Класс (теория множеств) - Class (set theory)

В теория множеств и его приложения повсюду математика, а учебный класс это собрание наборы (или иногда другие математические объекты), которые могут быть однозначно определены свойством, общим для всех его членов. Точное определение «класса» зависит от основного контекста. В работе над Теория множеств Цермело – Френкеля, понятие класса неформально, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя аксиоматизируют понятие «надлежащий класс», например, как сущности, не являющиеся членами другой сущности.

Класс, который не является множеством (неформально у Цермело – Френкеля), называется правильный класс, а класс, который является набором, иногда называют малый класс. Например, класс всех порядковые номера, и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.

В теоретико-множественных работах Куайна фраза «окончательный класс» часто используется вместо фразы «надлежащий класс», подчеркивая, что в рассматриваемых им системах определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются последним термином в любой цепочке членства, к которой они принадлежат.

Вне теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним «множества». Это использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не разделялись, как в современной теоретико-множественной терминологии. Многие дискуссии о «классах» в XIX веке и ранее на самом деле относятся к множествам или, скорее, происходят без учета того, что определенные классы могут не быть множествами.

Примеры

Сборник всех алгебраические структуры данного типа обычно будет подходящим классом. Примеры включают в себя класс всех группы, класс всех векторные пространства, и много других. В теория категорий, а категория чья коллекция объекты формирует соответствующий класс (или чей набор морфизмы образует собственный класс) называется большая категория.

В сюрреалистические числа являются надлежащим классом объектов, обладающих свойствами поле.

В рамках теории множеств многие наборы множеств оказываются собственными классами. Примеры включают класс всех множеств, класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел.

Один из способов доказать, что класс является правильным, - это поместить его в биекция с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, при доказательстве отсутствия свободный полная решетка на трех или более генераторы.

Парадоксы

В парадоксы наивной теории множеств можно объяснить с точки зрения непоследовательности молчаливое предположение что «все классы - это множества». Эти парадоксы, имеющие строгую основу, вместо этого предполагают доказательства что определенные классы являются собственными (т. е. что они не являются множествами). Например, Парадокс Рассела предлагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат самих себя, является собственным, и Парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковые номера правильно. С классами парадоксов не возникает, потому что нет понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат самих себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. А конгломерат, с другой стороны, могут иметь собственные классы в качестве членов, хотя теория конгломератов еще не установлен.^{[нужна цитата ]}

Занятия по формальным теориям множеств

Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждая формула с классами должна быть синтаксически сведена к формуле без классов.^[1] Например, можно сократить формулу ${displaystyle A={xmid x=x}}$ к ${displaystyle forall x(xin Aleftrightarrow x=x)}$. Семантически в метаязык, классы можно описать как классы эквивалентности из логические формулы: Если ${displaystyle {mathcal {A}}}$ это структура интерпретируя ZF, затем объектный язык "выражение построителя классов" ${displaystyle {xmid phi }}$ интерпретируется в ${displaystyle {mathcal {A}}}$ сбором всех элементов из домена ${displaystyle {mathcal {A}}}$ на котором ${displaystyle lambda xphi }$ держит; таким образом, класс можно описать как набор всех предикатов, эквивалентных ${displaystyle phi }$ (который включает ${displaystyle phi }$ сам). В частности, можно отождествить «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных ${displaystyle x=x.}$

Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не сразу применяются к классам. Однако если недоступный кардинал ${displaystyle kappa }$ предполагается, то множества меньшего ранга образуют модель ZF (a Вселенная Гротендика ), а его подмножества можно рассматривать как «классы».

В ZF концепция функция также можно обобщить на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле слова, так как это не набор; это скорее формула ${displaystyle Phi (x,y)}$ со свойством, что для любого набора ${displaystyle x}$ есть не более одного набора ${displaystyle y}$ так что пара ${displaystyle (x,y)}$ удовлетворяет ${displaystyle Phi .}$ Например, функция класса, отображающая каждый набор его преемника, может быть выражена формулой ${displaystyle y=xcup {x}.}$ Дело в том, что заказанная пара ${displaystyle (x,y)}$ удовлетворяет ${displaystyle Phi }$ может быть выражено сокращенным обозначением ${displaystyle Phi (x)=y.}$

Другой подход используется аксиомы фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG); классы являются базовыми объектами в этой теории, и набор затем определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования классов NBG ограничены так, что они количественно определяют только множества, а не все классы. Это заставляет NBG быть консервативное расширение ZF.

Теория множеств Морса – Келли допускает правильные классы как базовые объекты, такие как NBG, но также допускает количественную оценку по всем надлежащим классам в своих аксиомах существования классов. Это заставляет MK быть строго сильнее, чем NBG и ZF.

В других теориях множеств, таких как Новые основы или теория полусухие, понятие «собственный класс» по-прежнему имеет смысл (не все классы являются множествами), но критерий множественности не замкнут относительно подмножеств. Например, любая теория множеств с универсальный набор имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.

Примечания

1. "abeq2 - Metamath Proof Explorer". us.metamath.org. 1993-08-05. Получено 2016-03-09.

Рекомендации

• Jech, Thomas (2003), Теория множеств, Springer Monographs in Mathematics (изд. Третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44085-7
• Леви, А. (1979), Основная теория множеств, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Раймонд М. Смуллян, Мелвин Фиттинг, 2010 г., Теория множеств и проблема континуума. Dover Publications ISBN  978-0-486-47484-7.
• Монах Дональд Дж., 1969 г., Введение в теорию множеств. McGraw-Hill Book Co. ISBN  9780070427150.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Установить класс». MathWorld.