Принуждение (математика) - Forcing (mathematics)

Для использования принуждения теория рекурсии, увидеть Принуждение (теория рекурсии).

В математической дисциплине теория множеств, принуждение это метод доказательства последовательность и независимость Результаты. Впервые он был использован Пол Коэн в 1963 году, чтобы доказать независимость аксиома выбора и гипотеза континуума от Теория множеств Цермело – Френкеля.

В последующие годы принуждение было значительно переработано и упрощено, и с тех пор оно стало мощным методом как в теории множеств, так и в областях математическая логика такие как теория рекурсии. Теория описательных множеств использует понятия принуждения как из теории рекурсии, так и из теории множеств. Принуждение также использовалось в теория моделей, но в теории моделей принято определять универсальность прямо без упоминания о принуждении.

Интуиция

Интуитивно понятно, что принуждение заключается в расширении теоретического набора вселенная ${\displaystyle V}$ в большую вселенную ${\displaystyle V^{*}}$. Например, в этой большой вселенной может появиться много новых подмножества из ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle =\{0,1,2,\ldots \}}$ которых не было в старой вселенной, и тем самым нарушают гипотеза континуума.

Хотя невозможно при работе с конечный наборы, это просто еще одна версия Парадокс Кантора о бесконечности. В принципе, можно было бы рассмотреть:

${\displaystyle V^{*}=V\times \{0,1\},}$

идентифицировать ${\displaystyle x\in V}$ с участием ${\displaystyle (x,0)}$, а затем ввести расширенное отношение членства, включающее «новые» множества формы ${\displaystyle (x,1)}$. Принуждение - это более сложная версия этой идеи, сводящая расширение к существованию одного нового набора и позволяющая точно контролировать свойства расширенной вселенной.

Оригинальная техника Коэна, теперь называемая разветвленное принуждение, немного отличается от неразветвленное принуждение изложено здесь. Принуждение также эквивалентно методу Булевозначные модели, который, по мнению некоторых, концептуально более естественен и интуитивно понятен, но обычно его гораздо сложнее применить.

Принуждение позы

А заставить позет упорядоченная тройка, ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$, где ${\displaystyle \leq }$ это предзаказ на ${\displaystyle \mathbb {P} }$ это безатомный, что означает, что он удовлетворяет следующему условию:

• Для каждого ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, есть ${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$ такой, что ${\displaystyle q,r\leq p}$, без ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ такой, что ${\displaystyle s\leq q,r}$. Самый большой элемент ${\displaystyle \mathbb {P} }$ является ${\displaystyle \mathbf {1} }$, это, ${\displaystyle p\leq \mathbf {1} }$ для всех ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$.

Члены ${\displaystyle \mathbb {P} }$ называются принудительные условия или просто условия. Один читает ${\displaystyle p\leq q}$ так как "${\displaystyle p}$ является сильнее чем ${\displaystyle q}$". Интуитивно понятно, что условие" меньше "дает" больше "информации, так же как меньший интервал ${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$ предоставляет дополнительную информацию о номере ${\displaystyle \pi }$ чем интервал ${\displaystyle [3.1,3.2]}$ делает.

Существуют различные условные обозначения. Некоторые авторы требуют ${\displaystyle \leq }$ также быть антисимметричный, так что отношение есть частичный заказ. Некоторые используют термин частичный заказ в любом случае, что противоречит стандартной терминологии, в то время как некоторые используют термин предзаказ. Можно обойтись без самого большого элемента. Обратный порядок также используется, особенно Сахарон Шелах и его соавторы.

P-имена

Связано с форсирующим позетом ${\displaystyle \mathbb {P} }$ это класс ${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$ из ${\displaystyle \mathbb {P} }$-имена. А ${\displaystyle \mathbb {P} }$-name это набор ${\displaystyle A}$ формы

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

На самом деле это определение трансфинитной рекурсии. Точнее, сначала используется трансфинитная рекурсия определить следующую иерархию:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ;\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),{\text{ where }}{\mathcal {P}}{\text{ denotes the power-set operator}};\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \},{\text{ if }}\lambda {\text{ is a limit ordinal}}.\end{aligned}}}$

Тогда класс ${\displaystyle \mathbb {P} }$-names определяется как

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.}$

В ${\displaystyle \mathbb {P} }$- имена, по сути, являются расширением вселенная. Данный ${\displaystyle x\in V}$, один определяет ${\displaystyle {\check {x}}}$ быть ${\displaystyle \mathbb {P} }$-имя

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Опять же, это действительно определение трансфинитной рекурсии.

Интерпретация

Учитывая любое подмножество ${\displaystyle G}$ из ${\displaystyle \mathbb {P} }$, следующий определяет интерпретация или оценка карта из ${\displaystyle \mathbb {P} }$- имена

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

Это снова определение трансфинитной рекурсии. Обратите внимание, что если ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$. Затем определяется

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in G\}}$

так что ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$.

