Замыкание (топология) - Closure (topology)

В математика, то закрытие подмножества S точек в топологическое пространство состоит из всех точки в S вместе со всеми предельные точки из S. Закрытие S можно эквивалентно определить как союз из S и это граница, а также как пересечение из всех закрытые наборы содержащий S. Интуитивно, замыкание можно рассматривать как все точки, которые находятся либо в S или "рядом" S. Точка в закрытии S это точка закрытия из S. Идея закрытия во многом двойной к понятию интерьер.

Определения

Точка закрытия

Для S подмножество Евклидово пространство, Икс это точка закрытия S если каждый открытый мяч сосредоточен на Икс содержит точку S (этот момент может быть Икс сам).

Это определение обобщается на любое подмножество S из метрическое пространство Икс. Полностью выражен, для Икс метрическое пространство с метрикой d, Икс это точка закрытия S если для каждого р > 0 существует у в S такое, что расстояние d(Икс, у) < р. (Опять же, у нас может быть Икс = у.) Другой способ выразить это - сказать, что Икс это точка закрытия S если расстояние d(Икс, S) := инф {d(Икс, s) : s в S} = 0.

Это определение обобщается на топологические пространства заменив "открытый мяч" или "мяч" на "окрестности ". Позволять S быть подмножеством топологического пространства Икс. потом Икс это точка закрытия (или точка привязки) из S если каждый район Икс содержит точку S.^[1] Обратите внимание, что это определение не зависит от того, должны ли окрестности быть открытыми.

Предельная точка

Определение точки закрытия тесно связано с определением точки закрытия. предельная точка. Разница между этими двумя определениями тонкая, но важная, а именно: в определении предельной точки каждая окрестность точки $Икс$ рассматриваемый должен содержать точку множества Кроме как $Икс$ сам. Множество всех предельных точек множества $S$ называется производный набор из $S$ .

Таким образом, каждая предельная точка является точкой закрытия, но не каждая точка закрытия является предельной точкой. Точка закрытия, которая не является предельной точкой, является изолированная точка. Другими словами, точка $Икс$ изолированная точка $S$ если это элемент $S$ и если есть окрестности $Икс$ который не содержит других точек $S$ Кроме как $Икс$ сам.^[2]

Для данного набора $S$ и указать $Икс$ , $Икс$ это точка закрытия $S$ если и только если $Икс$ является элементом $S$ или $Икс$ предельная точка $S$ (или оба).

Закрытие набора

В закрытие подмножества $S$ топологического пространства $(Икс, τ)$ , обозначаемый $cl (S)$ , $Cl (S)$ , $S$ , или $S$ , можно определить с помощью любого из следующих эквивалентных определений:

$cl (S)$ это набор всех точки закрытия из $S$ .
$cl (S)$ это набор $S$ вместе с все его предельные точки.^[3]
$cl (S)$ это пересечение всех закрытые наборы содержащий $S$ .
$cl (S)$ - наименьшее замкнутое множество, содержащее $S$ .
$cl (S)$ это союз $S$ и это граница $\partial(S)$ .
$cl (S)$ это набор всех $Икс \in Икс$ для которого существует сеть (оценивается) в $S$ что сходится к $Икс$ в $(Икс, τ)$ .

Замыкание множества обладает следующими свойствами.^[4]

$cl (S)$ это закрыто надмножество $S$
Набор $S$ закрыто если и только если $S = cl (S)$ .
Если $S$ это подмножество $Т$ , тогда $cl (S)$ это подмножество $cl (Т)$ .
Если $А$ замкнутое множество, то $А$ содержит $S$ если и только если $А$ содержит $cl (S)$ .

Иногда второе или третье свойство выше берется за определение топологического замыкания, которые все еще имеют смысл при применении к другим типам замыканий (см. ниже).^[5]

В место с первым счетом (например, метрическое пространство ), $cl (S)$ это набор всех пределы всех сходящихся последовательности очков в $S$ . Для общего топологического пространства это утверждение остается верным, если заменить «последовательность» на «сеть " или "фильтр ".

Обратите внимание, что эти свойства также выполняются, если "закрытие", "надмножество", "пересечение", "содержит / содержащий", "наименьший" и "закрытый" заменяются на "внутренний", "подмножество", "объединение", "содержащий в "," наибольший "и" открытый ". Подробнее об этом см. оператор закрытия ниже.

