Аксиома конструктивности - Axiom of constructibility

В аксиома конструктивности возможно аксиома для теория множеств в математике, которая утверждает, что каждый набор конструктивный. Аксиома обычно записывается как V = L, где V и L обозначить Вселенная фон Неймана и конструируемая вселенная соответственно. Аксиома, впервые исследованная Курт Гёдель, несовместимо с утверждением, что нулевой острый существует и сильнее большие кардинальные аксиомы (увидеть список больших кардинальных свойств ). Обобщения этой аксиомы исследуются в теория внутренней модели.

Последствия

Из аксиомы конструктивности следует аксиома выбора (AC), учитывая Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (ZF). Он также решает многие естественные математические вопросы, которые не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC); например, аксиома конструктивности влечет гипотеза обобщенного континуума, отрицание Гипотеза Суслина, и наличие аналитический (по факту, ${ displaystyle Delta _ {2} ^ {1}}$ ) неизмеримый набор из действительные числа, все из которых не зависят от ZFC.

Аксиома конструктивности подразумевает отсутствие таких большие кардиналы с участием постоянство прочности больше или равно 0^#, в которую входят некоторые «относительно маленькие» крупные кардиналы. Таким образом, кардинал не может быть ω₁-Erds в L. В то время как L действительно содержит начальные порядковые номера этих крупных кардиналов (когда они существуют в супермодели L), и они по-прежнему являются начальными ординалами в L, исключает вспомогательные конструкции (например, меры ), которые наделяют этих кардиналов их большими кардинальными свойствами.

Хотя аксиома конструктивности действительно решает многие теоретико-множественные вопросы, она обычно не принимается в качестве аксиомы теории множеств так же, как аксиомы ZFC. Среди теоретиков множеств реалист Бент, которые верят, что аксиома конструктивности истинна или ложна, большинство считает, что она ложна. Отчасти это связано с тем, что это кажется излишне «ограничивающим», поскольку разрешает только определенные подмножества данного набора без явных оснований полагать, что это все они. Отчасти потому, что аксиоме противоречит достаточно сильное большие кардинальные аксиомы. Эта точка зрения особенно связана с Кабала, или "Калифорнийская школа" как Сахарон Шелах было бы это.

Значение

Основное значение аксиомы конструктивности заключается в том, что Курт Гёдель доказательство родственника последовательность из аксиома выбора и гипотеза обобщенного континуума к Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.. (Доказательство переносится на Теория множеств Цермело – Френкеля, который стал более распространенным в последние годы.)

А именно Гёдель доказал, что ${ Displaystyle V = L}$ относительно непротиворечиво (т.е. если ${ Displaystyle ZFC + (V = L)}$ может доказать противоречие, то может и ${ displaystyle ZF}$ ), а в ${ displaystyle ZF}$

{ displaystyle V = L подразумевает AC land GCH,}

тем самым устанавливая, что AC и GCH также относительно согласованы.

В последующие годы доказательство Гёделя было дополнено Пол Коэн В результате и AC, и GCH являются независимый, т.е. что отрицание этих аксиом ( ${ Displaystyle lnot AC}$ и ${ displaystyle lnot GCH}$ ) также относительно совместимы с теорией множеств ZF.

Утверждения верны в L

Вот список предложений, которые верны в конструируемая вселенная (обозначается L):

В гипотеза обобщенного континуума и как следствие
- В аксиома выбора
Бриллиантовый костюм
- Клубный костюм
Глобальная площадь
Наличие болота
Отрицание Гипотеза суслина
Отсутствие 0^# и как следствие
- Несуществование всего большие кардиналы что подразумевает существование измеримый кардинал
Правда о Гипотеза Уайтхеда что каждый абелева группа А с участием Ext¹(А, Z) = 0 является свободная абелева группа.
Существование определяемого в порядке всех множеств (формулу для которых можно указать явно). Особенно, L удовлетворяет V = HOD.

Принимая аксиому конструктивности (которая утверждает, что каждое множество конструктивный ) эти предложения верны и в Вселенная фон Неймана, решая многие положения теории множеств и некоторые интересные вопросы анализа.

использованная литература

Девлин, Кит (1984). Конструктивность. Springer-Verlag. ISBN 3-540-13258-9.

внешние ссылки

Сколько там реальных чисел?, Кейт Девлин, Математическая ассоциация Америки, Июнь 2001 г.