Существенная особенность - Essential singularity

О существенных особенностях вещественнозначных функций см. Классификация несплошностей.

График функции exp (1 /z) с центром в существенной особенности в точке z= 0. Оттенок представляет сложный аргумент, яркость представляет абсолютная величина. Этот график показывает, как приближение к существенной сингулярности с разных направлений приводит к разному поведению (в отличие от полюса, который при приближении с любого направления был бы равномерно белым).

Модель, иллюстрирующая существенную особенность комплексной функции 6w = exp (1 / (6z))

В комплексный анализ, существенная особенность функции является "серьезным" необычность вблизи которого функция демонстрирует странное поведение.

Категория существенная особенность представляет собой "оставшуюся" или группу по умолчанию изолированных сингулярностей, которые особенно неуправляемы: по определению они не вписываются ни в одну из двух других категорий сингулярностей, с которыми можно иметь дело каким-либо образом - устранимые особенности и полюса.

Формальное описание

Рассмотрим открытое подмножество ${\displaystyle U}$ из комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Позволять ${\displaystyle a}$ быть элементом ${\displaystyle U}$, и ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ а голоморфная функция. Смысл ${\displaystyle a}$ называется существенная особенность функции ${\displaystyle f}$ если сингулярность не является столб ни устранимая особенность.

Например, функция ${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$имеет существенную особенность при ${\displaystyle z=0}$.

Альтернативные описания

Позволять а - комплексное число, предположим, что ж(z) не определена в а но это аналитический в каком-то регионе U комплексной плоскости, и что каждый открыто район из а имеет непустое пересечение с U.

Если оба

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ и ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ существовать, тогда а это устранимая особенность обоих ж и 1 /ж.

Если

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ существует, но ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ не существует, то а это нуль из ж и столб из 1 /ж.

Аналогично, если

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ не существует, но ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ существует, тогда а полюс ж и ноль 1 /ж.

Если ни то, ни другое

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ни ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ существует, тогда а является существенной особенностью обоих ж и 1 /ж.

Другой способ охарактеризовать существенную особенность состоит в том, что Серия Laurent из ж в момент а имеет бесконечно много отрицательных степеней (т. е. основная часть ряда Лорана представляет собой бесконечную сумму). Связанное определение состоит в том, что если есть точка ${\displaystyle a}$ для которого нет производной ${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$ сходится к пределу как ${\displaystyle z}$ как правило ${\displaystyle a}$, тогда ${\displaystyle a}$ существенная особенность ${\displaystyle f(z)}$.^[1]

Поведение голоморфные функции вблизи их существенных особенностей описывается Теорема Казорати – Вейерштрасса и значительно сильнее Великая теорема Пикарда. Последний говорит, что в каждой окрестности существенной особенности а, функция ж взять на себя каждый комплексное значение, кроме, возможно, одного, бесконечно много раз. (Исключение необходимо, так как функция exp (1 /z) никогда не принимает значение 0.)

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Существенная сингулярность». MathWorld, Вольфрам. Получено 11 февраля 2014.

• Ларс В. Альфорс; Комплексный анализ, Макгроу-Хилл, 1979 г.
• Раджендра Кумар Джайн, С. Р. К. Айенгар; Высшая инженерная математика. Стр. 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN  1-84265-185-4

внешняя ссылка

• Существенная сингулярность к Стивен Вольфрам, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Существенная сингулярность в планетной математике