Примеры

Рассмотрим сферу в 3-х измерениях. Неявно есть две области интересов, созданные этой сферой; сам шар и его внутренность (который называется открытым 3-шаром). Полезно уметь различать внутреннюю часть 3-шара и поверхность, поэтому мы различаем открытый 3-шар и закрытый 3-шар - закрытие 3-шара. Закрытие открытого 3-шара - это открытый 3-шар плюс поверхность.

В топологическое пространство:

В любом пространстве, ${ displaystyle varnothing = mathrm {cl} ( varnothing)}$ .
В любом пространстве Икс, Икс = cl (Икс).

Давать р и C то стандартная (метрическая) топология:

Если Икс евклидово пространство р из действительные числа, то cl ((0, 1)) = [0, 1].
Если Икс евклидово пространство р, то замыкание множества Q из рациональное число это все пространство р. Мы говорим что Q является плотный в р.
Если Икс это комплексная плоскость C = р², то cl ({z в C : |z| > 1}) = {z в C : |z| ≥ 1}.
Если S это конечный подмножество евклидова пространства, то cl (S) = S. (Для общего топологического пространства это свойство эквивалентно Т₁ аксиома.)

На множество действительных чисел можно поставить другую топологию, а не стандартную.

Если Икс = р, где р имеет топология нижнего предела, то cl ((0, 1)) = [0, 1).
Если учесть р то дискретная топология в котором каждое множество замкнуто (открыто), то cl ((0, 1)) = (0, 1).
Если учесть р то тривиальная топология в котором единственными закрытыми (открытыми) множествами являются пустое множество и р само, то cl ((0, 1)) = р.

Эти примеры показывают, что закрытие набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

В любой дискретное пространство, поскольку каждое множество закрыто (а также открыто), каждое множество равно своему закрытию.
В любой недискретное пространство Икс, поскольку единственные замкнутые множества - это пустое множество и Икс Само по себе, мы имеем, что закрытие пустого набора является пустым набором, и для каждого непустого подмножества А из Икс, cl (А) = Икс. Другими словами, каждое непустое подмножество недискретного пространства есть плотный.

Закрытие набора также зависит от того, в каком пространстве мы выполняем закрытие. Например, если Икс - множество рациональных чисел, с обычным относительная топология индуцированный евклидовым пространством р, и если S = {q в Q : q² > 2, q > 0}, то S закрыт в Q, и закрытие S в Q является S; однако закрытие S в евклидовом пространстве р это набор всех действительные числа лучше чем или равно ${ displaystyle { sqrt {2}}.}$

Оператор закрытия

А оператор закрытия на съемочной площадке Икс это отображение из набор мощности из Икс, ${ Displaystyle { mathcal {P}} (X)}$ , в себя, что удовлетворяет Аксиомы замыкания Куратовского.

Учитывая топологическое пространство ${ displaystyle (X, { mathcal {T}})}$ отображение ⁻ : S → S⁻ для всех S ⊆ Икс является закрывающим оператором на Икс. Наоборот, если c является оператором замыкания на множестве Икстопологическое пространство получается путем определения множеств S с участием c(S) = S так как закрытые наборы (так что их дополнениями являются открытые наборы топологии).^[6]

Оператор закрытия ⁻ является двойной к интерьер оператор ^о, в том смысле, что

S⁻ = Икс \ (Икс \ S)^о

а также

S^о = Икс \ (Икс \ S)⁻

где Икс обозначает базовый набор топологического пространства, содержащего S, а обратная косая черта относится к теоретико-множественная разница.

Таким образом, абстрактную теорию операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского можно легко перевести на язык внутренних операторов, заменив множества на их дополняет.

В общем случае оператор замыкания не коммутирует с пересечениями. Однако в полное метрическое пространство имеет место следующий результат:

Теорема^[7] (К. Урсеску) — Позволять $Икс$ быть полное метрическое пространство и разреши $S 1, S 2, ...$ последовательность подмножеств $Икс$ .

Если каждый $S я$ закрыт в $Икс$ тогда ${ displaystyle operatorname {cl} left ( cup _ {i in mathbb {N}} operatorname {int} S_ {i} right) = operatorname {cl} operatorname {int} left ( чашка _ {я in mathbb {N}} S_ {i} right)}$ .
Если каждый $S я$ открыт в $Икс$ тогда ${ displaystyle operatorname {int} left ( cap _ {i in mathbb {N}} operatorname {cl} S_ {i} right) = operatorname {int} operatorname {cl} left ( cap _ {i in mathbb {N}} S_ {i} right)}$ .

Факты о закрытии

Множество ${ displaystyle S}$ является закрыто если и только если ${ Displaystyle Cl (S) = S}$ . Особенно:

Закрытие пустой набор - пустое множество;
Закрытие ${ displaystyle X}$ сам по себе ${ displaystyle X}$ .
Закрытие пересечение наборов всегда подмножество (но не обязательно равным) пересечению замыканий множеств.
В союз из конечно много наборов, замыкание объединения и объединение замыканий равны; объединение нулевых множеств является пустым множеством, и поэтому это утверждение содержит более раннее утверждение о закрытии пустого множества как особый случай.
Замыкание объединения бесконечно многих множеств не обязательно равно объединению замыканий, но всегда суперсет союза закрытий.

Если ${ displaystyle A}$ это подпространство из ${ displaystyle X}$ содержащий ${ displaystyle S}$ , то закрытие ${ displaystyle S}$ вычислено в ${ displaystyle A}$ равно пересечению ${ displaystyle A}$ и закрытие ${ displaystyle S}$ вычислено в ${ displaystyle X}$ : ${ Displaystyle Cl_ {A} (S) = A cap Cl_ {X} (S)}$ . Особенно, ${ displaystyle S}$ плотно в ${ displaystyle A}$ если и только если ${ displaystyle A}$ это подмножество ${ Displaystyle Cl_ {X} (S)}$ .

Категориальная интерпретация

Можно элегантно определить оператор замыкания в терминах универсальных стрелок следующим образом.

В powerset набора Икс может быть реализован как частичный заказ категория п в котором объекты являются подмножествами, а морфизмы - включениями ${ displaystyle от A до B}$ всякий раз, когда А это подмножество B. Кроме того, топология Т на Икс является подкатегорией п с функтором включения ${ displaystyle I: T to P}$ . Множество замкнутых подмножеств, содержащих фиксированное подмножество ${ Displaystyle A substeq X}$ можно идентифицировать с помощью категории запятой ${ displaystyle (A downarrow I)}$ . Эта категория - также частичный порядок - тогда имеет начальный объект Cl (А). Таким образом, существует универсальная стрелка из А к я, заданный включением ${ Displaystyle от А до Cl (А)}$ .

Аналогично, поскольку каждое замкнутое множество, содержащее Икс \ А соответствует открытому набору, содержащемуся в А мы можем интерпретировать категорию ${ displaystyle (I downarrow X setminus A)}$ как множество открытых подмножеств, содержащихся в А, с конечным объектом ${ displaystyle { text {int}} (А)}$ , то интерьер из А.

Все свойства замыкания могут быть получены из этого определения и некоторых свойств вышеуказанных категорий. Более того, это определение уточняет аналогию между топологическим замыканием и другими типами замыканий (например, алгебраический ), поскольку все они являются примерами универсальных стрелок.

Смотрите также

Точка прикрепления - Точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
Замыкательная алгебра
Производное множество (математика)
Интерьер (топология)
Предельная точка - Точка Икс в топологическом пространстве, все окрестности которого содержат точку в данном подмножестве, отличную от Икс.

Заметки

^ Шуберт 1968, п. 20
^ Куратовский 1966, п. 75
^ Hocking & Young 1988, п. 4
^ Крум 1989, п. 104
^ Джеминьяни 1990, п. 55, Первин 1965, п. 40 и Бейкер 1991, п. 38 используют второе свойство в качестве определения.
^ Первин 1965, п. 41 год
^ Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

использованная литература

Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию, Вт. К. Браун Издательство, ISBN 0-697-05972-3
Крум, Фред Х. (1989), Принципы топологии, Издательство Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
Джеминьяни, Майкл С. (1990) [1967], Элементарная топология (2-е изд.), Дувр, ISBN 0-486-66522-4
Хокинг, Джон Дж .; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология, Дувр, ISBN 0-486-65676-4
Куратовский, К. (1966), Топология, я, Academic Press
Первин, Уильям Дж. (1965), Основы общей топологии, Academic Press
Шуберт, Хорст (1968), Топология, Аллин и Бэкон

внешние ссылки

«Закрытие набора», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Шуберт 1968, п. 20

[2] Куратовский 1966, п. 75

[3] Hocking & Young 1988, п. 4

[4] Крум 1989, п. 104

[5] Джеминьяни 1990, п. 55, Первин 1965, п. 40 и Бейкер 1991, п. 38 используют второе свойство в качестве определения.

[6] Первин 1965, п. 41 год

[Zalinescu_2002_p._33-7] Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]