Абелева категория - Abelian category
В математика, абелева категория это категория в котором морфизмы и объекты могут быть добавлены и в котором ядра и коядра существуют и имеют желаемые свойства. Мотивационным прототипическим примером абелевой категории является категория абелевых групп, Ab. Теория возникла как попытка объединить несколько теории когомологий от Александр Гротендик и независимо в более ранней работе Дэвид Бухсбаум. Абелевы категории очень стабильный категории; например они регулярный и они удовлетворяют лемма о змеях. В класс абелевых категорий замкнута по нескольким категориальным конструкциям, например, категория цепные комплексы абелевой категории, или категории функторы из малая категория в абелеву категорию тоже абелевы. Эти свойства стабильности делают их неизбежными в гомологическая алгебра и дальше; теория имеет важные приложения в алгебраическая геометрия, когомология и чистый теория категорий. Абелевы категории названы в честь Нильс Хенрик Абель.
Определения
Категория есть абелевский если это предаддитив и
- оно имеет нулевой объект,
- он имеет все двоичные побочные продукты,
- в нем есть все ядра и коядра, и
- все мономорфизмы и эпиморфизмы находятся нормальный.
Это определение эквивалентно[1] к следующему "частичному" определению:
- Категория есть предаддитив если это обогащенный над моноидальная категория Ab из абелевы группы. Это означает, что все домашние наборы являются абелевыми группами, а композиция морфизмов билинейный.
- Предаддитивная категория добавка если каждый конечный набор объектов имеет побочный продукт. Это означает, что мы можем сформировать конечные прямые суммы и прямые продукты. В [2] Def. 1.2.6 требуется, чтобы аддитивная категория имела нулевой объект (пустой бипродукт).
- Аддитивная категория - это преабелийский если каждый морфизм имеет как ядро и коядро.
- Наконец, преабелева категория - это абелевский если каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм является нормальный. Это означает, что каждый мономорфизм является ядром некоторого морфизма, а каждый эпиморфизм является коядром некоторого морфизма.
Отметим, что обогащенная структура на домашние наборы это следствие из первых трех аксиомы первого определения. Это подчеркивает основополагающую значимость категории Абелевы группы в теории и ее каноничности.
Концепция чего-либо точная последовательность возникает естественным образом в этой обстановке, и оказывается, что точные функторы, то есть функторы, сохраняющие точные последовательности в различных смыслах, являются соответствующими функторами между абелевыми категориями. Эта точность концепция была аксиоматизирована в теории точные категории, образуя особый случай обычные категории.
Примеры
- Как упоминалось выше, категория всех абелевых групп является абелевой категорией. Категория всех конечно порожденные абелевы группы также является абелевой категорией, как и категория всех конечных абелевых групп.
- Если р это кольцо, то категория всех левых (или правых) модули над р - абелева категория. Фактически, можно показать, что любая малая абелева категория эквивалентна полная подкатегория такой категории модулей (Теорема вложения Митчелла ).
- Если р левыйнётерское кольцо, то категория конечно порожденный оставил модули над р абелева. В частности, категория конечно порожденных модулей над нётеровым коммутативное кольцо абелева; таким образом, абелевы категории появляются в коммутативная алгебра.
- В качестве частных случаев двух предыдущих примеров: категория векторные пространства за фиксированный поле k абелева, как и категория конечныхразмерный векторные пространства над k.
- Если Икс это топологическое пространство, то категория всех (реальных или сложных) векторные пучки на Икс обычно не является абелевой категорией, поскольку могут быть мономорфизмы, не являющиеся ядрами.
- Если Икс это топологическое пространство, то категория всех снопы абелевых групп на Икс - абелева категория. В более общем смысле, категория пучков абелевых групп на Сайт Гротендика - абелева категория. Таким образом, абелевы категории появляются в алгебраическая топология и алгебраическая геометрия.
- Если C это малая категория и А абелева категория, то категория всех функторов от C к А образует абелеву категорию. Если C маленький и предаддитив, то категория всех аддитивные функторы от C к А также образует абелеву категорию. Последний является обобщением р- пример модуля, поскольку кольцо можно понимать как предаддитивную категорию с одним объектом.
