Двойственность (теория порядка) - Duality (order theory)

в математический зона теория порядка, каждый частично заказанный набор п рождает двойной (или же противоположный) частично упорядоченное множество, которое часто обозначают п^op или же п^d. Этот двойной порядок п^op определяется как тот же набор, но с обратный порядок, т.е. Икс ≤ у держит в п^op если и только если у ≤ Икс держит в п. Легко увидеть, что эта конструкция, которую можно изобразить, перевернув Диаграмма Хассе за п вверх ногами, действительно даст частично заказанный набор. В более широком смысле два частично упорядоченных множества также называются двойственными, если они дуально изоморфный, т.е. если один ч.у. порядок изоморфный к двойному другому.

Важность этого простого определения проистекает из того факта, что каждое определение и теорема теории порядка легко переносятся на двойственный порядок. Формально это фиксируется Принцип двойственности для заказанных комплектов:

Если данное утверждение справедливо для всех частично упорядоченных множеств, то его двойственное утверждение, полученное путем инвертирования направления всех отношений порядка и дуализации всех задействованных теоретических определений порядка, также справедливо для всех частично упорядоченных множеств.

Если утверждение или определение эквивалентно своему двойственному, то оно называется самодвойственный. Обратите внимание, что рассмотрение двойных порядков настолько фундаментально, что часто возникает неявно при записи ≥ для двойного порядка ≤ без предварительного определения этого «нового» символа.

Примеры

Ограниченная дистрибутивная решетка и двойственная ей

Естественно, существует множество примеров двойственных понятий:

• Наибольшие элементы и наименьшие элементы
• Максимальные элементы и минимальные элементы
• Наименьшие верхние границы (suprema, ∨) и точная нижняя граница (инфима, ∧)
• Верхние и нижние наборы
• Идеалы и фильтры
• Операторы закрытия и операторы ядра.

Примеры самодвойственных понятий включают:

• Быть (полный ) решетка
• Монотонность функций
• Распределимость решеток., т.е. решетки, для которых ∀Икс,у,z: Икс ∧ (у ∨ z) = (Икс ∧ у) ∨ (Икс ∧ z) - это как раз те, для которых двойственное утверждениеИкс,у,z: Икс ∨ (у ∧ z) = (Икс ∨ у) ∧ (Икс ∨ z) держит^[1]
• Быть Булева алгебра
• Будучи изоморфизм порядка.

Поскольку частичные заказы антисимметричный, единственные, которые являются самодуальными, - это отношения эквивалентности.

Смотрите также

• Обратное отношение
• Список тем по булевой алгебре
• Транспонировать график
• Двойственность в теории категорий, частным случаем которой является двойственность в теории порядка.

Рекомендации

1. Кванторы важны: для отдельных элементов Икс, у, z, например первое уравнение может быть нарушено, но второе может выполняться; увидеть N₅ решетка для примера.

• Davey, B.A .; Пристли, Х.А. (2002), Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-78451-1