круге вокруг 0. Используя теорему об обращении Лагранжа

   ${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$

   и мы получаем вышеуказанное выражение. Например, если ${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$ а также ${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$, тогда

   ${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$

   и

   ${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$

   Первый член дает 1 вклад в вычет, а второй член дает 2, поскольку он асимптотичен ${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$Заметим, что при соответствующих более сильных симметричных предположениях на ${\displaystyle \textstyle u(z)}$ и ${\displaystyle \textstyle v(z)}$, это также следует

   ${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$

   куда ${\displaystyle \textstyle U(z)}$ является локальной инверсией ${\displaystyle \textstyle u(z)}$ при 0.

Смотрите также

• В теорема о вычетах связывает контурный интеграл вокруг некоторых полюсов функции с суммой их остатков
• Интегральная формула Коши
• Интегральная теорема Коши
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Способы контурной интеграции
• Теорема Мореры
• Неполные фракции в комплексном анализе

Рекомендации

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ. Макгроу Хилл.
• Марсден, Джеррольд Э .; Хоффман, Майкл Дж. (1998). Базовый комплексный анализ (3-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-2877-1.

внешняя ссылка

• «Остаток аналитической функции», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Комплексный остаток». MathWorld.