Аксиомы Гротендика
В его Статья Тохоку, Гротендик перечислил четыре дополнительных аксиомы (и двойственных к ним), которые абелева категория А может удовлетворить. Эти аксиомы широко используются по сей день. Это следующие:
- AB3) Для каждого индексированного семейства (Ая) объектов А, то сопродукт *Ая существует в А (т.е. А является завершенный ).
- AB4) А удовлетворяет AB3), а копроизведение семейства мономорфизмов является мономорфизмом.
- AB5) А удовлетворяет AB3), и отфильтрованные копределы из точные последовательности точны.
и их двойники
- AB3 *) Для каждого индексированного семейства (Ая) объектов А, то товар пАя существует в А (т.е. А является полный ).
- AB4 *) А удовлетворяет AB3 *), и произведение семейства эпиморфизмов является эпиморфизмом.
- AB5 *) А удовлетворяет AB3 *), и отфильтрованные пределы точных последовательностей точны.
Также были даны аксиомы AB1) и AB2). Именно они делают аддитивную категорию абелевой. В частности:
- AB1) Каждый морфизм имеет ядро и коядро.
- AB2) Для любого морфизма ж, канонический морфизм от coim ж мне ж является изоморфизм.
Гротендик также дал аксиомы AB6) и AB6 *).
- AB6) А удовлетворяет AB3), и учитывая семейство фильтрованных категорий и карты , у нас есть , где lim обозначает отфильтрованный копредел.
- AB6 *) А удовлетворяет AB3 *), и учитывая семейство кофильтрованных категорий и карты , у нас есть , где lim обозначает кофильтрованный предел.
Элементарные свойства
Учитывая любую пару А, B объектов в абелевой категории существует особая нулевой морфизм от А к B. Это можно определить как нуль элемент домашний набор Hom (А,B), поскольку это абелева группа; в качестве альтернативы ее можно определить как единственную композицию А → 0 → B, где 0 - нулевой объект абелевой категории.
В абелевой категории каждый морфизм ж можно записать как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Этот эпиморфизм называется coimage из ж, а мономорфизм называется образ из ж.
Подобъекты и частные объекты находятся хорошо воспитанный в абелевых категориях, например посеть подобъектов любого данного объекта А это ограниченная решетка.
Каждая абелева категория А это модуль над моноидальной категорией конечно порожденных абелевых групп; то есть мы можем сформировать тензорное произведение конечно порожденной абелевой группы г и любой объект А из ААбелева категория также является комодуль; Hom (г,А) можно интерпретировать как объект А.Если А является полный, то мы можем убрать требование, чтобы г быть конечно порожденным; в большинстве случаев мы можем сформировать финишный обогащенные пределы в А.
Связанные понятия
Абелевы категории являются наиболее общей установкой для гомологическая алгебра. Все конструкции, используемые в этой области, относятся к делу, например, точные последовательности и особенно короткие точные последовательности, и производные функторы Важные теоремы, применимые ко всем абелевым категориям, включают пять лемм (и лемма короткая пятерка как частный случай), а также лемма о змеях (и девять лемм как частный случай).
Полупростые абелевы категории
Абелева категория называется полупростой если есть коллекция объектов называется простые объекты (имеется в виду единственные подобъекты любого нулевой объект и сам) так, что объект можно разложить как прямая сумма (обозначая сопродукт абелевой категории)
Это техническое условие довольно сильное и исключает многие природные примеры абелевых категорий, встречающиеся в природе. Например, большинство категорий модулей не являются полупростыми, за исключением категории векторных пространств над полем.
Примеры
Некоторые абелевы категории, встречающиеся в природе, полупросты, например
- Категория векторные пространства над фиксированным полем
- От Теорема Машке категория представлений конечной группы над полем характеристика которого не разделяет полупростая абелева категория.
- Категория когерентные пучки на Нётерян схема полупросто тогда и только тогда, когда - конечное непересекающееся объединение неприводимых точек. Это эквивалентно конечному копроизведению категорий векторных пространств над различными полями. Показать, что это правда в прямом направлении, эквивалентно отображению всех группы исчезают, что означает когомологическая размерность равно 0. Это происходит только тогда, когда небоскреб сгибается. в какой-то момент имеют Касательное пространство Зарисского равный нулю, что изоморфно с помощью локальная алгебра по такой схеме.[3]
Не примеры
Действительно, существуют некоторые естественные контрпримеры абелевых категорий, которые не являются полупростыми, например, определенные категории представления. Например, категория представлений Группа Ли имеет представление
который имеет только одно субпредставление измерения . На самом деле это верно для любого унипотентная группа[4]стр.112.
