Когомологическое измерение - Cohomological dimension

В абстрактная алгебра, когомологическая размерность инвариант группа который измеряет гомологическую сложность его представлений. Он имеет важные приложения в геометрическая теория групп, топология, и алгебраическая теория чисел.

Когомологическая размерность группы

Как и большинство когомологических инвариантов, когомологическая размерность предполагает выбор «кольца коэффициентов» р, с выдающимся частным случаем, данным р = Z, кольцо целые числа. Позволять грамм быть дискретная группа, р ненулевой звенеть с единицей, и RG то групповое кольцо. Группа грамм имеет когомологическая размерность меньше или равна п, обозначается cd_р(грамм) ≤ п, если тривиальный RG-модуль р имеет проективное разрешение длины п, т.е. есть проективный RG-модули п₀, ..., п_п и RG-модульные гомоморфизмы d_k: п_k${\displaystyle \to }$п_k − 1 (k = 1, ..., п) и d₀: п₀${\displaystyle \to }$р, так что изображение d_k совпадает с ядром d_k − 1 за k = 1, ..., п и ядро d_п тривиально.

Эквивалентно когомологическая размерность меньше или равна п если для произвольного RG-модуль M, то когомология из грамм с коэффициентами в M исчезает в градусах k > п, то есть, ЧАС^k(грамм,M) = 0 всякий раз, когда k > п. В п-когомологическая размерность простых п аналогично определяется в терминах п-торсионные группы ЧАС^k(грамм,M){п}.^[1]

Наименьший п такая, что когомологическая размерность грамм меньше или равно п это когомологическая размерность из грамм (с коэффициентами р), который обозначается ${\displaystyle n=\operatorname {cd} _{R}(G)}$.

Бесплатное разрешение ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ можно получить из свободное действие группы грамм на стягиваемое топологическое пространство Икс. В частности, если Икс договорная CW комплекс измерения п со свободным действием дискретной группы грамм который переставляет клетки, тогда ${\displaystyle \operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n}$.

Примеры

Пусть в первой группе примеров кольцо р коэффициентов быть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

• А свободная группа имеет когомологическую размерность один. Как показано Джон Столлингс (для конечно порожденной группы) и Ричард Свон (в полной общности) это свойство характеризует свободные группы. Этот результат известен как теорема Столлингса – Суона.^[2] Теорема Столлингса-Суона для группы G говорит, что G свободна тогда и только тогда, когда каждая расширение по G с абелевым ядром расщепляется.^[3]
• В фундаментальная группа из компактный, связаны, ориентируемый Риманова поверхность кроме сфера имеет когомологическую размерность два.
• В более общем смысле, фундаментальная группа замкнутого связного ориентируемого асферический многообразие из измерение п имеет когомологическую размерность п. В частности, фундаментальная группа замкнутого ориентируемого гиперболического п-многообразие имеет когомологическую размерность п.
• Нетривиальный конечные группы имеют бесконечную когомологическую размерность над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. В более общем смысле то же самое верно для групп с нетривиальными кручение.

Теперь рассмотрим случай общего кольца р.

• Группа грамм имеет когомологическую размерность 0 тогда и только тогда, когда его групповое кольцо RG является полупростой. Таким образом, конечная группа имеет когомологическую размерность 0 тогда и только тогда, когда ее порядок (или, что то же самое, порядки ее элементов) обратим в р.
• Обобщение теоремы Столлингса – Свона для ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$, Мартин Данвуди доказал, что группа имеет когомологическую размерность не более единицы над произвольным кольцом р тогда и только тогда, когда это фундаментальная группа связного граф конечных групп чьи порядки обратимы в р.

Когомологическая размерность поля

В п-когомологическая размерность поля K это п-когомологическое измерение Группа Галуа из отделяемое закрытие из K.^[4] Когомологическая размерность K это супремум п-когомологическая размерность по всем простым числам п.^[5]

Примеры

• Каждое поле ненулевого характеристика п имеет п-когомологическая размерность не более 1.^[6]
• Каждое конечное поле имеет абсолютная группа Галуа изоморфен ${\displaystyle \mathbf {\hat {Z}} }$ и поэтому имеет когомологическую размерность 1.^[7]
• Сфера формальных Серия Laurent ${\displaystyle k((t))}$ над алгебраически замкнутое поле k ненулевой характеристики также имеет абсолютную группу Галуа, изоморфную ${\displaystyle \mathbf {\hat {Z}} }$ а значит, когомологическая размерность 1.^[7]

Смотрите также

• Гипотеза Эйленберга-Ганея
• Групповые когомологии
• Глобальное измерение

Рекомендации

1. Гилле и Самуэли (2006) стр.136
2. Баумслаг, Гилберт (2012). Разделы комбинаторной теории групп. Springer Basel AG. п. 16.
3. Грюнберг, Карл В. (1975). "Обзор Гомологии в теории групп Урса Штаммбаха ". Бюллетень Американского математического общества. 81: 851–854. Дои:10.1090 / S0002-9904-1975-13858-4.
4. Шац (1972) с.94
5. Гилле и Самуэли (2006) стр.138
6. Гилле и Самуэли (2006) стр.139
7. Гилле и Самуэли (2006) стр.140

• Браун, Кеннет С. (1994). Когомологии групп. Тексты для выпускников по математике. 87 (Исправленная перепечатка оригинального издания 1982 г.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90688-6. МИСТЕР  1324339. Zbl  0584.20036.
• Дикс, Уоррен (1980). Группы, деревья и проективные модули. Конспект лекций по математике. 790. Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0088140. ISBN  3-540-09974-3. МИСТЕР  0584790. Zbl  0427.20016.
• Дыдак, Ежи (2002). «Когомологическая теория размерности». В Давермане, Р. Дж. (Ред.). Справочник по геометрической топологии. Амстердам: Северная Голландия. С. 423–470. ISBN  0-444-82432-4. МИСТЕР  1886675. Zbl  0992.55001.
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Серр, Жан-Пьер (1997). Когомологии Галуа. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61990-9. Zbl  0902.12004.
• Шац, Стивен С. (1972). Конечные группы, арифметика и геометрия. Анналы математических исследований. 67. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  0-691-08017-8. МИСТЕР  0347778. Zbl  0236.12002.
• Столлингс, Джон Р. (1968). «О группах без кручения с бесконечным числом концов». Анналы математики. Вторая серия. 88: 312–334. Дои:10.2307/1970577. ISSN  0003-486X. МИСТЕР  0228573. Zbl  0238.20036.
• Свон, Ричард Г. (1969). «Группы когомологической размерности один». Журнал алгебры. 12: 585–610. Дои:10.1016/0021-8693(69)90030-1. ISSN  0021-8693. МИСТЕР  0240177. Zbl  0188.07001.