Функтор Ext - Ext functor

В математика, то Функторы Ext являются производные функторы из Hom функтор. Вместе с Функтор Tor, Ext - одна из основных концепций гомологическая алгебра, в котором идеи из алгебраическая топология используются для определения инвариантов алгебраических структур. В когомологии групп, Алгебры Ли, и ассоциативные алгебры все можно определить в терминах Ext. Название происходит от того, что первая группа Ext Ext¹ классифицирует расширения одного модуль другим.

В частном случае абелевы группы, Ext был представлен Райнхольд Баер (1934). Он был назван Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Маклейн (1942) и применительно к топологии ( теорема об универсальных коэффициентах для когомологий ). Для модулей над любыми звенеть, Ext было определено Анри Картан и Эйленберг в своей книге 1956 г. Гомологическая алгебра.^[1]

Определение

Позволять р быть кольцом и пусть р-Будь категория модулей более р. (Это может означать либо левый р-модули или правая р-модули.) Для фиксированного р-модуль А, позволять Т(B) = Hom_р(А, B) за B в р-Мод. (Здесь Hom_р(А, B) - абелева группа р-линейные карты из А к B; это р-модуль, если р является коммутативный.) Это левый точный функтор из р-Мод для категория абелевых групп Аб, и так имеет право производные функторы р^яТ. Группы Ext - это абелевы группы, определенные формулой

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

для целое число я. По определению это означает: взять любой инъекционное разрешение

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

удалить термин B, и сформировать коцепьевой комплекс:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Для каждого целого числа я, Ext^я
_р(А, B) это когомология этого комплекса на позиции я. Это ноль для я отрицательный. Например, Ext⁰
_р(А, B) это ядро карты Hom_р(А, я⁰) → Hom_р(А, я¹), который изоморфный в Hom_р(А, B).

Альтернативное определение использует функтор грамм(А) = Hom_р(А, B), для фиксированного р-модуль B. Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как точный слева функтор от противоположная категория (р-Мод)^op Аб. Группы Ext определяются как правые производные функторы р^яграмм:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

То есть выбирайте любой проективное разрешение

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

удалить термин А, и образуют комплекс коцепей:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Следующий^я
_р(А, B) - когомологии этого комплекса в позиции я.

Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной или инъективной резольвенты, и что обе конструкции дают одни и те же группы Ext.^[2] Кроме того, для фиксированного кольца р, Ext - функтор по каждой переменной (контравариантный в А, ковариантно в B).

Для коммутативного кольца р и р-модули А и B, Ext^я
_р(А, B) является р-модуль (используя этот Hom_р(А, B) является р-модуль в данном случае). Для некоммутативного кольца р, Ext^я
_р(А, B) является, вообще говоря, только абелевой группой. Если р является алгебра над кольцом S (что означает, в частности, что S коммутативна), то Ext^я
_р(А, B) по крайней мере S-модуль.

Свойства Ext

Вот некоторые из основных свойств и вычислений групп Ext.^[3]

• Ext⁰
  _р(А, B) ≅ Hom_р(А, B) для любого р-модули А и B.

• Ext^я
  _р(А, B) = 0 для всех я > 0, если р-модуль А является проективный (Например, свободный ) или если B является инъективный.

• Верно и обратное:
  • Если Ext¹
    _р(А, B) = 0 для всех B, тогда А проективно (а значит, Ext^я
    _р(А, B) = 0 для всех я > 0).
  • Если Ext¹
    _р(А, B) = 0 для всех А, тогда B инъективно (следовательно, Ext^я
    _р(А, B) = 0 для всех я > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$ для всех я ≥ 2 и все абелевы группы А и B.^[4]

• Если р коммутативное кольцо и ты в р это не делитель нуля, тогда

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

для любого р-модуль B. Здесь B[ты] обозначает ты-кручение подгруппы B, {Икс ∈ B: ux = 0}. Принимая р быть кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$ для любого конечно порожденная абелева группа А.