Подкатегории абелевых категорий
Существует множество типов (полных, аддитивных) подкатегорий абелевых категорий, встречающихся в природе, а также некоторые противоречивые термины.
Позволять А быть абелевой категорией, C полная, аддитивная подкатегория и я функтор включения.
- C является точной подкатегорией, если она сама является точная категория и включение я является точный функтор. Это происходит тогда и только тогда, когда C закрыт под откаты эпиморфизмов и выталкивания мономорфизмов. Точные последовательности в C таким образом, точные последовательности в А для которого все объекты лежат в C.
- C является абелевой подкатегорией, если она сама является абелевой категорией и включение я является точный функтор. Это происходит тогда и только тогда, когда C закрывается при приеме ядер и коядров. Обратите внимание, что есть примеры полных подкатегорий абелевой категории, которые сами являются абелевыми, но у которых функтор включения не точен, поэтому они не являются абелевыми подкатегориями (см. Ниже).
- C является толстой подкатегорией, если она замкнута относительно взятия прямых слагаемых и удовлетворяет свойству 2 из 3 на коротких точных последовательностях; то есть, если это короткая точная последовательность в А так что два из роды C, то же самое и с третьим. Другими словами, C замкнуто относительно ядер эпиморфизмов, коядров мономорфизмов и расширений. Обратите внимание, что П. Габриэль использовал термин толстая подкатегория чтобы описать то, что мы здесь называем Подкатегория Серра.
- C является топологизирующей подкатегорией, если она закрыта подкомпоненты.
- C это Подкатегория Серра если для всех коротких точных последовательностей в А у нас есть M в C если и только если оба находятся в C. Другими словами, C закрывается относительно расширений и подкомпоненты. Эти подкатегории являются в точности ядрами точных функторов из А в другую абелеву категорию.
- C это локализация подкатегории если это подкатегория Серра такая, что фактор-функтор признает правый смежный.
- Есть два конкурирующих понятия широкой подкатегории. Одна версия заключается в том, что C содержит каждый объект А (с точностью до изоморфизма); для полной подкатегории это явно не интересно. (Это также называется lluf подкатегория.) Другая версия заключается в том, что C закрывается под расширениями.
Вот явный пример полной аддитивной подкатегории абелевой категории, которая сама является абелевой, но функтор включения не точен. Позволять k быть полем, алгебра верхнетреугольных матрицы над k, и категория конечномерных -модули. Тогда каждый - абелева категория, и у нас есть функтор включения определение простых проективных, простых инъективных и неразложимых проективно-инъективных модулей. Существенный образ я это полная аддитивная подкатегория, но я не совсем.
История
Абелевы категории были введены Бухсбаум (1955) (под названием «точная категория») и Гротендик (1957) для объединения различных теорий когомологий. В то время существовала теория когомологий для снопы, и теория когомологий для группы. Эти двое были определены по-разному, но обладали схожими свойствами. Фактически, большая часть теория категорий был разработан как язык для изучения этих сходств. Гротендик объединил две теории: обе возникают как производные функторы по абелевым категориям; абелева категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве и абелева категория г-модули для данной группы г.
использованная литература
- ^ Питер Фрейд, Абелевы категории
- ^ Справочник по категориальной алгебре, т. 2, Ф. Борсё
- ^ "Алгебраическая геометрия - Касательное пространство в точке и Первая Ext группа". Обмен стеками математики. Получено 2020-08-23.
- ^ Хамфрис, Джеймс Э. (2004). Линейные алгебраические группы. Springer. ISBN 0-387-90108-6. OCLC 77625833.
- Бухсбаум, Дэвид А. (1955), «Точные категории и двойственность», Труды Американского математического общества, 80 (1): 1–34, Дои:10.1090 / S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, Г-Н 0074407
- Фрейд, Питер (1964), Абелевы Категории, Нью-Йорк: Харпер и Роу
- Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, Вторая серия, 9: 119–221, Дои:10.2748 / tmj / 1178244839, ISSN 0040-8735, Г-Н 0102537
- Митчелл, Барри (1965), Теория категорий, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса
- Попеску, Николае (1973), Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса