Фильтр (математика) - Filter (mathematics)

Решетка powerset набора {1,2,3,4} с верхний набор ↑ {1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это фильтр, и даже главный фильтр. Это не ультрафильтр, так как его можно расширить до более крупного нетривиального фильтра ↑ {1}, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑ {1} не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.

В математика, а фильтр это особенный подмножество из частично заказанный набор. Фильтры появляются в порядок и теория решетки, но также можно найти в топология, откуда они происходят. В двойной понятие фильтра - это заказать идеальный.

Фильтры были введены Анри Картан в 1937 г.^[1]^[2] и впоследствии использовался Бурбаки в их книге Topologie Générale в качестве альтернативы аналогичному понятию сеть разработан в 1922 г. Э. Х. Мур и Х. Л. Смит.

Мотивация

Интуитивно понятно, что фильтр в частично упорядоченном наборе (посеть), п, является подмножеством п который включает в качестве членов те элементы, которые достаточно велики, чтобы удовлетворить некоторый заданный критерий. Например, если Икс является элементом poset, то набор элементов, находящихся выше Икс это фильтр, называемый главный фильтр в Икс. (Если Икс и у являются несравнимыми элементами чугуна, то ни один из главных фильтров в Икс и у содержится в другом, и наоборот.)

Точно так же фильтр на множестве содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы содержать некоторые заданные вещь. Например, если набор - это реальная линия и Икс является одной из его точек, то семейство множеств, включающее Икс в их интерьер это фильтр, называемый фильтр кварталов из Икс. В вещь в этом случае немного больше, чем Икс, но он по-прежнему не содержит какой-либо другой конкретной точки линии.

Приведенные выше интерпретации объясняют условия 1 и 3 в разделе Общее определение: Очевидно пустой набор не является «достаточно большим», и очевидно, что набор «достаточно больших» вещей должен быть «закрыт вверх». Однако на самом деле они не объясняют без уточнения условие 2 общего определения. Ибо почему две "достаточно большие" вещи должны содержать общий "достаточно большая" вещь?

В качестве альтернативы фильтр можно рассматривать как «схему расположения»: при попытке найти что-либо (точку или подмножество) в пространствеИкс, назовем фильтр набором подмножеств Икс которые могут содержать «то, что ищется». Тогда этот «фильтр» должен иметь следующую естественную структуру:

Схема локации не должна быть пустой, чтобы вообще могла быть полезна.
Если два подмножества, E и F, оба могут содержать «то, что ищется», а также их пересечение. Таким образом, фильтр должен быть замкнутым относительно конечного пересечения.
Если набор E может содержать «то, что ищется», как и все его надмножества. Таким образом, фильтр закрывается вверх.

An ультрафильтр можно рассматривать как "идеальную схему локации", где каждый подмножество E пространства Икс может использоваться при решении, может ли "то, что вы ищете", лежать вE.

Из этой интерпретации компактность (см. математическую характеристику ниже) можно рассматривать как свойство, согласно которому «никакая схема размещения не может закончиться ничем», или, другими словами, «всегда что-то будет найдено».

Математическое понятие фильтр предоставляет точный язык для строгого и общего подхода к этим ситуациям, что полезно при анализе, общая топология и логика.

Общее определение: фильтр по частично упорядоченному набору

Подмножество $F$ частично упорядоченного набора $(п, \leq)$ это фильтр если выполняются следующие условия:

$F$ является непустой.
$F$ является вниз направленный: Для каждого $Икс, у \in F$ , существует некоторое $z \in F$ такой, что $z \leq Икс$ и $z \leq у$ .
$F$ является верхний набор или же закрытый вверх: Для каждого $Икс \in F$ и $у \in п$ , $Икс \leq у$ подразумевает, что $у \in F$ .

Фильтр правильный если он не равен всему набору $п$ Это условие иногда добавляют к определению фильтра.

Хотя приведенное выше определение является наиболее общим способом определения фильтра для произвольных позы, изначально он был определен для решетки Только. В этом случае приведенное выше определение можно охарактеризовать следующим эквивалентным утверждением: Подмножество $F$ решетки $(п, \leq)$ это фильтр, если и только если это непустое верхнее множество, замкнутое при конечных инфима (или же встречает ), т.е. для всех $Икс, у \in F$ , также верно, что $Икс \land у$ в F.^[3]^:184Подмножество $S$ из $F$ это основа фильтра если верхний набор, порожденный $S$ все из $F$ . Обратите внимание, что каждый фильтр - это собственная основа.

Наименьший фильтр, содержащий данный элемент $п \in п$ это главный фильтр и $п$ это главный элемент в этой ситуации. главный фильтр для $п$ просто дается набором ${displaystyle {xin P | pleq x}}$ и обозначается префиксом $п$ со стрелкой вверх: ${displaystyle uparrow p}$ .

В двойное понятие фильтра, то есть концепция, полученная обращением всех $\leq$ и меняя ∧ на, идеальныйИз-за этой двойственности обсуждение фильтров обычно сводится к обсуждению идеалов. Следовательно, большая часть дополнительной информации по этой теме (включая определение максимальные фильтры и первичные фильтры) можно найти в статье о идеалы.Есть отдельная статья о ультрафильтры.

Фильтр по набору

Определение фильтра

Есть два конкурирующих определения «фильтра на множестве», оба из которых требуют, чтобы фильтр был двойной идеал.^[4] Одно определение определяет «фильтр» как синоним «двойного идеала», в то время как другое определяет «фильтр» как двойственный идеал, который также является правильный.

Предупреждение: Читателям рекомендуется всегда проверять, как определяется «фильтр» при чтении математической литературы.

Определение: А двойной идеал^[4] на съемочной площадке $S$ непустое подмножество $F$ из $п (S)$ со следующими свойствами:
$F$ является замкнуто относительно конечных пересечений: Если $А, B \in F$ , значит, и их пересечение.
Из этого свойства следует, что если $\emptyset \notin F$ тогда $F$ имеет свойство конечного пересечения.
$F$ является вверх закрыт/изотон:^[5] Если $А \in F$ и $А \subseteq B$ , тогда $B \in F$ , для всех подмножеств $B$ из $S$ . .
Это свойство влечет за собой то, что $S \in F$ (поскольку F непустое подмножество $п (S)$ ).

Учитывая набор $S$ , канонический частичный порядок $\subseteq$ можно определить на powerset $п (S)$ включением подмножества, поворотом $(п (S), \subseteq)$ в решетку. «Двойственный идеал» - это просто фильтр по отношению к этому частичному порядку. Обратите внимание, что если $S = \emptyset$ то есть ровно один дуальный идеал на $S$ , который $п (S) = {\emptyset}$ .

Определение фильтра 1: Двойной идеал

В статье используется следующее определение понятия «фильтр по множеству».

Определение: А фильтр на съемочной площадке $S$ двойной идеал на $S$ . Эквивалентно фильтр на $S$ является просто фильтром относительно канонического частичного порядка $(п (S), \subseteq)$ описано выше.

Определение фильтра 2: правильный дуальный идеал

Другое определение «фильтр на множестве» - это исходное определение «фильтра», данное Анри Картан, который требовал, чтобы фильтр на множестве был дуальным идеалом, нет содержать пустой набор:

Исходное / альтернативное определение: А фильтр^[4] на съемочной площадке $S$ двойной идеал на $S$ со следующим дополнительным свойством:
$F$ является правильный^[6]/невырожденный:^[7] Пустого набора нет в $F$ (т.е. $\emptyset \notin F$ ).

Примечание: Эта статья делает нет требуют, чтобы фильтр был правильным.

Единственный неправильный фильтр на $S$ является $п (S)$ . Много математической литературы, особенно связанной с Топология, определяет "фильтр" как невырожденный двойной идеал.

Базы фильтров, суббазы и сравнение

Базы фильтров и суббазы

Подмножество $B$ из $п (S)$ называется предварительный фильтр, основание фильтра, или же основа фильтра если $B$ непусто и пересечение любых двух членов $B$ является надмножеством некоторых членов (ов) $B$ . Если пустой набор не является членом $B$ , мы говорим $B$ это правильная основа фильтра.

Учитывая базу фильтров $B$ , фильтр, созданный или охватываемый $B$ определяется как минимальный фильтр, содержащий $B$ . Это семейство всех этих подмножеств $S$ которые являются надмножествами некоторых членов (ов) $B$ . Каждый фильтр также является основой фильтра, поэтому процесс перехода от базы фильтра к фильтру можно рассматривать как своего рода завершение.

