Кошульская двойственность - Koszul duality

В математика, Кошульская двойственность, названный в честь французского математика Жан-Луи Кошул, является любой из различных двойственностей, обнаруженных в теории представлений Алгебры Ли, абстрактные алгебры (полупростая алгебра )^[1] а также топология (например, эквивариантные когомологии^[2]). Пример прототипа, благодаря Джозеф Бернштейн, Израиль Гельфанд, и Сергей Гельфанд,^[3] грубая двойственность между производная категория из симметрическая алгебра и что из внешняя алгебра. Важность этого понятия основывается на подозрении, что двойственность Кошуля кажется вездесущей по своей природе.^{[нужна цитата ]}

Двойственность Кошуля для модулей над алгебрами Кошуля

Самый простой и в некотором смысле прототипический случай двойственности Кошуля возникает следующим образом: для одномерного векторного пространства V над полем k, с двойное векторное пространство ${\displaystyle V^{*}}$, то внешняя алгебра из V имеет две нетривиальные компоненты, а именно

${\displaystyle \bigwedge ^{1}V=V,\bigwedge ^{0}V=k.}$

Эта внешняя алгебра и симметрическая алгебра из ${\displaystyle V^{*}}$, ${\displaystyle Sym(V^{*})}$, служат для построения двухступенчатой цепной комплекс

${\displaystyle V\otimes _{k}Sym(V^{*})\to k\otimes _{k}Sym(V^{*})}$

дифференциал которого индуцирован естественным оценочным отображением

${\displaystyle V\otimes _{k}V^{*}\to k,v\otimes \varphi \mapsto \varphi (v).}$

Выбор основы V, ${\displaystyle Sym(V^{*})}$ можно отождествить с кольцо многочленов в одной переменной, ${\displaystyle k[t]}$, а предыдущий цепной комплекс становится изоморфным комплексу

${\displaystyle k[t]{\stackrel {t}{\to }}k[t]}$

дифференциал которого умножается на т. Это вычисление показывает, что когомологии указанного выше комплекса равны 0 в левом члене и равны k в правильном сроке. Другими словами, k (рассматриваемый как цепной комплекс, сосредоточенный в одной степени) квазиизоморфный с указанным выше комплексом, который обеспечивает тесную связь между внешней алгеброй V и симметрическая алгебра двойственного ему.

Кошул, двойственный к кошулевой алгебре

Кошулева двойственность, трактуемая Александр Бейлинсон, Виктор Гинзбург, и Вольфганг Зергель^[4] можно сформулировать, используя понятие Кошуля алгебра. Пример такой алгебры Кошуля А это симметрическая алгебра ${\displaystyle S(V)}$ на конечномерном векторном пространстве. В более общем смысле можно показать, что любая алгебра Кошуля является квадратичная алгебра, т. е. вида

${\displaystyle A=T(V)/R,}$

куда ${\displaystyle T(V)}$ это тензорная алгебра на конечномерном векторном пространстве, и ${\displaystyle R}$ является подмодулем ${\displaystyle T^{2}(V)=V\otimes V}$. В Кошул двойной то совпадает с квадратичной двойственной

${\displaystyle A^{!}:=T(V^{*})/R'}$

куда ${\displaystyle V^{*}}$ это (k-линейный) дуальный и ${\displaystyle R'\subset V^{*}\otimes V^{*}}$ состоит из тех элементов, на которых элементы р (т.е. отношения в А) исчезают. Кошул, двойственный к ${\displaystyle A=S(V)}$ дан кем-то ${\displaystyle A^{!}=\Lambda (V^{*})}$, то внешняя алгебра на двойном V. В общем, двойственная алгебра Кошуля снова является алгеброй Кошуля. Его противоположное кольцо дается градуированным кольцом самообучения.расширения основного поля k, думали как А-модуль:

${\displaystyle (A^{!})^{\text{opp}}=\operatorname {Ext} _{A}^{*}(k,k).}$

Кошульская двойственность

Если алгебра ${\displaystyle A}$ является кошулем, существует эквивалентность между некоторыми подкатегориями производные категории из оцененный ${\displaystyle A}$- и ${\displaystyle A^{!}}$-модули. Эти подкатегории определяются некоторыми условиями ограниченности градуировки относительно когомологической степени комплекса.