пример

Хороший пример форсирующего позета: ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$, где ${\displaystyle I=[0,1]}$ и ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ это собрание Борелевские подмножества из ${\displaystyle I}$ с ненулевым Мера Лебега. В этом случае можно говорить об условиях как о вероятностях, а ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$-name присваивает членство в вероятностном смысле. Благодаря интуитивной интуиции, которую может предоставить этот пример, вероятностный язык иногда используется с другими расходящимися форсирующими позициями.

Счетные транзитивные модели и общие фильтры

Ключевым этапом принуждения является: ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ вселенная ${\displaystyle V}$, чтобы найти подходящий объект ${\displaystyle G}$ не в ${\displaystyle V}$. Результирующий класс всех интерпретаций ${\displaystyle \mathbb {P} }$-именов будет модель ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ что правильно расширяет оригинал ${\displaystyle V}$ (поскольку ${\displaystyle G\notin V}$).

Вместо работы с ${\displaystyle V}$, полезно рассмотреть счетная транзитивная модель ${\displaystyle M}$ с участием ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )\in M}$. «Модель» относится к модели теории множеств, любой из ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, или модель большого, но конечного подмножества ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, или его вариант. «Транзитивность» означает, что если ${\displaystyle x\in y\in M}$, тогда ${\displaystyle x\in M}$. В Лемма Мостовского о коллапсе заявляет, что это можно предположить, если отношение принадлежности обоснованный. Эффект транзитивности состоит в том, что членство и другие элементарные понятия можно обрабатывать интуитивно. Счетность модели опирается на Теорема Левенгейма – Сколема.

Так как ${\displaystyle M}$ это набор, есть наборы не в ${\displaystyle M}$ - это следует из Парадокс Рассела. Соответствующий набор ${\displaystyle G}$ собирать и примыкать к ${\displaystyle M}$ это общий фильтр на ${\displaystyle \mathbb {P} }$. Условие «фильтра» означает, что:

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• если ${\displaystyle p\geq q\in G}$, тогда ${\displaystyle p\in G;}$
• если ${\displaystyle p,q\in G}$, то существует ${\displaystyle r\in G}$ такой, что ${\displaystyle r\leq p,q.}$

Для ${\displaystyle G}$ быть «общим» означает:

• Если ${\displaystyle D\in M}$ является «плотным» подмножеством ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (то есть для каждого ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, существует ${\displaystyle q\in D}$ такой, что ${\displaystyle q\leq p}$), тогда ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$.

Существование универсального фильтра ${\displaystyle G}$ следует из Лемма Расиова – Сикорского.. На самом деле верно немного больше: при условии ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, можно найти общий фильтр ${\displaystyle G}$ такой, что ${\displaystyle p\in G}$. Из-за условия расщепления на ${\displaystyle \mathbb {P} }$ (названный выше "безатомным"), если ${\displaystyle G}$ это фильтр, то ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$ плотный. Если ${\displaystyle G\in M}$, тогда ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$ потому что ${\displaystyle M}$ это модель ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$. По этой причине универсальный фильтр никогда не используется. ${\displaystyle M}$.

Принуждение

Учитывая общий фильтр ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$, поступают следующим образом. Подкласс ${\displaystyle \mathbb {P} }$- имена в ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$. Позволять

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Чтобы сократить изучение теории множеств ${\displaystyle M[G]}$ к тому из ${\displaystyle M}$, работает «язык принуждения», который построен как обычный логика первого порядка, с членством как бинарным отношением и всеми ${\displaystyle \mathbb {P} }$-имена как константы.

Определить ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$ (читать как "${\displaystyle p}$ силы ${\displaystyle \varphi }$ в модели ${\displaystyle M}$ с позом ${\displaystyle \mathbb {P} }$"), где ${\displaystyle p}$ это условие, ${\displaystyle \varphi }$ является формулой на языке принуждения, а ${\displaystyle u_{i}}$есть ${\displaystyle \mathbb {P} }$-names, чтобы означать, что если ${\displaystyle G}$ это общий фильтр, содержащий ${\displaystyle p}$, тогда ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$. Особый случай ${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ часто пишется как "${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$"или просто"${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$". Такие утверждения верны в ${\displaystyle M[G]}$, не важно что ${\displaystyle G}$ является.

Важно то, что это внешний определение отношения принуждения ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ эквивалентен внутренний определение в ${\displaystyle M}$, определяемый трансфинитной индукцией по ${\displaystyle \mathbb {P} }$- имена экземпляров ${\displaystyle u\in v}$ и ${\displaystyle u=v}$, а затем обычной индукцией по сложности формул. Это приводит к тому, что все свойства ${\displaystyle M[G]}$ действительно свойства ${\displaystyle M}$, и проверка ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ в ${\displaystyle M[G]}$ становится простым. Обычно это выражается в следующих трех ключевых свойствах:

• Правда: ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ если и только если это вызвано ${\displaystyle G}$, то есть при некотором условии ${\displaystyle p\in G}$, у нас есть ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.
• Определяемость: Заявление "${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$"определяется в ${\displaystyle M}$.
• Согласованность: ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$.

Определим отношение принуждения ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ в ${\displaystyle M}$ индукцией по сложности формул, в которой мы сначала определяем отношение для атомарных формул как ${\displaystyle \in }$-индукция, а затем определим ее для произвольных формул индукцией по их сложности.

Сначала мы определяем отношение принуждения к атомарным формулам, делая это для обоих типов формул, ${\displaystyle x\in y}$ и ${\displaystyle x=y}$, одновременно. Это означает, что мы определяем одно отношение ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$ где ${\displaystyle t}$ обозначает тип формулы следующим образом:

1. ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$ означает ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in b}$.

2. ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$ означает ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a=b}$.

3. ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$ означает ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\subseteq b}$.

Вот ${\displaystyle p}$ это условие и ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ находятся ${\displaystyle \mathbb {P} }$-именов. Позволять ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$ быть формулой, определяемой ${\displaystyle \in }$-индукция:

R1. ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$ если и только если ${\displaystyle (\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(\exists (s,c)\in b)(r\leq s\,\land \,R(r,a,c,1,\mathbb {P} ))}$.

R2. ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$ если и только если ${\displaystyle R(r,a,b,2,\mathbb {P} )\,\land \,R(r,b,a,2,\mathbb {P} )}$.

R3. ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$ если и только если ${\displaystyle (\forall (s,c)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow \,R(r,c,b,0,\mathbb {P} ))}$.

Более формально мы используем следующее бинарное отношение ${\displaystyle \mathbb {P} }$-names: Пусть ${\displaystyle S(a,b)}$ относится к именам ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ если и только если ${\displaystyle (p,a)\in b}$ хотя бы для одного условия ${\displaystyle p}$. Эта связь вполне обоснована, а это значит, что для любого имени ${\displaystyle a}$ класс всех имен ${\displaystyle b}$, так что ${\displaystyle S(a,b)}$ удерживается, является набором и нет функции ${\displaystyle f:\omega \longrightarrow Names}$ такой, что ${\displaystyle (\forall n\in \omega )S(f(n+1),f(n))}$.

В общем, хорошо обоснованное отношение не является предварительным заказом, потому что оно может не быть транзитивным. Но, если мы рассматриваем это как «упорядочение», это отношение без бесконечных убывающих последовательностей, где для любого элемента класс элементов ниже него является набором.

Любое бинарное отношение легко закрыть на транзитивность. Для имен ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a<b}$ выполняется, если существует хотя бы одна конечная последовательность${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n}}$ (как карта с доменом ${\displaystyle \{0,\dots ,n\}}$) для некоторых ${\displaystyle n>0}$ такой, что ${\displaystyle c_{0}=a}$, ${\displaystyle c_{n}=b}$ и для любого ${\displaystyle i<n}$, ${\displaystyle S(c_{i-1},c_{i})}$ держит. Такой порядок тоже вполне обоснован.

Мы определяем следующий четко определенный порядок пар имен: ${\displaystyle T((a,b),(c,d))}$ если выполняется одно из следующих условий:

1. ${\displaystyle \max\{a,b\}<\max\{c,d\}}$,

2. ${\displaystyle \max\{a,b\}=\max\{c,d\}}$ и ${\displaystyle \min\{a,b\}<\min\{c,d\}}$,

3. ${\displaystyle \max\{a,b\}=\max\{c,d\}}$ и ${\displaystyle \min\{a,b\}=\min\{c,d\}}$ и ${\displaystyle a<c}$.

Соотношение ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$ определяется рекурсией по парам ${\displaystyle (a,b)}$ имен. Для любой пары это определяется таким же соотношением на «более простых» парах. Собственно, по теореме о рекурсии существует формула ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$ такие, что R1, R2 и R3 являются теоремами, потому что их значение истинности в некоторой точке определяется его значениями истинности в «меньших» точках относительно некоторого хорошо обоснованного отношения, используемого в качестве «упорядочивания». Теперь мы готовы определить отношение принуждения:

1. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in b}$ означает ${\displaystyle a,b\in Name\,\land \,R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$.

2. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a=b}$ означает ${\displaystyle a,b\in Name\,\land \,R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$.

3. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\lnot f(a_{1},\dots ,a_{n})}$ означает ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,\lnot (\exists q\leq p)q\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})}$.

4. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(f(a_{1},\dots ,a_{n})\land g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$ означает ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,(p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n}))\land (p\Vdash _{\mathbb {P} }g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$.

5. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall x)f(a_{1},\dots ,a_{n},x)}$ означает ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,(\forall b\in Names)p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n},b)}$.

Собственно, это преобразование произвольной формулы ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ к формуле ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ где ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle \mathbb {P} }$ дополнительные переменные. Это определение отношения принуждения во вселенной. ${\displaystyle V}$ всех множеств независимо от какой-либо счетной транзитивной модели. Однако существует связь между этой «синтаксической» формулировкой принуждения и «семантической» формулировкой принуждения по некоторой счетной транзитивной модели. ${\displaystyle M}$.

1. Для любой формулы ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ есть теорема ${\displaystyle T}$ теории ${\displaystyle ZFC}$ (например, конъюнкция конечного числа аксиом) такая, что для любой счетной транзитивной модели ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle M\models T}$ и любой безатомный частичный порядок ${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$ и любой ${\displaystyle \mathbb {P} }$-общий фильтр ${\displaystyle G}$ над ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})).}$

Это называется свойством определимости отношения принуждения.

Последовательность

Вышеупомянутое обсуждение можно резюмировать с помощью фундаментального результата согласованности, который при форсировании poset ${\displaystyle \mathbb {P} }$, мы можем предположить существование универсального фильтра ${\displaystyle G}$, не принадлежащий Вселенной ${\displaystyle V}$, так что ${\displaystyle V[G]}$ снова является теоретико-множественной вселенной, моделирующей ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$. Кроме того, все истины в ${\displaystyle V[G]}$ может быть сведено к истине в ${\displaystyle V}$ с участием отношения принуждения.

Оба стиля, смежные ${\displaystyle G}$ к счетной транзитивной модели ${\displaystyle M}$ или вся вселенная ${\displaystyle V}$, обычно используются. Реже встречается подход, использующий «внутреннее» определение принуждения, в котором не упоминаются модели набора или класса. Это был оригинальный метод Коэна, и в одном из вариантов он стал методом булевозначного анализа.

Коэн форсинг

Простейшее нетривиальное форсирование poset - это ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$, конечные частичные функции из ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$ под обеспечить регресс включение. То есть условие ${\displaystyle p}$ по существу два непересекающихся конечных подмножества ${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$ и ${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$ из ${\displaystyle \omega }$, которые можно рассматривать как части "да" и "нет" ${\displaystyle p}$, без предоставления информации о ценностях за пределами домена ${\displaystyle p}$. "${\displaystyle q}$ сильнее чем ${\displaystyle p}$" Значит это ${\displaystyle q\supseteq p}$другими словами, части "да" и "нет" ${\displaystyle q}$ являются надмножествами частей "да" и "нет" ${\displaystyle p}$, и в этом смысле предоставить больше информации.

Позволять ${\displaystyle G}$ быть общим фильтром для этого набора. Если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ оба в ${\displaystyle G}$, тогда ${\displaystyle p\cup q}$ это условие, потому что ${\displaystyle G}$ это фильтр. Это значит, что ${\displaystyle g=\bigcup G}$ является вполне определенной частичной функцией из ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle 2}$ потому что любые два условия в ${\displaystyle G}$ договорились об их общем владении.

По факту, ${\displaystyle g}$ это полная функция. Данный ${\displaystyle n\in \omega }$, позволять ${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$. потом ${\displaystyle D_{n}}$ плотный. (Учитывая любые ${\displaystyle p}$, если ${\displaystyle n}$ не в ${\displaystyle p}$домена, добавьте значение для ${\displaystyle n}$- результат в ${\displaystyle D_{n}}$.) Условие ${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$ имеет ${\displaystyle n}$ в своей области, и поскольку ${\displaystyle p\subseteq g}$, мы находим, что ${\displaystyle g(n)}$ определено.

Позволять ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$, набор всех «да» членов общих условий. Можно дать имя ${\displaystyle X}$ прямо. Позволять

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

потом ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$ Теперь предположим, что ${\displaystyle A\subseteq \omega }$ в ${\displaystyle V}$. Мы утверждаем, что ${\displaystyle X\neq A}$. Позволять

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

потом ${\displaystyle D_{A}}$ плотный. (Учитывая любые ${\displaystyle p}$, найти ${\displaystyle n}$ который не входит в его область, и присоединяется к значению для ${\displaystyle n}$ вопреки статусу "${\displaystyle n\in A}$".) Тогда любой ${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$ свидетели ${\displaystyle X\neq A}$. Подвести итоги, ${\displaystyle X}$ это «новое» подмножество ${\displaystyle \omega }$, обязательно бесконечно.

Замена ${\displaystyle \omega }$ с участием ${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$, то есть вместо этого рассмотрим конечные частичные функции, входные данные которых имеют вид ${\displaystyle (n,\alpha )}$, с участием ${\displaystyle n<\omega }$ и ${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$, и чьи выходы ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 1}$, получается ${\displaystyle \omega _{2}}$ новые подмножества ${\displaystyle \omega }$. Все они различны по аргументу плотности: ${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$, позволять

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

затем каждый ${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$ плотно, и общее условие в нем доказывает, что α-е новое множество где-то не согласуется с ${\displaystyle \beta }$-й новый комплект.