Для каждого подмножества $Т$ из $п (S)$ есть самый маленький (возможно, неправильный) фильтр $F$ содержащий $Т$ , называется фильтром, созданным или охватываемым $Т$ Как и в случае с фильтром, охватываемым основание фильтра, фильтр, охватываемый подмножество $Т$ минимальный фильтр, содержащий $Т$ Он строится путем взятия всех конечных пересечений $Т$ , которые затем образуют базу фильтров для $F$ . Этот фильтр является правильным тогда и только тогда, когда каждое конечное пересечение элементов $Т$ непусто, и в этом случае мы говорим, что $Т$ это подбаза фильтра.

Более тонкие / эквивалентные основы фильтров

Если $B$ и $C$ две базы фильтров на $S$ один говорит $C$ является тоньше чем $B$ (или это $C$ это уточнение из $B$ ) если для каждого $B 0 \in B$ , Существует $C 0 \in C$ такой, что $C 0 \subseteq B 0$ . Если также $B$ лучше, чем $C$ , говорят, что они эквивалентные базы фильтров.

Если $B$ и $C$ - базы фильтров, тогда $C$ лучше, чем $B$ тогда и только тогда, когда фильтр охватывает $C$ содержит фильтр, охватываемый $B$ . Следовательно, $B$ и $C$ являются эквивалентными базами фильтров тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр.
Для баз фильтров $А$ , $B$ , и $C$ , если $А$ лучше, чем $B$ и $B$ лучше, чем $C$ тогда $А$ лучше, чем $C$ . Таким образом, уточняющее отношение есть Предварительный заказ на наборе баз фильтра, и переход от базы фильтра к фильтру является примером перехода от предварительного заказа к соответствующему частичному порядку.

Примеры

Позволять $S$ быть набором и $C$ быть непустым подмножеством $S$ . потом ${C}$ это основа фильтра. Фильтр, который он генерирует (т.е. совокупность всех подмножеств, содержащих $C$ ) называется главный фильтр создано $C$ .
Фильтр называется бесплатный фильтр если пересечение всех его членов пусто. Правильный основной фильтр не бесплатен. Поскольку пересечение любого конечного числа элементов фильтра также является членом, ни один надлежащий фильтр на конечном множестве не является свободным и действительно является основным фильтром, порожденным общим пересечением всех его элементов. Неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно бесплатный.
В Фильтр Фреше на бесконечном множестве $S$ - это множество всех подмножеств $S$ которые имеют конечное дополнение. Фильтр на $S$ является бесплатным тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше.
Каждый единообразная структура на съемочной площадке $Икс$ это фильтр на $Икс \times Икс$ .
Фильтр в посеть можно создать с помощью Лемма Расиова – Сикорского., часто используется в принуждение.
Набор ${displaystyle {{N, N + 1, N + 2, dots}: Nin {1,2,3, dots}}}$ называется фильтрующая база хвостов последовательности натуральных чисел ${displaystyle (1,2,3, точки)}$ . Фильтровальная основа хвостов может быть изготовлена из любых сеть ${displaystyle (x_ {alpha}) _ {alpha in A}}$ используя конструкцию ${displaystyle {{x_ {alpha}: alpha в A, alpha _ {0} leq alpha}: alpha _ {0} in A}}$ , где фильтр, который генерирует эта база фильтров, называется сетью Фильтр случайностей. Следовательно, все сети создают основу фильтра (и, следовательно, фильтр). Поскольку все последовательности являются сетями, это верно и для последовательностей.

Фильтры в теории моделей

Для каждого фильтра F на съемочной площадке S, функция множества, определяемая

{displaystyle m (A) = {egin {case} 1 & {ext {if}} Ain F 0 & {ext {if}} Ssetminus Ain F {ext {undefined}} & {ext {else}} end {cases} }}

конечно аддитивно - а "мера "если этот термин толкуется довольно свободно. Следовательно, утверждение

{displaystyle left {, xin S: varphi (x), ight} в F}

можно считать в некотором роде аналогом утверждения, что φ выполняется «почти всюду». Такая интерпретация принадлежности к фильтру используется (для мотивации, хотя для реальных доказательства) в теории сверхпродукты в теория моделей, филиал математическая логика.

Фильтры в топологии

В топология и анализа, фильтры используются для определения сходимости аналогично роли последовательности в метрическое пространство.

В топологии и смежных областях математики фильтр - это обобщение сеть. И сети, и фильтры предоставляют очень общий контекст для объединения различных понятий предел произвольно топологические пространства.