• Обобщая предыдущий пример, можно вычислять группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любому регулярная последовательность, с использованием Кошульский комплекс.^[5] Например, если р это кольцо многочленов k[Икс₁,...,Икс_п] над полем k, следующий^*
  _р(k,k) это внешняя алгебра S над k на п генераторы в Ext¹. Кроме того, Ext^*
  _S(k,k) - кольцо многочленов р; это пример Кошульская двойственность.

• По общим свойствам производных функторов можно выделить два основных точные последовательности для Ext.^[6] Первый короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 из р-модули индуцируют длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

для любого р-модуль А. Также короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

для любого р-модуль B.

• Ext принимает прямые суммы (возможно, бесконечно) по первой переменной и товары во второй переменной к товарам.^[7] То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Позволять А - конечно порожденный модуль над коммутативным Кольцо Нётериана р. Затем Ext коммутирует с локализация, в том смысле, что для каждого мультипликативно замкнутое множество S в р, каждый р-модуль B, и каждое целое число я,^[8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Ext и расширения

Эквивалентность расширений

Группы Ext получили свое название от их отношения к расширениям модулей. Данный р-модули А и B, расширение А к B короткая точная последовательность р-модули

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Два расширения

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

как говорят эквивалент (как продолжение А к B) если есть коммутативная диаграмма:

Обратите внимание, что Пять лемм означает, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение А к B называется расколоть если он эквивалентен тривиальное расширение

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Существует однозначное соответствие между классы эквивалентности расширений А к B и элементы Ext¹
_р(А, B).^[9] Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext¹
_р(А, B).

Сумма расширений Бэра

В Сумма Бэра явное описание структуры абелевой группы на Ext¹
_р(А, B), рассматриваемого как множество классов эквивалентности расширений А к B.^[10] А именно, учитывая два расширения

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

и

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

сначала сформировать откат над ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Затем сформируйте модуль частного

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

Сумма Бэра E и E ′ это расширение

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

где первая карта ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$ а второй ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$.

Вплоть до эквивалентность расширений, сумма Бэра коммутативна и имеет тривиальное расширение как единичный элемент. Негатив расширения 0 → B → E → А → 0 - расширение, включающее тот же модуль E, но с гомоморфизмом E → А заменен его отрицательным.

Построение Ext в абелевых категориях

Нобуо Йонеда определили абелевы группы Ext^п
_C(А, B) для объектов А и B в любом абелева категория C; это согласуется с определением с точки зрения разрешений, если C имеет достаточно прогнозов или же достаточно инъекций. Во-первых, Ext⁰
_C(А,B) = Hom_C(А, B). Далее Ext¹
_C(А, B) - множество классов эквивалентности расширений А к B, образуя абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие Ext группы Ext^п
_C(А, B) определяются как классы эквивалентности n-расширения, которые являются точными последовательностями

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

под отношение эквивалентности генерируется отношением, которое определяет два расширения

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

если есть карты ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$ для всех м в {1, 2, ..., п} так что каждый результат площадь коммутирует, то есть если есть карта цепи ξ → ξ ', тождественное на А и B.

Сумма двух Бэра п-расширения, как указано выше, формируются путем разрешения ${\displaystyle X''_{1}}$ быть откат из ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X'_{1}}$ над А, и ${\displaystyle X''_{n}}$ быть выталкивание из ${\displaystyle X_{n}}$ и ${\displaystyle X'_{n}}$ под B.^[11] Тогда сумма Бэра расширений равна

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Производная категория и продукт Йонеда

Важным моментом является то, что Ext группы в абелевой категории C можно рассматривать как наборы морфизмов в категории, связанной с C, то производная категория D(C).^[12] Объектами производной категории являются комплексы объектов в C. В частности, есть

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

где объект C рассматривается как комплекс, сосредоточенный в нулевой степени, а [я] означает сдвиг сложного я шаги влево. Из этой интерпретации есть билинейная карта, иногда называемый Йонеда продукт:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

которая является просто композицией морфизмов в производной категории.

Продукт Йонеды можно описать и более элементарно. За я = j = 0, продукт представляет собой композицию карт в категории C. В общем, продукт можно определить путем объединения двух расширений Yoneda.

