Полупростая алгебра - Semisimple algebra

Смотрите также: Полупростой модуль

В теория колец, раздел математики, полупростая алгебра является ассоциативный артистичный алгебра над поле который имеет тривиальный Радикал Якобсона (только нулевой элемент алгебры находится в радикале Джекобсона). Если алгебра конечномерна, это равносильно утверждению, что она может быть выражена как декартово произведение простые подалгебры.

Определение

В Радикал Якобсона алгебры над полем - это идеал, состоящий из всех элементов, аннулирующих каждый простой левый модуль. Радикал содержит все нильпотентные идеалы, а если алгебра конечномерна, то сам радикал является нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра тогда называется полупростой если его радикал содержит только нулевой элемент.

Алгебра А называется просто если у него нет настоящих идеалов и А² = {ab | а, б ∈ А} ≠ {0}. Согласно терминологии, простые алгебры полупросты. Единственно возможные идеалы простой алгебры А находятся А и {0}. Таким образом, если А просто, то А не является нильпотентным. Потому что А² это идеал А и А это просто, А² = А. По индукции А^п = А для каждого положительного целого числа п, т.е. А не является нильпотентным.

Любая самосопряженная подалгебра А из п × п матрицы со сложными элементами полупроста. Пусть Rad (А) быть радикалом А. Предположим матрицу M находится в рад (А). потом М * М лежит в каких-то нильпотентных идеалах А, следовательно (М * М)^k = 0 для некоторого положительного целого числа k. По положительно-полуопределенности М * М, Из этого следует М * М = 0. Итак M x нулевой вектор для всех Икс, т.е. M = 0.

Если {А_я} - конечный набор простых алгебр, то их декартово произведение ∏ А_я полупростой. Если (а_я) является элементом Rad (А) и е₁ является мультипликативным тождеством в А₁ (все простые алгебры обладают мультипликативным тождеством), то (а₁, а₂, ...) · (е₁, 0, ...) = (а₁, 0 ..., 0) лежит в некотором нильпотентном идеале of А_я. Это означает, что для всех б в А₁, а₁б нильпотентен в А₁, т.е. а₁ ∈ Rad (А₁). Так а₁ = 0. Аналогично а_я = 0 для всех остальных я.

Из определения менее очевидно, что верно и обратное к вышеизложенному, то есть любая конечномерная полупростая алгебра изоморфна декартову произведению конечного числа простых алгебр. Ниже приводится полупростая алгебра, которая не имеет такой формы. Позволять А - алгебра с Rad (А) ≠ А. Фактор-алгебра B = А ⁄ рад (А) полупросто: если J является ненулевым нильпотентным идеалом в B, то его прообраз при естественном отображении проекции является нильпотентным идеалом в А что строго больше Rad (А); противоречие.

Характеристика

Позволять А - конечномерная полупростая алгебра, а

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}\subset A}$

быть серия композиций из А, тогда А изоморфна следующему декартову произведению:

${\displaystyle A\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}\times ...\times J_{n}/J_{n-1}\times A/J_{n}}$

где каждый

${\displaystyle J_{i+1}/J_{i}\,}$

это простая алгебра.

Доказательство можно схематично изложить следующим образом. Во-первых, используя предположение, что А полупросто, можно показать, что J₁ является простой алгеброй (следовательно, унитальной). Так J₁ является унитальной подалгеброй и идеалом J₂. Следовательно, можно разложить

${\displaystyle J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}.}$

По максимальности J₁ как идеал в J₂ а также полупростота А, алгебра

${\displaystyle J_{2}/J_{1}\,}$

это просто. Аналогичным образом индукция доказывает утверждение. Например, J₃ является декартовым произведением простых алгебр

${\displaystyle J_{3}\simeq J_{2}\times J_{3}/J_{2}\simeq J_{1}\times J_{2}/J_{1}\times J_{3}/J_{2}.}$

Приведенный выше результат можно переформулировать иначе. Для полупростой алгебры А = А₁ ×...× А_п выраженный в терминах простых факторов, рассмотрим единицы е_я ∈ А_я. Элементы E_я = (0,...,е_я, ..., 0) являются идемпотентные элементы в А и они лежат в центре А. Более того, E_я А = А_я, E_яE_j = 0 для я ≠ j, и Σ E_я = 1 мультипликативное тождество в А.

Следовательно, для любой полупростой алгебры А, существуют идемпотенты {E_я} в центре А, так что

1. E_яE_j = 0 для я ≠ j (такой набор идемпотентов называется центральный ортогональный ),
2. Σ E_я = 1,
3. А изоморфно декартову произведению простых алгебр E₁ А ×...× E_п А.

Классификация

Теорема из Джозеф Веддерберн полностью классифицирует конечномерные полупростые алгебры над полем ${\displaystyle k}$. Любая такая алгебра изоморфна конечному произведению ${\displaystyle \prod M_{n_{i}}(D_{i})}$ где ${\displaystyle n_{i}}$ натуральные числа, ${\displaystyle D_{i}}$ находятся алгебры с делением над ${\displaystyle k}$, и ${\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})}$ это алгебра ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ матрицы над ${\displaystyle D_{i}}$. Этот продукт уникален до перестановки факторов.^[1]

Позднее эта теорема была обобщена Эмиль Артин к полупростым кольцам. Этот более общий результат называется Теорема Артина-Веддерберна.

Рекомендации

1. Энтони Кнапп (2007). Продвинутая алгебра, гл. II: Теория колец Веддерберна-Артина (PDF). Springer Verlag.

Энциклопедия математики Спрингера