Кручение (алгебра) - Torsion (algebra)

В абстрактная алгебра, кручение относится к элементам конечный порядок в группа и элементы, уничтоженные любым регулярный элемент из звенеть в модуль.

Определение

Элемент м из модуль M через звенеть р называется торсионный элемент модуля, если существует регулярный элемент р кольца (элемент, который не является ни левым, ни правым делитель нуля ) что аннигилирует м, т.е. р м = 0.В область целостности (а коммутативное кольцо без делителей нуля), каждый ненулевой элемент является регулярным, поэтому элемент кручения модуля над областью целостности - это один, аннулируемый ненулевым элементом области целостности. Некоторые авторы используют это как определение элемента кручения, но это определение не работает для более общих колец.

Модуль M над кольцом р называется торсионный модуль если все его элементы являются элементами кручения, и без кручения если ноль - единственный элемент кручения. Если кольцо р является областью целостности, то множество всех элементов кручения образует подмодуль M, называется торсионный подмодуль из M, иногда обозначается T (M). Если р не коммутативна, T (M) может быть или не быть подмодулем. Он показан в (Лам 2007 ) который р это право Кольцо рудное тогда и только тогда, когда T (M) является подмодулем M на все права р модули. Поскольку правые нётеровы области являются орскими, это покрывает случай, когда р это право Нётерян домен (который может быть не коммутативным).

В общем, пусть M быть модулем над кольцом р и S - мультипликативно замкнутое подмножество р. Элемент м из M называется S-кручение элемента, если существует элемент s в S такой, что s уничтожает м, т.е. s м = 0. В частности, можно принять за S набор регулярных элементов кольца р и восстановите определение выше.

Элемент грамм из группа грамм называется торсионный элемент группы, если она имеет конечное порядок, т.е. при наличии положительного целое число м такой, что грамм^м = е, куда е обозначает элемент идентичности группы, и грамм^м обозначает продукт м копии грамм. Группа называется торсионная (или периодическая) группа если все его элементы являются элементами кручения, а группа без кручения если единственным элементом кручения является тождественный элемент. Любой абелева группа можно рассматривать как модуль над кольцом Z из целые числа, и в этом случае два понятия кручения совпадают.

Примеры

Позволять M быть бесплатный модуль над любым кольцом р. Тогда из определений сразу следует, что M без кручения (если кольцо р не является областью, то кручение рассматривается относительно множества S ненулевых делителей р). В частности, любые свободная абелева группа без кручения и любых векторное пространство над полем K не имеет кручения, если рассматривать его как модуль над K.
В отличие от примера 1 любой конечная группа (абелев или нет) периодичен и конечно порожден. Проблема Бернсайда спрашивает, должна ли, наоборот, любая конечно порожденная периодическая группа быть конечной. (В общем, ответ - «нет», даже если период фиксирован.)
Торсионные элементы мультипликативная группа поля являются его корни единства.
в модульная группа, Γ полученный из группы SL (2, Z) двух на две целочисленных матрицы с единичным определителем путем факторизации ее центра любой нетривиальный элемент кручения либо имеет порядок два, либо сопряжен с элементом S или имеет порядок три и сопряжен с элементом ST. В этом случае элементы кручения не образуют подгруппу, например, S · ST = Т, имеющий бесконечный порядок.
Абелева группа Q/Z, состоящая из рациональных чисел (mod 1), является периодической, т.е. каждый элемент имеет конечный порядок. Аналогично, модуль K(т)/K[т] над кольцом р = K[т] из многочлены в одной переменной - чистое кручение. Оба этих примера можно обобщить следующим образом: если р является коммутативной областью и Q - его поле дробей, то Q/р это кручение р-модуль.
В торсионная подгруппа из (р/Z, +) равно (Q/Z, +), а группы (р, +) и (Z, +) без кручения. Частное от абелева группа без кручения по подгруппе не имеет кручения в точности тогда, когда подгруппа является чистая подгруппа.
Рассмотрим линейный оператор L действующий в конечномерном векторном пространстве V. Если мы рассмотрим V как F[L] -модулем естественным образом, то (в результате многих вещей, либо просто в силу конечномерности, либо как следствие Теорема Кэли – Гамильтона ), V это кручение F[L] -модуль.

Случай области главных идеалов

Предположим, что р является (коммутативным) главная идеальная область и M это конечно порожденный р-модуль. Тогда структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов дает подробное описание модуля M с точностью до изоморфизма. В частности, он утверждает, что

{ Displaystyle M simeq F oplus T (M),}

куда F это бесплатный р-модуль конечного ранга (зависит только от M) и т(M) - торсионный подмодуль модуля M. Как следствие, любой конечно порожденный модуль без кручения над р бесплатно. Это следствие не справедливы для более общих коммутативных областей, даже для р = K[Икс,у], кольцо многочленов от двух переменных. Для неконечно порожденных модулей указанное выше прямое разложение неверно. Торсионная подгруппа абелевой группы не может быть ее прямым слагаемым.

Кручение и локализация

Предположить, что р является коммутативной областью и M является р-модуль. Позволять Q быть поле частного кольца р. Тогда можно рассмотреть Q-модуль

{ displaystyle M_ {Q} = M otimes _ {R} Q,}

получен из M к расширение скаляров. С Q это поле, модуль над Q это векторное пространство возможно, бесконечномерное. Существует канонический гомоморфизм абелевых групп из M к M_Q, а ядро этого гомоморфизма и есть подмодуль кручения T (M). В более общем смысле, если S - мультипликативно замкнутое подмножество кольца р, то мы можем рассмотреть локализация из р-модуль M,

{ displaystyle M_ {S} = M otimes _ {R} R_ {S},}

который является модулем над локализация р_S. Есть каноническая карта от M к M_S, ядро которого в точности Sподмодуль кручения MТаким образом, торсионный подмодуль M можно интерпретировать как набор элементов, которые «исчезают при локализации». Та же самая интерпретация остается верной в некоммутативной ситуации для колец, удовлетворяющих условию Оре, или, в более общем смысле, для любого набор правых знаменателей S и правильно р-модуль M.

Кручение в гомологической алгебре

Концепция кручения играет важную роль в гомологическая алгебра. Если M и N два модуля над коммутативным кольцом р (например, две абелевы группы, когда р = Z), Функторы Tor дать семью р-модули Tor_я(M,N). В S-кручение р-модуль M канонически изоморфна Tor^р₁(M, р_S/р) длинной точной последовательностью Tor^р_*: Краткая точная последовательность ${ Displaystyle 0 к R к R_ {S} к R_ {S} / R to 0}$ из р-модулей дает точную последовательность ${ displaystyle 0 to operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {S} / R) to M to M_ {S}}$ , следовательно ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {1} ^ {R} (M, R_ {S} / R)}$ является ядром карты локализации M. Символ Tor, обозначающий функторы, отражает эту связь с алгебраическим кручением. Тот же самый результат верен для некоммутативных колец, а также до тех пор, пока множество S это набор правых знаменателей.

Абелевы разновидности

Подгруппа 4-кручения эллиптической кривой над комплексными числами.

Торсионные элементы абелева разновидность находятся точки кручения или, в более старой терминологии, точки деления. На эллиптические кривые они могут быть вычислены с точки зрения полиномы деления.