В качестве альтернативы продукт Yoneda может быть определен с точки зрения разрешения. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть р быть кольцом, с р-модули А, B, C, и разреши п, Q, и Т быть проективными резольвентами А, B, C. Следующий^я
_р(А,B) можно отождествить с группой цепная гомотопия классы цепных отображений п → Q[я]. Продукт Yoneda дается путем составления цепных карт:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Согласно любой из этих интерпретаций, продукт Йонеды ассоциативен. Как результат, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ это градуированное кольцо, для любого р-модуль А. Например, это дает кольцевую структуру на групповые когомологии ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$ поскольку это можно рассматривать как ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$. Также по ассоциативности продукта Йонеда: для любых р-модули А и B, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$ это модуль над ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$.

Важные особые случаи

• Групповые когомологии определяется ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$, куда грамм это группа, M это представление из грамм над целыми числами и ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ это групповое кольцо из грамм.

• Для алгебра А над полем k и А-бимодуль M, Когомологии Хохшильда определяется

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Когомологии алгебры Ли определяется ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ это Алгебра Ли над коммутативным кольцом k, M это ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль и ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ это универсальная обертывающая алгебра.

• Для топологическое пространство Икс, когомологии пучков можно определить как ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$ Здесь Ext берется в абелевой категории снопы абелевых групп на Икс, и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ это связка локально постоянный ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-значные функции.

• Для коммутативного нётерского местное кольцо р с полем вычетов k, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ универсальная обертывающая алгебра градуированная алгебра Ли π * (р) над k, известный как гомотопическая алгебра Ли из р. (Если быть точным, когда k имеет характеристика 2, π * (р) следует рассматривать как «скорректированную алгебру Ли».^[13]) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из Когомологии Андре – Квиллена D*(k/р,k) в π * (р), который является изоморфизмом, если k имеет нулевую характеристику.^[14]

Смотрите также

• глобальное измерение
• разрешение бара
• Группа Гротендик
• Локальная двойственность Гротендика

Примечания

1. Вейбель (1999); Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
2. Weibel (1994), разделы 2.4 и 2.5 и теорема 2.7.6.
3. Weibel (1994), главы 2 и 3.
4. Weibeil (1994), лемма 3.3.1.
5. Weibel (1994), раздел 4.5.
6. Вейбель (1994), определение 2.1.1.
7. Weibel (1994), предложение 3.3.4.
8. Вейбель (1994), лемма 3.3.8.
9. Вейбель (1994), теорема 3.4.3.
10. Вейбель (1994), следствие 3.4.5.
11. Weibel (1994), Vists 3.4.6. Небольшие исправления внесены в опечатка.
12. Weibel (1994), разделы 10.4 и 10.7; Гельфанд и Манин (2003), Глава III.
13. Шёдин (1980), Обозначение 14.
14. Аврамов (2010), раздел 10.2.

Рекомендации

• Аврамов, Лучезар (2010), «Бесконечные бесплатные разрешения», Шесть лекций по коммутативной алгебре, Биркхойзер, стр. 1–108, Дои:10.1007/978-3-0346-0329-4_1, ISBN  978-3-7643-5951-5, МИСТЕР  2641236
• Баер, Рейнхольд (1934), "Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift, 38 (1): 375–416, Дои:10.1007 / BF01170643, Zbl  0009.01101
• Картан, Анри; Эйленберг, Самуэль (1999) [1956], Гомологическая алгебра, Принстон: Princeton University Press, ISBN  0-691-04991-2, МИСТЕР  0077480
• Эйленберг, Самуэль; Маклейн, Сондерс (1942), "Расширения групп и гомологии", Анналы математики, 43 (4): 757–931, Дои:10.2307/1968966, JSTOR  1968966, МИСТЕР  0007108
• Гельфанд, Сергей I .; Манин Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN  978-3-540-43583-9, МИСТЕР  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), "Алгебры Хопфа и дифференцирования", Журнал алгебры, 64: 218–229, Дои:10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-Х, МИСТЕР  0575792
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры» (PDF), История топологии, Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, ISBN  9780444823755, МИСТЕР  1721123