А последовательность обычно индексируется натуральные числа, которые являются полностью заказанный набор. Таким образом, пределы в пробелы с первым счетом можно описать последовательностями. Однако, если пространство не засчитывается первым, необходимо использовать сети или фильтры. Сети обобщают понятие последовательности, требуя, чтобы индексный набор был просто направленный набор. Фильтры можно рассматривать как наборы, построенные из нескольких сетей. Следовательно, и предел фильтра, и предел сети концептуально такие же, как предел последовательности.

Базы микрорайона

Позволять Икс быть топологическим пространством и Икс точка Икс.

Брать N_Икс быть фильтр соседства в точке Икс за Икс. Это означает, что N_Икс это совокупность всех топологических окрестности по делу Икс. Можно проверить, что N_Икс это фильтр. А система соседства другое название для фильтр соседства.
Чтобы сказать это N это база соседства в Икс за Икс означает, что каждое подмножество V₀ X является окрестностью Икс тогда и только тогда, когда существует N₀ ∈ N такой, что N₀ ⊆ V₀. Каждая база района в Икс - база фильтра, которая генерирует фильтр соседства в Икс.

Базы конвергентных фильтров

Позволять Икс быть топологическим пространством и Икс точка Икс.

Сказать, что основа фильтра B сходится к Икс, обозначенный B → Икс, означает, что для каждого района U из Икс, Существует B₀ ∈ B такой, что B₀ ⊆ U. В этом случае, Икс называется предел из B и B называется база конвергентного фильтра.
Каждая база района N из Икс сходится к Икс.
- Если N это база соседства в Икс и C это основа фильтров на Икс, тогда C → Икс если C лучше, чем N. Если N является восходящим закрытым фильтром окрестности, тогда верно и обратное: любой базис сходящегося фильтра уточняет фильтр соседства.
- Если Y ⊆ Икс, точка p ∈ X называется предельная точка из Y в Икс тогда и только тогда, когда каждое соседство U из п в Икс пересекает Y. Это происходит тогда и только тогда, когда существует фильтрующая база подмножеств Y что сходится к п в Икс.
За Y ⊆ Икс, следующие эквиваленты:
- (i) Существует база фильтров F все элементы которого содержатся в Y такой, что F → Икс.
- (ii) Существует фильтр F такой, что Y является элементом F и F → Икс.
- (iii) Дело Икс заключается в закрытии Y.

В самом деле:

(i) влечет (ii): если F является базой фильтра, удовлетворяющей свойствам пункта (i), тогда фильтр, связанный с F удовлетворяет свойствам (ii).

(ii) влечет (iii): если U любая открытая окрестность Икс то по определению сходимости U содержит элемент F; так как также Y является элементом F, U и Y имеют непустое пересечение.

(iii) подразумевает (i): Определить ${displaystyle F = {Ucap Y | Уин Н_ {x}}}$ . потом F - база фильтра, удовлетворяющая свойствам пункта (i).

Кластеризация

Позволять $Икс$ быть топологическим пространством и Икс точка Икс.

Определение: Основа фильтра

B

на

Икс

говорят кластер в

Икс

(или иметь

Икс

как кластерная точка ) тогда и только тогда, когда каждый элемент

B

имеет непустое пересечение с каждой окрестностью

Икс

.

Если основа фильтра $B$ кластеры в $Икс$ и тоньше, чем основа фильтра $C$ , тогда $C$ также кластеры в $Икс$ .
Каждый предел базы фильтра также является точкой кластера базы.
База фильтра $B$ который имеет $Икс$ поскольку точка кластера может не сходиться к $Икс$ . Но есть более тонкая основа фильтра. Например, база фильтра конечных пересечений множеств подбазы $B \cap N Икс$ .
Для основы фильтра B, набор ∩ {cl (B₀) : B₀ ∈ B } - это набор всех кластерных точек B (The закрытие из B₀ является cl (B₀)). Предположить, что Икс это полная решетка.
- В ограничивать низший из $B$ это инфимум множества всех кластерных точек $B$ .
- В предел высшего из $B$ это супремум множества всех кластерных точек $B$ .
- $B$ база сходящихся фильтров если и только если его нижний предел и верхний предел согласуются; в этом случае значение, с которым они согласны, является пределом базы фильтра.

Свойства топологического пространства

Позволять Икс быть топологическим пространством.

Икс это Пространство Хаусдорфа если и только если каждый фильтр основан на Икс имеет не более одного ограничения.
Икс является компактный тогда и только тогда, когда каждый фильтр основан на Икс кластеры или имеет точку кластера.
Икс компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр основан на Икс является подмножеством конвергентной базы фильтров.
Икс компактно тогда и только тогда, когда каждое ультрафильтр на Икс сходится.

