Композиция серии - Composition series

В абстрактная алгебра, а серия композиций предоставляет способ разбить алгебраическая структура, например группа или модуль, на простые части. Необходимость рассмотрения композиционных рядов в контексте модулей возникает из-за того, что многие естественные модули не являются полупростой, следовательно, не может быть разложен на прямая сумма из простые модули. Составная серия модуля M конечный возрастающий фильтрация из M к подмодули такие, что последовательные частные просто и служит заменой разложения в прямую сумму M на простые составляющие.

Серии композиций могут не существовать, а когда они существуют, они не обязательно должны быть уникальными. Тем не менее группа результатов, известная под общим названием Теорема Жордана – Гёльдера утверждает, что всякий раз, когда существует композиционный ряд, классы изоморфизма простых фигур (хотя, пожалуй, не их место расположения в рассматриваемом композиционном ряду) и их кратности определены однозначно. Таким образом, ряды композиций могут использоваться для определения инвариантов конечные группы и Артинианские модули.

Связанная, но отличная концепция - это главный сериал: серия композиций - это максимальная субнормальный серии, а главный ряд - максимальный нормальная серия.

Для групп

Если группа грамм имеет нормальная подгруппа N, то факторная группа грамм/N могут быть сформированы, и некоторые аспекты исследования структуры грамм можно разбить на более мелкие группы G / N и N. Если грамм не имеет нормальной подгруппы, отличной от грамм и из тривиальной группы, то грамм это простая группа. В противном случае, естественно, возникает вопрос: грамм можно свести к простым «частям», и если да, то есть ли какие-нибудь уникальные особенности того, как это можно сделать?

Более формально серия композиций из группа грамм это субнормальный ряд конечной длины

{ Displaystyle 1 = Н_ {0} треугольник слева Н_ {1} треугольник слева cdots треугольник слева Н_ {п} = G,}

со строгими включениями, так что каждый ЧАС_я это максимальный строгая нормальная подгруппа ЧАС_я+1. Эквивалентно, композиционный ряд - это субнормальный ряд, в котором каждая группа факторов ЧАС_я+1 / ЧАС_я является просто. Факторные группы называются факторы состава.

Субнормальный ряд - это композиционный ряд если и только если он максимальной длины. То есть нет дополнительных подгрупп, которые можно «вставить» в композиционный ряд. Длина п серии называется длина композиции.

Если для группы существует серия композиций грамм, то любая субнормальная серия грамм возможно изысканный в композиционный ряд, неформально, путем вставки подгрупп в ряд до максимума. Каждый конечная группа есть серия композиций, но не каждый бесконечная группа есть один. Например, ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ не имеет композиционной серии.

Единственность: теорема Жордана – Гёльдера.

В группе может быть несколько композиционных серий. Тем не менее Теорема Жордана – Гёльдера (названный в честь Камилла Джордан и Отто Гёльдер ) утверждает, что любые две композиционные серии данной группы эквивалентны. То есть они имеют одинаковую композиционную длину и одинаковые композиционные факторы, вплоть до перестановка и изоморфизм. Эту теорему можно доказать с помощью Уточняющая теорема Шрайера. Теорема Жордана – Гёльдера верна также для трансфинитный Восходящий композиционный ряд, но не трансфинитный нисходящий композиционная серия (Биркгоф 1934 ). Баумслаг (2006) дает краткое доказательство теоремы Жордана – Гёльдера путем пересечения членов одного субнормального ряда с членами другого ряда.

Пример

Для циклическая группа порядка п, композиционные ряды соответствуют упорядоченным разложениям на простые множители п, и фактически дает доказательство основная теорема арифметики.

Например, циклическая группа ${ displaystyle C_ {12}}$ имеет ${ Displaystyle C_ {1} треугольникleft C_ {2} треугольникleft C_ {6} треугольникleft C_ {12}, , C_ {1} треугольникleft C_ {2} треугольникleft C_ {4} треугольникleft C_ {12 },}$ и ${ Displaystyle C_ {1} треугольникleft C_ {3} треугольникleft C_ {6} треугольникleft C_ {12}}$ в виде трех разных композиционных серий. Последовательности композиционных факторов, полученные в соответствующих случаях, равны ${ Displaystyle C_ {2}, C_ {3}, C_ {2}, , C_ {2}, C_ {2}, C_ {3},}$ и ${ displaystyle C_ {3}, C_ {2}, C_ {2}.}$

Для модулей

Определение композиционных рядов для модулей ограничивает все внимание подмодулями, игнорируя все аддитивные подгруппы, которые нет подмодули. Учитывая кольцо р и р-модуль M, серия композиций для M это серия подмодулей

{ Displaystyle {0 } = J_ {0} subset cdots subset J_ {n} = M}

где все включения строгие и J_k является максимальным подмодулем J_k+1 для каждого k. Что касается групп, если M вообще имеет композиционный ряд, то любой конечный строго возрастающий ряд подмодулей M может быть уточнен до серии композиций, а любые две серии композиций для M эквивалентны. В этом случае (простые) фактор-модули J_k+1/J_k известны как факторы состава из М, и выполняется теорема Жордана – Гёльдера, гарантирующая, что число вхождений каждого типа изоморфизма простых р-модуль как композиционный фактор не зависит от выбора композиционного ряда.

Это хорошо известно^[1] что модуль имеет конечный композиционный ряд тогда и только тогда, когда он является одновременно Артинианский модуль и Нётерский модуль. Если р является Артинианское кольцо, то каждая конечно порожденная р-модуль артинов и нетеров, поэтому имеет конечный композиционный ряд. В частности, для любого поля K, любой конечномерный модуль для конечномерной алгебры над K имеет композиционный ряд, уникальный с точностью до эквивалентности.

Обобщение

Группы с набором операторов обобщать групповые действия и звонить в группу. Можно следовать единому подходу как к группам, так и к модулям, как в (Айзекс 1994, Гл. 10), что упрощает изложение. Группа грамм рассматривается как действие элементов (операторов) из набора Ω. Внимание целиком ограничивается подгруппами, инвариантными под действием элементов из Ω, называется Ω-подгруппы. Таким образом Ω-композиция серии должна использовать только Ω подгруппы и Ω-композиционные факторы должны быть только Ω-простыми. Стандартные результаты выше, такие как теорема Жордана – Гёльдера, устанавливаются с почти идентичными доказательствами.

Восстановленные частные случаи включают, когда Ω = грамм так что грамм действует на себя. Важный пример этого - когда элементы грамм действуют сопряжением, так что набор операторов состоит из внутренние автоморфизмы. Композиционный ряд под этим действием - это в точности главный сериал. Модульные структуры - это случай Ω-действий, где Ω - кольцо и выполняются некоторые дополнительные аксиомы.

Для объектов абелевой категории

А серия композиций из объект А в абелева категория это последовательность подобъектов

{ Displaystyle A = X_ {0} supsetneq X_ {1} supsetneq dots supsetneq X_ {n} = 0}

так что каждый частный объект Икс_я /Икс_я + 1 является просто (за 0 ≤ я < п). Если А имеет композиционную серию, целое число п зависит только от А и называется длина из А.^[2]

Смотрите также

Теория Крона – Родса, полугрупповой аналог
Уточняющая теорема Шрайера, любые два эквивалентных субнормальный ряд иметь эквивалентные уточнения композиционного ряда
Лемма Цассенхауза, используемый для доказательства теоремы Шрайера об уточнении

Примечания

^ Айзекс 1994, с.146.
^ Кашивара и Шапира 2006, упражнение 8.20