Интегральная теорема Кошиса - Cauchys integral theorem

Не путать с Интегральная формула Коши или же Формула Коши для повторного интегрирования.

В математика, то Интегральная теорема Коши (также известный как Теорема Коши – Гурса) в комплексный анализ, названный в честь Огюстен-Луи Коши (и Эдуард Гурса ), является важным утверждением о линейные интегралы за голоморфные функции в комплексная плоскость. По сути, он говорит, что если два разных пути соединяют одни и те же две точки, и функция голоморфный везде между двумя путями, то два интеграла по путям функции будут одинаковыми.

Заявление

Формулировка на просто связанных областях

Позволять ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ быть односвязный открыто установить, и пусть ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ быть голоморфная функция. Позволять ${\displaystyle \!\,\gamma :[a,b]\to U}$ - гладкая замкнутая кривая. Потом:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

(Условие, что ${\displaystyle U}$ быть односвязный Значит это ${\displaystyle U}$ не имеет "дыр" или, другими словами, что фундаментальная группа из ${\displaystyle U}$ тривиально.)

Общая формулировка

Позволять ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ быть открытый набор, и разреши ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ быть голоморфная функция. Позволять ${\displaystyle \!\,\gamma :[a,b]\to U}$ - гладкая замкнутая кривая. Если ${\displaystyle \!\,\gamma }$является гомотопный к постоянной кривой, то:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

(Напомним, что кривая гомотопный к постоянной кривой, если существует гладкая гомотопия от кривой к постоянной кривой. Интуитивно это означает, что можно сжать кривую в точку, не покидая пространства.) Первая версия является частным случаем этого, потому что на односвязный установлена, каждая замкнутая кривая гомотопный к постоянной кривой.

Основной пример

В обоих случаях важно помнить, что кривая ${\displaystyle \gamma }$ не окружайте никаких «дыр» в области, иначе теорема не применима. Известный пример - следующая кривая:

${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$,

который очерчивает единичный круг. Здесь следующий интеграл

${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0}$,

отличен от нуля. Интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку ${\displaystyle f(z)=1/z}$ не определен в ${\displaystyle z=0}$. Интуитивно ${\displaystyle \gamma }$ окружает «дыру» в области ${\displaystyle f}$, так ${\displaystyle \gamma }$ нельзя уменьшить до точки, не покидая пространства. Таким образом, теорема неприменима.

Обсуждение

В качестве Эдуард Гурса Как показал, интегральная теорема Коши может быть доказана только при условии, что комплексная производная ж′(z) существует везде в U. Это важно, потому что тогда можно доказать Интегральная формула Коши для этих функций, и из этого вывести эти функции бесконечно дифференцируемый.

Условие, что U быть односвязный Значит это U не имеет "дыр" или, в гомотопия условия, что фундаментальная группа из U тривиально; например, каждый открытый диск ${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:|z-z_{0}|<r\}}$, за ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$, квалифицируется. Состояние критическое; учитывать

${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$

который очерчивает единичную окружность, а затем интеграл по путям

${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$

не равно нулю; интегральная теорема Коши здесь неприменима, поскольку ${\displaystyle f(z)=1/z}$ не определен (и, конечно, не голоморфен) в ${\displaystyle z=0}$.

Одним из важных следствий теоремы является то, что интегралы по путям голоморфных функций на односвязных областях могут быть вычислены способом, известным из основная теорема исчисления: позволять U быть односвязный открытое подмножество из C, позволять ж : U → C - голоморфная функция, и пусть γ - кусочно непрерывно дифференцируемый путь в U с начальной точкой а и конечная точка б. Если F это сложный первообразный из ж, тогда

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$

Интегральная теорема Коши верна при более слабой гипотезе, чем приведенная выше, например данный U, односвязное открытое подмножество C, мы можем ослабить предположения до ж быть голоморфным на U и продолжаю ${\displaystyle \textstyle {\overline {U}}}$ и ${\displaystyle \gamma }$ исправляемая простая петля в ${\displaystyle \textstyle {\overline {U}}}$.^[1]

Интегральная теорема Коши приводит к Интегральная формула Коши и теорема о вычетах.

Доказательство

Если предположить, что частные производные голоморфной функции непрерывны, интегральная теорема Коши может быть доказана как прямое следствие Теорема Грина и тот факт, что реальная и мнимая части ${\displaystyle f=u+iv}$ должен удовлетворить Уравнения Коши – Римана в области, ограниченной ${\displaystyle \gamma }$, и тем более в открытом районе U этого региона. Коши предоставил это доказательство, но позже оно было доказано Гурса, не требуя техники векторного исчисления или непрерывности частных производных.

Мы можем разбить подынтегральное выражение ${\displaystyle f}$, а также дифференциал ${\displaystyle dz}$ на их реальную и мнимую составляющие:

${\displaystyle \displaystyle f=u+iv}$

${\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy}$

В этом случае мы имеем

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$

К Теорема Грина, тогда мы можем заменить интегралы вокруг замкнутого контура ${\displaystyle \gamma }$ с интегралом площадей во всей области ${\displaystyle D}$ что заключено в ${\displaystyle \gamma }$ следующее:

${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

Но поскольку действительная и мнимая части функции, голоморфной в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ должен удовлетворить Уравнения Коши – Римана там:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}}$

Таким образом, мы находим, что оба интегранта (и, следовательно, их интегралы) равны нулю.

${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$

Это дает желаемый результат

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

Смотрите также

• Теорема Мореры
• Способы контурной интеграции

Рекомендации

1. Уолш, Дж. Л. (1933-05-01). "Теорема Коши-Гурса для спрямляемых жордановых кривых". Труды Национальной академии наук. 19 (5): 540–541. Дои:10.1073 / пнас.19.5.540. ISSN  0027-8424. ЧВК  1086062. PMID  16587781.

• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ, Cambridge Stud. Adv. Матем., 107, ЧАШКА, ISBN  978-0-521-80937-5
• Альфорс, Ларс (2000), Комплексный анализ, Серия Макгроу-Хилла по математике, Макгроу-Хилл, ISBN  0-07-000657-1
• Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ, Springer Verlag GTM, Springer Verlag
• Рудин, Вальтер (2000), Реальный и комплексный анализ, Серия Макгроу-Хилла по математике, Макгроу-Хилл

внешняя ссылка

• «Интегральная теорема Коши», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Интегральная теорема Коши". MathWorld.