График групп - Graph of groups

В геометрическая теория групп, а граф групп это объект, состоящий из набора группы индексируется вершинами и ребрами график вместе с семьей мономорфизмы групп ребер в группы вершин. Существует единственная группа, называемая фундаментальная группа, канонически связанный с каждым конечным связным графом групп. Он допускает действие с сохранением ориентации на дерево: исходный граф групп можно восстановить из факторный граф и стабилизирующие подгруппы. Эта теория, обычно называемая Теория Басса – Серра, связано с работой Хайман Басс и Жан-Пьер Серр.

Определение

А граф групп по графику $Y$ присвоение каждой вершине $Икс$ из $Y$ группы $грамм Икс$ и к каждому краю $у$ из $Y$ группы $грамм у$ а также мономорфизмы $φ у, 0$ и $φ у, 1$ отображение $грамм у$ на группы, закрепленные за вершинами на его концах.

Фундаментальная группа

Позволять $Т$ быть остовное дерево за $Y$ и определить фундаментальная группа $Γ$ быть группой, порожденной группами вершин $грамм Икс$ и элементы $у$ для каждого края $Y$ со следующими отношениями:

$у = y -1$ если $у$ край $у$ с обратной ориентацией.
$у φ у, 0 (х) у -1 = φ у, 1 (Икс)$ для всех $Икс$ в $грамм у$ .
$у = 1$ если $у$ это край в $Т$ .

Это определение не зависит от выбора $Т$ .

Преимущество определения фундаментальных группоид графа групп, как показано Хиггинс (1976), заключается в том, что он определяется независимо от базовой точки или дерева. Также доказана хорошая нормальная форма для элементов фундаментального группоида. Сюда входят теоремы о нормальной форме для бесплатный продукт с амальгамированием и для Расширение HNN (Бас 1993 ).

Структурная теорема

Позволять $Γ$ - фундаментальная группа, соответствующая остовному дереву $Т$ . Для каждой вершины $Икс$ и край $у$ , $грамм Икс$ и $грамм у$ можно идентифицировать с их изображениями в $Γ$ . Можно определить граф с вершинами и ребрами как дизъюнктное объединение всех смежных пространств $Γ / G Икс$ и $Γ / G у$ соответственно. Этот график представляет собой дерево, называется универсальное укрывное дерево, на котором $Γ$ действует. Он допускает граф $Y$ в качестве фундаментальная область. Граф групп, заданный стабилизирующими подгруппами на фундаментальной области, соответствует исходному графу групп.

Примеры

Граф групп на графе с одним ребром и двумя вершинами соответствует бесплатный продукт с амальгамированием.
Граф групп на одной вершине с петлей соответствует Расширение HNN.

Обобщения

Простейшим возможным обобщением графа групп является двумерное комплекс групп. Они созданы по образцу орбифолды вытекающие из компактный правильно прерывистый действия дискретных групп на двумерных симплициальные комплексы которые имеют структуру CAT (0) пробелы. Фактор симплициального комплекса имеет конечные стабилизирующие группы, прикрепленные к вершинам, ребрам и треугольникам вместе с мономорфизмами для каждого включения симплексов. Комплекс групп называется развивающийся если он возникает как фактор симплициального комплекса CAT (0). Развиваемость - это условие неположительной кривизны на комплексе групп: его можно проверить локально, проверив, что все схемы происходящее в ссылки вершин имеют длину не менее шести. Такие комплексы групп первоначально возникли в теории двумерных Здания Брюа – Титса; их общее определение и дальнейшее изучение были вдохновлены идеями Громов.

Смотрите также

Прямоугольная группа Артина