Варианты

В качестве альтернативы переходу к определенным подкатегориям производных категорий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A^{!}}$ чтобы получить эквивалентности, вместо этого можно получить эквивалентности между определенными факторами гомотопических категорий.^[5] Обычно эти факторы больше, чем производная категория, поскольку они получаются путем выделения некоторой подкатегории категории ациклических комплексов, но они имеют то преимущество, что каждый комплекс модулей определяет некоторый элемент категории без необходимости налагать условия ограниченности. Другая переформулировка дает эквивалентность производной категории ${\displaystyle A}$ и «кодообразная» категория коалгебры ${\displaystyle (A^{!})^{*}}$.

Расширение двойственности Кошуля на D-модули утверждает аналогичную эквивалентность производных категорий между dg-модулями над dg-алгебра ${\displaystyle \Omega _{X}}$ из Дифференциалы Kähler на гладком алгебраическое многообразие Икс и ${\displaystyle D_{X}}$-модули.^[6][7][8]

Кошульская двойственность для опер

Расширение упомянутого выше понятия двойственности Кошуля было сформулировано Гинзбургом и Капрановым, которые ввели понятие квадратичной операда и определил квадратичный двойник такой операды.^[9] Грубо говоря, операда - это алгебраическая структура, состоящая из объекта п-очень операции для всех п. Алгебра над операдой - это объект, на котором эти п- акт об операциях. Например, есть операда под названием ассоциативная операда чьи алгебры являются ассоциативными алгебрами, то есть, в зависимости от конкретного контекста, некоммутативными кольцами (или, в зависимости от контекста, некоммутативными градуированными кольцами, дифференциальными градуированными кольцами). Алгебры над так называемыми коммутативная операда являются коммутативными алгебрами, т.е. коммутативными (возможно, градуированными, дифференциально градуированными) кольцами. Еще один пример - Ложь операда чьи алгебры Алгебры Ли. Упомянутая выше квадратичная двойственность такова, что ассоциативная операда самодуальна, а коммутативная операда и операда Ли соответствуют друг другу при этой двойственности.

Двойственность Кошуля для операд устанавливает эквивалентность алгебр над дуальными операдами. Частный случай ассоциативных алгебр возвращает функтор ${\displaystyle A\mapsto A^{!}}$ упомянутый выше.

Смотрите также

• Алгебра Зинбиеля

Примечания

1. Бен Вебстер, Алгебры Кошуля и двойственность Кошуля. 1 ноября 2007 г.
2. Марк Горески, Роберт Коттвиц, и Роберт Макферсон. Эквивариантные когомологии, двойственность Кошуля и теорема локализации. Inventiones Mathematicae 131 (1998).
3. Джозеф Бернштейн, Израиль Гельфанд, и Сергей Гельфанд. Алгебраические расслоения над ${\displaystyle P^{n}}$ и задачи линейной алгебры. Функц. Анальный. Прилож. 12 (1978); Английский перевод в Функциональном анализе и его приложениях 12 (1978), 212-214
4. Александр Бейлинсон, Виктор Гинзбург, Вольфганг Зергель. Паттерны двойственности Кошуля в теории представлений, Журнал Американского математического общества 9 (1996), нет. 2, 473-527.
5. Флёйстад, Гуннар (01.01.2006). «Кошулевская двойственность и эквивалентности категорий». Труды Американского математического общества. 358 (6): 2373–2398. Дои:10.1090 / S0002-9947-05-04035-3. ISSN  0002-9947.
6. Капранов М.М. О DG-модулях над комплексом де Рама и функторе исчезающих циклов. Алгебраическая геометрия (Чикаго, Иллинойс, 1989), 57–86, Конспект лекций по математике, 1479, Springer, Берлин, 1991.
7. Посицельский, Леонид: arXiv:0905.2621 Два вида производных категорий: двойственность Кошуля и соответствие между модулями и модулями., Mem. Амер. Математика. Soc. 212 (2011), нет. 996, vi + 133 с. ISBN  978-0-8218-5296-5см. Приложение B
8. Фальтингс, Герд; Чай, Чинг-Ли. Вырождение абелевых разновидностей. С приложением Дэвид Мамфорд. Springer-Verlag, Берлин, 1990. xii + 316 с. ISBN  3-540-52015-5. Раздел VI.3
9. Гинзбург, Виктор; Капранов Михаил. Кошулевская двойственность для опер. Duke Math. J. 76 (1994), нет. 1, 203–272.

Рекомендации

• Придди, Стюарт Б. Кошульские резолюции. Труды Американского математического общества 152 (1970), 39–60.

внешняя ссылка

• http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXXIII-Koszul.pdf
• http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/Soergel.pdf
• http://arxiv.org/pdf/1109.6117v1.pdf