Это еще не опровержение гипотезы континуума. Необходимо доказать, что не было введено никаких новых карт, которые ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle \omega _{1}}$, или ${\displaystyle \omega _{1}}$ на ${\displaystyle \omega _{2}}$. Например, если вместо этого ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$, конечные частичные функции из ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle \omega _{1}}$, то первый несчетный порядковый номер, один попадает в ${\displaystyle V[G]}$ биекция от ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle \omega _{1}}$. Другими словами, ${\displaystyle \omega _{1}}$ имеет рухнул, а в вынуждающем расширении - счетный ординал.

Таким образом, последний шаг в демонстрации независимости гипотезы континуума - показать, что форсирование Коэна не разрушает кардиналов. Для этого достаточным комбинаторным свойством является то, что все антицепи Позиций принуждения исчисляемы.

Условие счетной цепи

Основная статья: Состояние счетной цепи

An (сильный) антицепь ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle \mathbb {P} }$ такое подмножество, что если ${\displaystyle p,q\in A}$, тогда ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ находятся несовместимый (написано ${\displaystyle p\perp q}$), то есть нет ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle \mathbb {P} }$ такой, что ${\displaystyle r\leq p}$ и ${\displaystyle r\leq q}$. В примере с борелевскими множествами несовместимость означает, что ${\displaystyle p\cap q}$ имеет нулевую меру. В примере с конечными частичными функциями несовместимость означает, что ${\displaystyle p\cup q}$ не функция, другими словами, ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ присвоить разные значения некоторому входу домена.

${\displaystyle \mathbb {P} }$ удовлетворяет условие счетной цепи (c.c.c.) тогда и только тогда, когда каждая антицепь в ${\displaystyle \mathbb {P} }$ счетно. (Название, которое явно неуместно, является пережитком старой терминологии. Некоторые математики пишут «c.a.c.» для «счетного условия антицепи».)

Легко заметить, что ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ удовлетворяет c.c.c. потому что меры в сумме ${\displaystyle 1}$. Также, ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$ удовлетворяет c.c.c., но доказательство труднее.

Учитывая бесчисленное подсемейство ${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$, сокращаться ${\displaystyle W}$ бесчисленному подсемейству ${\displaystyle W_{0}}$ наборов размеров ${\displaystyle n}$, для некоторых ${\displaystyle n<\omega }$. Если ${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$ для бесчисленного множества ${\displaystyle p\in W_{0}}$, сократите это до бесчисленного подсемейства ${\displaystyle W_{1}}$ и повторяем, получая конечный набор ${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ и бесчисленная семья ${\displaystyle W_{k}}$ несовместимых условий размера ${\displaystyle n-k}$ так что каждый ${\displaystyle e}$ в ${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$ для не более чем счетного множества ${\displaystyle p\in W_{k}}$. Теперь выберите произвольный ${\displaystyle p\in W_{k}}$и выберите из ${\displaystyle W_{k}}$ Любые ${\displaystyle q}$ это не один из счетного числа членов, у которых есть член домена, общий с ${\displaystyle p}$. потом ${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ и ${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ совместимы, поэтому ${\displaystyle W}$ не антицепь. Другими словами, ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$-антицепи счетны.

Важность антицепей в форсинге состоит в том, что для большинства целей плотные множества и максимальные антицепи эквивалентны. А максимальный антицепь ${\displaystyle A}$ не может быть расширен на большую антицепь. Это означает, что каждый элемент ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ совместим с некоторыми членами ${\displaystyle A}$. Существование максимальной антицепи следует из Лемма Цорна. Учитывая максимальную антицепь ${\displaystyle A}$, позволять

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

потом ${\displaystyle D}$ плотный, и ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ если и только если ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$. Наоборот, для плотного множества ${\displaystyle D}$, Лемма Цорна показывает, что существует максимальная антицепь ${\displaystyle A\subseteq D}$, а потом ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ если и только если ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$.

Предположим, что ${\displaystyle \mathbb {P} }$ удовлетворяет c.c.c. Данный ${\displaystyle x,y\in V}$, с участием ${\displaystyle f:x\to y}$ функция в ${\displaystyle V[G]}$, можно приблизительно ${\displaystyle f}$ внутри ${\displaystyle V}$ следующим образом. Позволять ${\displaystyle u}$ быть именем для ${\displaystyle f}$ (по определению ${\displaystyle V[G]}$) и разреши ${\displaystyle p}$ быть условием, которое заставляет ${\displaystyle u}$ быть функцией от ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle y}$. Определите функцию ${\displaystyle F}$, домен которого ${\displaystyle x}$, от

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

Благодаря определимости принуждения это определение имеет смысл в пределах ${\displaystyle V}$. По слаженности принуждения другое ${\displaystyle b}$ исходят из несовместимого ${\displaystyle p}$. По c.c.c., ${\displaystyle F(a)}$ счетно.

В итоге, ${\displaystyle f}$ неизвестно в ${\displaystyle V}$ поскольку это зависит от ${\displaystyle G}$, но это не так уж и мало известно о принудительном использовании c.c.c. Можно выделить счетный набор догадок, для чего значение ${\displaystyle f}$ есть на любом входе, независимо от ${\displaystyle G}$.