Функции между топологическими пространствами

Позволять $Икс$ и $Y$ топологические пространства, пусть $А$ быть фильтрующей базой на $Икс$ , и разреши $ж : Икс \to Y$ быть функцией. В изображение из $А$ под $ж$ , обозначаемый $ж [А]$ , определяется как множество $ж [А] := {ж (а) : а \in А$ }, который обязательно образует базу фильтра на $Y$ .

$ж$ является непрерывный в $Икс \in Икс$ тогда и только тогда, когда для каждой базы фильтров $А$ на $Икс$ , $А \to Икс$ подразумевает $ж [А] \to ж (Икс)$ .

Фильтры Коши

Позволять ${displaystyle (X, d)}$ быть метрическое пространство.

Сказать, что основа фильтра B на Икс является Коши означает, что для каждого настоящий номер ε> 0 существует B₀ ∈ B такая, что метрика диаметр из B₀ меньше ε.
Брать (Икс_п) быть последовательность в метрическом пространстве Икс. (Икс_п) это Последовательность Коши тогда и только тогда, когда база фильтра {{Икс_N, Икс_{N +1}, ...} : N ∈ {1,2,3, ...}} является Коши.

В более общем плане, учитывая однородное пространство Икс, фильтр F на Икс называется Фильтр Коши если для каждого свита U существует А ∈ F с (Икс, у) ∈ U для всех Икс, у ∈ А. В метрическом пространстве это согласуется с предыдущим определением. Икс называется полным, если сходится каждый фильтр Коши. Наоборот, на однородном пространстве каждый сходящийся фильтр является фильтром Коши. Более того, каждая кластерная точка фильтра Коши является предельной точкой.

Компактное однородное пространство является полным: на компактном пространстве каждый фильтр имеет точку кластера, и если фильтр Коши, такая точка кластера является предельной точкой. Далее, равномерность компактна тогда и только тогда, когда она полная и полностью ограниченный.

В большинстве случаев Пространство Коши - это набор, оснащенный классом фильтров, объявленным как Коши. Они должны иметь следующие свойства:

для каждого Икс в Икс, то ультрафильтр в Икс, U(Икс), является Коши.
если F является фильтром Коши, а F это подмножество фильтра грамм, тогда грамм это Коши.
если F и грамм фильтры Коши, и каждый член F пересекает каждого члена грамм, тогда F ∩ грамм это Коши.

Фильтры Коши на однородном пространстве обладают этими свойствами, поэтому каждое равномерное пространство (следовательно, каждое метрическое пространство) определяет пространство Коши.

Смотрите также

Фильтры в топологии - Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Фильтрация (математика)
Фильтрация (теория вероятностей) - модель информации, доступной в данной точке случайного процесса
Фильтрация (абстрактная алгебра)
Общий фильтр
Идеал (теория множеств) - Непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
Сеть (математика) - Обобщение последовательности точек

Примечания

^ Х. Картан, "Теория фильтров", CR Acad. Париж, 205, (1937) 595–598.
^ Х. Картан, «Фильтры и ультрафильтры», CR Acad. Париж, 205, (1937) 777–779.
^ Б.А. Дэйви и Х. Пристли (1990). Введение в решетки и порядок. Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета.
^ ^а ^б ^c Дугунджи 1966, стр. 211-213.
^ Долецки и Майнард 2016, стр. 27-29.
^ Гольдблатт, Р. Лекции о гиперреалах: введение в нестандартный анализ. п. 32.
^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 2-7.

дальнейшее чтение

Джордж М. Бергман; Эхуд Грушовски: Линейные ультрафильтры, Comm. Alg., 26 (1998) 4079–4113.

[1] Х. Картан, "Теория фильтров", CR Acad. Париж, 205, (1937) 595–598.

[2] Х. Картан, «Фильтры и ультрафильтры», CR Acad. Париж, 205, (1937) 777–779.

[3] Б.А. Дэйви и Х. Пристли (1990). Введение в решетки и порядок. Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета.

[FOOTNOTEDugundji1966211-213-4] а ^б ^c Дугунджи 1966, стр. 211-213.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627-29-5] Долецки и Майнард 2016, стр. 27-29.

[6] Гольдблатт, Р. Лекции о гиперреалах: введение в нестандартный анализ. п. 32.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20112-7-7] Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 2-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]