Домен (теория колец) - Domain (ring theory)

В математика, а точнее в алгебра, а домен это ненулевой звенеть в котором ab = 0 подразумевает а = 0 или же б = 0.^[1] (Иногда говорят, что такое кольцо "имеет собственность с нулевым продуктом ".) Аналогично, домен - это кольцо, в котором 0 - единственный левый делитель нуля (или, что то же самое, единственный правый делитель нуля). А коммутативный домен называется область целостности.^[1]^[2] Математическая литература содержит множество вариантов определения «предметной области».^[3]

Примеры и не примеры

Кольцо Z/6Z не является областью, потому что изображения 2 и 3 в этом кольце являются ненулевыми элементами с произведением 0. В более общем случае, для положительного целого числа п, кольцо Z/пZ является доменом тогда и только тогда, когда п простое.
А конечный домен автоматически конечное поле, к Маленькая теорема Веддерберна.
В кватернионы образуют некоммутативную область. В общем, любой алгебра с делением является областью, так как все ее ненулевые элементы являются обратимый.
Набор всех интегральные кватернионы некоммутативное кольцо, которое является подкольцом кватернионов, следовательно, некоммутативной областью.
А матричное кольцо M_п(р) за п ≥ 2 никогда не является доменом: если р отлична от нуля, такое матричное кольцо имеет ненулевые делители нуля и даже нильпотентный элементы кроме 0. Например, квадрат матричный блок E₁₂ равно 0.
В тензорная алгебра из векторное пространство, или, что то же самое, алгебра многочленов от некоммутирующих переменных над полем, ${ Displaystyle mathbb {K} langle x_ {1}, ldots, x_ {n} rangle,}$ это домен. Это можно доказать с помощью упорядочения некоммутативных мономов.
Если р это домен и S является Расширение руды из р тогда S это домен.
В Алгебра Вейля некоммутативная область. Действительно, это область теорема ниже, так как имеет два естественных фильтрации, степенью производной и полной степенью, и соответствующее градуированное кольцо для любого из них изоморфно кольцу многочленов от двух переменных.
В универсальная обертывающая алгебра любой Алгебра Ли над полем - это домен. Доказательство использует стандартную фильтрацию на универсальной обертывающей алгебре и Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта..

Конструкции доменов

Один из способов доказать, что кольцо является доменом, - показать фильтрацию со специальными свойствами.

Теорема: Если р это фильтрованное кольцо чье связанное градуированное кольцо gr (р) является областью, то р сам по себе домен.

Эту теорему необходимо дополнить анализом градуированное кольцо гр (р).

Групповые кольца и проблема делителя нуля

Предположим, что грамм это группа и K это поле. Это групповое кольцо р = K[грамм] домен? Личность

{ displaystyle (1-g) (1 + g + ldots + g ^ {n-1}) = 1-g ^ {n},}

показывает, что элемент грамм конечных порядок п > 1 индуцирует делитель нуля 1 − грамм в р. В проблема делителя нуля спрашивает, является ли это единственным препятствием; другими словами,

Учитывая поле K и группа без кручения грамм, это правда, что K[грамм] не содержит делителей нуля?

Контрпримеров не известно, но в целом проблема остается открытой (по состоянию на 2017 год).

Для многих особых классов групп ответ утвердительный. Фаркас и Снайдер доказали в 1976 г., что если грамм без кручения бесконечно полициклический группа и char K = 0 затем групповое кольцо K[грамм] - это домен. Позже (1980 г.) Клифф снял ограничение на характеристику поля. В 1988 году Крофоллер, Линнелл и Муди обобщили эти результаты на случай без кручения. разрешимый и почти разрешимые группы. Ранее (1965 г.) работа Мишель Лазар, важность которого не оценивалась специалистами в этой области около 20 лет, рассматривала случай, когда K кольцо p-адические целые числа и грамм это пth подгруппа конгруэнции из GL (п, Z).

Спектр области целостности

Делители нуля имеют топологическую интерпретацию, по крайней мере, в случае коммутативных колец: кольцо р является областью целостности тогда и только тогда, когда она уменьшенный и это спектр Спецификация р является неприводимое топологическое пространство. Первое свойство часто считается кодирующим некоторую бесконечно малую информацию, тогда как второе является более геометрическим.

Пример: кольцо k[Икс, у]/(ху), куда k поле, а не домен, так как изображения Икс и у в этом кольце - делители нуля. Геометрически это соответствует тому факту, что спектр этого кольца, представляющего собой объединение прямых Икс = 0 и у = 0, не является неприводимым. Действительно, эти две линии являются его неприводимыми компонентами.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Лам (2001), стр. 3
^ Роуэн (1994), стр. 99.
^ Некоторые авторы также считают нулевое кольцо как домен: см. Polcino M. & Sehgal (2002), p. 65. Некоторые авторы применяют термин «домен» также к rngs со свойством нулевого продукта; такие авторы считают пZ быть областью для каждого положительного целого числа п: см. Lanski (2005), стр. 343. Но области целостности всегда должны быть ненулевыми и иметь единицу.