Это имеет следующие очень важные последствия. Если в ${\displaystyle V[G]}$, ${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$ является сюръекцией одного бесконечного ординала на другой, то есть сюръекция ${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$ в ${\displaystyle V}$, и, следовательно, сюръекция ${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$ в ${\displaystyle V}$. В частности, кардиналы не могут рухнуть. Вывод таков: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$ в ${\displaystyle V[G]}$.

Истон форсинг

Точное значение континуума в приведенной выше модели Коэна и такие варианты, как ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$ для кардиналов ${\displaystyle \kappa }$ в общем, был разработан Роберт М. Соловей, который также придумал, как нарушать ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$ (в гипотеза обобщенного континуума ), для обычные кардиналы только конечное число раз. Например, в приведенной выше модели Коэна, если ${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$ держит в ${\displaystyle V}$, тогда ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$ держит в ${\displaystyle V[G]}$.

Уильям Б. Истон разработал правильную классовую версию нарушения ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$ для обычных кардиналов, в основном показывая, что известные ограничения, (монотонность, Теорема Кантора и Теорема Кенига ), были единственными ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$-доказуемые ограничения (см. Теорема Истона ).

Работа Истона была примечательна тем, что предполагала принуждение с надлежащим классом условий. В общем, метод принуждения с надлежащим классом условий не может дать модель ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$. Например, принуждение с ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$, где ${\displaystyle \mathbf {On} }$ является надлежащим классом для всех ординалов, делает континуум надлежащим классом. С другой стороны, принуждение ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$ вводит счетное перечисление ординалов. В обоих случаях результирующий ${\displaystyle V[G]}$ явно не модель ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$.

Одно время считалось, что более изощренное форсирование также позволит произвольно изменять мощность единичные кардиналы. Однако это оказалось сложной, тонкой и даже неожиданной проблемой. ограничения доказуемы в ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ и с моделями нагнетания в зависимости от консистенции различных большой кардинал свойства. Остается много открытых проблем.

Случайные числа

Основная статья: Случайная алгебра

Случайное форсирование можно определить как форсирование множества ${\displaystyle P}$ всех компактных подмножеств ${\displaystyle [0,1]}$ положительной меры, упорядоченной соотношением ${\displaystyle \subseteq }$ (меньший набор в контексте включения - меньший набор в заказе и представляет условие с большим количеством информации). Есть два типа важных плотных наборов:

1. Для любого положительного целого числа ${\displaystyle n}$ набор

${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$

плотно, где ${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$ диаметр набора ${\displaystyle p}$.

2. Для любого борелевского подмножества ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ меры 1 множество

${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$

плотный.

Для любого фильтра ${\displaystyle G}$ и для любого конечного числа элементов ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$ есть ${\displaystyle q\in G}$ такое, что держит ${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$. В случае такого порядка это означает, что любой фильтр - это набор компактов со свойством конечного пересечения. По этой причине пересечение всех элементов любого фильтра непусто. Если ${\displaystyle G}$ - фильтр, пересекающий плотное множество ${\displaystyle D_{n}}$ для любого положительного целого числа ${\displaystyle n}$, то фильтр ${\displaystyle G}$ содержит условия сколь угодно малого положительного диаметра. Следовательно, пересечение всех условий из ${\displaystyle G}$ имеет диаметр 0. Но единственными непустыми множествами диаметра 0 являются синглтоны. Итак, есть ровно одно действительное число ${\displaystyle r_{G}}$ такой, что ${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$.

Позволять ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ - любое борелевское множество меры 1. Если ${\displaystyle G}$ пересекает ${\displaystyle D_{B}}$, тогда ${\displaystyle r_{G}\in B}$.

Однако общий фильтр счетной транзитивной модели ${\displaystyle V}$ не в ${\displaystyle V}$. Реальность ${\displaystyle r_{G}}$ определяется ${\displaystyle G}$ доказуемо не является элементом ${\displaystyle V}$. Проблема в том, что если ${\displaystyle p\in P}$, тогда ${\displaystyle V\models }$ "${\displaystyle p}$ компактна ", но с точки зрения какой-то большой вселенной ${\displaystyle U\supset V}$, ${\displaystyle p}$ может быть некомпактным и пересечение всех условий из общего фильтра ${\displaystyle G}$ на самом деле пусто. По этой причине мы рассматриваем множество ${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$ топологических замыканий условий из G.^{[требуется разъяснение ]} Потому что ${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$ и свойство конечного пересечения ${\displaystyle G}$, набор ${\displaystyle C}$ также обладает свойством конечного пересечения. Элементы набора ${\displaystyle C}$ ограниченные замкнутые множества как замыкания ограниченных множеств.^{[требуется разъяснение ]} Следовательно, ${\displaystyle C}$это набор компактов^{[требуется разъяснение ]} со свойством конечного пересечения и, следовательно, имеет непустое пересечение. поскольку ${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$ и наземная модель ${\displaystyle V}$ наследует метрику от вселенной ${\displaystyle U}$, набор ${\displaystyle C}$ имеет элементы сколь угодно малого диаметра. Наконец, существует ровно одно вещественное число, принадлежащее всем членам множества ${\displaystyle C}$. Общий фильтр ${\displaystyle G}$ может быть реконструирован из ${\displaystyle r_{G}}$ так как ${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$.

Если ${\displaystyle a}$ это имя ${\displaystyle r_{G}}$,^{[требуется разъяснение ]} и для ${\displaystyle B\in V}$ держит ${\displaystyle V\models }$"${\displaystyle B}$ борелевское множество меры 1 ", то имеет место

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

для некоторых ${\displaystyle p\in G}$. Есть имя ${\displaystyle a}$ так что для любого универсального фильтра ${\displaystyle G}$ держит

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

потом

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

выполняется для любого условия ${\displaystyle p}$.

Каждое борелевское множество может быть построено не однозначно, начиная с интервалов с рациональными конечными точками и применяя операции дополнения и счетных объединений счетное число раз. Запись такой конструкции называется Код Бореля. Учитывая множество Бореля ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle V}$, восстанавливается код Бореля, а затем применяется та же последовательность построения в ${\displaystyle V[G]}$, получая набор Бореля ${\displaystyle B^{*}}$. Можно доказать, что один и тот же набор получается независимо от конструкции ${\displaystyle B}$, и что основные свойства сохраняются. Например, если ${\displaystyle B\subseteq C}$, тогда ${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$. Если ${\displaystyle B}$ имеет нулевую меру, то ${\displaystyle B^{*}}$ имеет нулевую меру. Это отображение ${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$ инъективно.

Для любого набора ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ такой, что ${\displaystyle B\in V}$ и ${\displaystyle V\models }$"${\displaystyle B}$ является борелевским множеством меры 1 ". ${\displaystyle r\in B^{*}}$.

Это значит, что ${\displaystyle r}$ "бесконечная случайная последовательность нулей и единиц" с точки зрения ${\displaystyle V}$, что означает, что он удовлетворяет всем статистическим тестам наземной модели. ${\displaystyle V}$.

Так что ${\displaystyle r}$, случайное вещественное число, можно показать, что

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}.}$

Из-за взаимозависимости между ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle G}$, обычно пишут ${\displaystyle V[r]}$ для ${\displaystyle V[G]}$.

Иная интерпретация реалов в ${\displaystyle V[G]}$ был предоставлен Дана Скотт. Рациональные числа в ${\displaystyle V[G]}$ имеют имена, которые соответствуют счетному числу различных рациональных значений, присвоенных максимальной антицепи борелевских множеств - другими словами, определенной рациональнозначной функции на ${\displaystyle I=[0,1]}$. Реальные числа в ${\displaystyle V[G]}$ тогда соответствуют Дедекинд сокращает таких функций, то есть измеримые функции.

Булевозначные модели

Основная статья: Булевозначная модель

Возможно, более ясно, что метод можно объяснить в терминах булевозначных моделей. В них любому утверждению присваивается значение истины из какого-то полного безатомного Булева алгебра, а не просто истинное / ложное значение. Затем ультрафильтр выбирается в этой булевой алгебре, которая присваивает значения true / false утверждениям нашей теории. Дело в том, что получившаяся теория имеет модель, которая содержит этот ультрафильтр, которую можно понимать как новую модель, полученную путем расширения старой модели этим ультрафильтром. Выбрав подходящим образом булевозначную модель, мы можем получить модель с желаемым свойством. В нем только утверждения, которые должны быть истинными ("принудительно" истинными), будут в некотором смысле истинными (поскольку он имеет это свойство расширения / минимальности).

Мета-математическое объяснение

Принуждением мы обычно стремимся показать, что некоторые предложение является последовательный с участием ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ (или, возможно, некоторое расширение ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$). Один из способов интерпретировать этот аргумент - предположить, что ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ непротиворечиво, а затем докажите, что ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ в сочетании с новым предложение также последовательна.

Каждое «условие» - это конечный фрагмент информации. Идея состоит в том, что только конечные фрагменты имеют значение для согласованности, поскольку, согласно теорема компактности, теория выполнима тогда и только тогда, когда выполнено каждое конечное подмножество ее аксиом. Затем мы можем выбрать бесконечный набор согласованных условий для расширения нашей модели. Следовательно, если предположить непротиворечивость ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, мы доказываем непротиворечивость ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ расширенный этим бесконечным множеством.

Логическое объяснение

От Вторая теорема Гёделя о неполноте, невозможно доказать непротиворечивость какой-либо достаточно сильной формальной теории, такой как ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, используя только аксиомы самой теории, если теория не противоречива. Следовательно, математики не пытаются доказать непротиворечивость ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ используя только аксиомы ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, или доказать, что ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ совместима с любой гипотезой ${\displaystyle H}$ используя только ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$. По этой причине цель доказательства непротиворечивости - доказать непротиворечивость ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ относительно последовательности ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$. Такие проблемы известны как проблемы относительная последовательность, один из которых доказывает

(*) ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\rightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H).}$

Общая схема доказательств относительной непротиворечивости приводится ниже. Поскольку любое доказательство конечно, оно использует только конечное число аксиом:

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).}$

Для любого данного доказательства ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ можно проверить справедливость этого доказательства. Это доказывается индукцией по длине доказательства.

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Затем разрешите

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Доказав следующее

(**) ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),}$

можно сделать вывод, что

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),}$

что эквивалентно

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),}$

который дает (*). Суть доказательства относительной непротиворечивости - доказательство (**). А ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ доказательства ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$ можно построить для любого заданного конечного подмножества ${\displaystyle T}$ из ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ аксиомы (автор ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ инструменты конечно). (Нет универсального доказательства ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$ конечно.)

В ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$, доказано, что при любом условии ${\displaystyle p}$, набор формул (оцениваемых по именам) принудительно ${\displaystyle p}$ дедуктивно закрыто. Кроме того, для любого ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ аксиома ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ доказывает, что эта аксиома вынуждена ${\displaystyle \mathbf {1} }$. Тогда достаточно доказать, что существует хотя бы одно условие, заставляющее ${\displaystyle H}$.

В случае булевозначного форсирования процедура аналогична: доказывается, что логическое значение ${\displaystyle H}$ не является ${\displaystyle \mathbf {0} }$.

Другой подход использует теорему отражения. Для любого данного конечного набора ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ аксиомы, есть ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ доказательство того, что этот набор аксиом имеет счетную транзитивную модель. Для любого данного конечного множества ${\displaystyle T}$ из ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ аксиом существует конечное множество ${\displaystyle T'}$ из ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ такие аксиомы, что ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ доказывает, что если счетная транзитивная модель ${\displaystyle M}$ удовлетворяет ${\displaystyle T'}$, тогда ${\displaystyle M[G]}$ удовлетворяет ${\displaystyle T}$. Доказав, что существует конечное множество ${\displaystyle T''}$ из ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ такие аксиомы, что если счетная транзитивная модель ${\displaystyle M}$ удовлетворяет ${\displaystyle T''}$, тогда ${\displaystyle M[G]}$ удовлетворяет гипотезе ${\displaystyle H}$. Тогда для любого данного конечного множества ${\displaystyle T}$ из ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ аксиомы ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ доказывает ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$.

Иногда в (**) более сильная теория ${\displaystyle S}$ чем ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ используется для доказательства ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$. Тогда у нас есть доказательство непротиворечивости ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ относительно последовательности ${\displaystyle S}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})}$, где ${\displaystyle {\mathsf {ZFL}}}$ является ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+V=L}$ (аксиома конструктивности).

Смотрите также

• Список понятий принуждения
• Красивое имя

использованная литература

• Белл, Дж. Л. (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств, Оксфорд. ISBN  0-19-853241-5
• Коэн, П. Дж. (1966). Теория множеств и гипотеза континуума. Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-8053-2327-6.
• Гришин, В. Н. (2001) [1994], «Метод принуждения», Энциклопедия математики, EMS Press
• Кунен, К. (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-85401-8.
• Jech, Томас (2002). Теория множеств: издание третьего тысячелетия. Весна-Верлаг. ISBN  3-540-44085-2.

внешние ссылки

• Книга Ника Уивера Принуждение для математиков был написан для математиков, которые хотят изучить основы форсирования. Не предполагается никакой логической подготовки, за исключением формального синтаксиса, который должен быть второй натурой любого хорошо подготовленного математика.
• Тимоти Чоу статья Руководство по принуждению для начинающих является хорошим введением в концепцию форсинга, избегая множества технических деталей. Эта статья выросла из статьи группы новостей Чоу. Принуждение для чайников. Помимо улучшенного описания, Руководство для начинающих включает раздел, посвященный моделям с логическими значениями.
• Смотрите также Кенни Ишваран статья Веселое введение в принуждение и гипотезу континуума, который также предназначен для новичков, но содержит больше технических деталей, чем статья Чоу.
• Коэн, П. Дж. Независимость гипотезы континуума, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (15 декабря 1963 г.), pp. 1143–1148.
• Коэн, П. Дж. Независимость гипотезы континуума, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (15 января 1964 г.), стр. 105–110.
• Пол Коэн прочитал историческую лекцию Открытие принуждения (Rocky Mountain J. Math. Volume 32, Number 4 (2002), 1071–1100) о том, как он разработал свое доказательство независимости. На связанной странице есть ссылка для загрузки PDF-файла с открытым доступом, но ваш браузер должен отправить референт заголовок со связанной страницы, чтобы получить его.
• Акихиро Канамори: Теория множеств от Кантора до Коэна
• Вайсштейн, Эрик В. "Принуждение". MathWorld.